chap2系统的数学模型课件

§2系统的数学模型

§2系统的数学模型§2.1控制系统的分析方法§2.2系统的数学模型§3.3线性离散系统§2.1控制系统的分析方法对控制系统的研究经历了经典控制论和现代控制论两个阶段经典控制论：以传递函数为基础，属于输入输出分析法，又称外部描述法现代控制论建立在状态空间法基础上，它为控制系统分析和设计提供了更精确、更完备的数学模型。是一种内部描述法，现代控制理论建立在状态空间法基础上，它为控制系统分析和设计提供了更精确、更完备的数学模型。是一种内部描述法，不仅研究输入输出的关系，同时还以系统内部变量为研究对象。更适合于时变系统和多变量系统。而经典控制理论适合于分析定常系统和单输入输出系统。可用更一般的输入函数代替特殊的、典型的输入函数来实现系统设计。本质上是在时域上研究问题。经典控制理论是一种复频域的分析方法。本章规划在《控制工程基础》课程中，主要介绍了线性连续定常系统的两种分析方法—时域分析法和频域响应法。本课程进行简单的回顾和复习。本章主要以状态空间分析法和线性离散系统的介绍为主。§2系统的数学模型§2.1控制系统的分析方法§2.2系统的数学模型§3.3线性离散系统一、经典控制理论的数学模型建立在传递函数基础之上，也称输入输出描述法。其输入和输出的微分方程为：其中为微分算子（1）在初始条件为0时，与上述微分方程对应的传递函数为：（2）系统的频率特性为：令（3）由(1),(2),(3)式可得三种数学模型的关系：傅氏变换对拉氏变换对这三种数学模型虽然形式不同，但都表达了系统的内在规律。应用最多的为传递函数二、传递函数与方块图1.传递函数的定义和推导2.系统的单位脉冲响应3.系统分析中图解描述－方块图1.传递函数的定义和推导推导传递函数的步骤：列出系统的微分方程假设系统的所有初始条件为零，取微分方程的拉氏变换求输出量与输入量拉氏变换之比。传递函数：初始条件为零时输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比传递函数应用说明：前提为零初始条件。对非零初始条件的系统，该方法便不能表征系统的动态特性。系统内部往往有多种变量，而传递函数只反映输入量与输出量之间的关系，不能表达系统内部其它变量的情况。传递函数的上述缺陷在状态空间方法中得以弥补例1.2：求图1－8电枢控制式直流电机的传递函数电枢控制式直流电机的激磁绕组电流if

恒定不变，仅改变加于电枢的电压ei来控制其运行方式。电枢上的控制电压(输入)电枢绕组电阻电枢绕组电感激磁绕组电流电枢电流电动机轴角位移（输出）电动机轴总的转动惯量电动机轴上的粘性摩擦系数电枢绕组中的反电动势电磁转矩解：根据克希霍夫定律，得到电压平衡方程：电枢转动时，在电枢绕组中将感应出反电动势eb，由于激磁电流if不变，所以激磁磁通也为常数。则eb与电机角速度成正比，即又磁通一定时，电磁转矩与电枢电流成正比，即该电磁转矩用以驱动负载，并克服摩擦力矩，所以则将eb，ia表达式带入电压平衡方程，得到假设初始条件为零，对上式进行拉氏变换有一般La很小，可忽略不计，则有式中增益常数时间常数含有1/S因子，所以该电机可以看作积分环节t=t0处的单位脉冲函数为：系统的脉冲响应h(t)即所以系统的单位脉冲响应为传递函数的拉氏反变换而由于卷积与系统任意输入的响应若已知系统的单位脉冲响应函数h(t)，则通过求卷积就可以求得系统对其它任何输入函数的响应便可确定。尤其在信号以曲线形式表达或不能应用拉氏变换的情况。上述理论推导：输入信号为u(t)，如图1-11所示。传递函数为H则输入信号可以表示为单位脉冲信号的叠加则输出信号可以线性算子表示为当时，上述和式可以用积分表示系统对输入函数的响应，即为该函数与系统的单位脉冲响应函数的卷积。若卷积可以直接计算，则无需进行拉氏变换。这便是卷积的意义。系统的互联串联、并联、复杂系统互联、反馈联接系统方块图方块图：blockdiagram包含了系统各个组成部分的传递函数、系统结构、信号流向等不仅可以表达系统的输入输出变量之间的因果关系，而且描述了系统内部对信号进行的运算是复杂系统的一种非常有效的描述方式电路系统的方块图分析方块图的等效变换串联规则并联规则反馈规则分支点移动规则综合点移动规则综合点交换规则串联规则、并联规则和

反馈规则分支点移动规则综合点移动规则综合点交换规则二阶RC电路方块图的简化上节课内容回顾介绍了系统的分类，经典控制理论和现代控制理论的特点。复习了传递函数和方框图，要求掌握具体物理系统传递函数的推导和方块图的绘制。讨论建立系统微分方程数学模型后，若已知系统的输入，是否可以唯一确定系统的输出？已知§2.2系统的数学模型一、经典控制理论的数学模型二、传递函数与方块图三、状态空间模型四、状态空间分析法三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵1、基本概念状态状态变量状态向量状态空间(1)状态：是确定系统运动状况最少数目的一组变量。只要知道了这组变量在时的值，以及时的系统的输入，那么系统在时的运动状况就可以完全确定。系统在时初始条件的总和就是系统在时的状态右图系统的微分方程为其拉氏变换为系统在t=0时的状态可以由确定如果，则系统在t时的状态x(t)和v(t)就可以被确定，所以可以作为上图系统的状态（2)系统响应和系统状态之间的关系对于图1-12单输入输出系统，有记为则在时而的取值时任意的，所以在任意时刻t，系统的响应y(t)完全可以由该瞬时的系统状态{x(t)}和该瞬时的系统输入u(t)确定右图的电路网络中，如果已知输入电压u(t)电容上的电压x1和电感中的电流x2，试用这两个变量表示网络中所有变量在任意时刻t，网络的状态由该瞬电时容电压x1和电感中的电流x2确定，因此，x1和x2可以作为该网络的状态（3)状态变量构成控制系统状态的变量称为状态变量。状态变量并非唯一状态变量不一定选在物理上能观能控在最优控制中，通常选用物理上能观能控的状态变量（4)状态向量如果完全描述一个系统的动态行为需要n个状态变量x1(t),x2(t),…xn(t)，那么这n个状态变量所组成的n维向量x(t)，就叫做状态向量。（5)状态空间所有状态向量x(t)张成的空间称为状态空间系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示如果状态向量是n维的，则张成的状态空间称为n维状态空间。三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵（1）单输入输出系统的状态空间的表达式例1.4：如果图1-7的R-C振荡电路的的电流、电容电压以及时的输入电压已知，则网络状态可以完全确定。故可作为系统的状态变量（1）取状态变量（2）带入回路方程有（3）2、状态空间表达式综合(1)(2)(3)式有（4）输出量（5）将(4)(5)写为矩阵形式：（6）（7）式(6)为状态方程:表示输入量和状态变量的关系式(7)为输出方程:表示输出量和状态变量的关系这两个公式联合起来就是状态空间表达式例1.5：用右图所示质量—弹簧—阻尼系统，如果有一外力u(输入)在t0时刻作用于系统，当质量m在t0时刻的位置和速度已知时，其将来的位置y(输出)即唯一确定。求其状态空间表达式。解：取系统的状态变量为根据牛顿第二定律，系统动态方程为把状态变量带入有写为矩阵形式，得到状态空间表达式：上节课内容回顾及重点介绍了单输入输出系统状态空间的基本概念及状态空间表达式（状态方程和输出方程），要求掌握单输入输出系统状态空间表达式的求解。步骤：建立系统微分方程确定合适的状态向量列出状态方程和输出方程难点：确定合适的状态变量第二次课

第二次作业：2.2,2.3三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵下图为多输入多输出线性定常系统。其输入和输出为向量：n阶系统有n个状态变量其状态向量：（2）多输入多输出线性定常系统的状态空间的表达式控制向量其状态空间表达式可写为：对于多输入多输出线性定常系统，A，B,C,D均为常数矩阵，它们由系统的性质确定。若已知初始状态变量和输入，则可通过解状态方程求出状态变量。再利用输出方程就可以确定系统输出可见，单输入单输出系统是多输入输出系统的特例，即p=m=1式中：状态矩阵（系统矩阵）输入矩阵输出矩阵前馈矩阵在线性时变系统中，其系数矩阵是与时间有关的变量，一个n阶系统状态空间的表达式为：式中：（3）多输入多输出线性时变系统的状态空间的表达式上述系统的方框图为：三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵(1)：用下面的微分方程描述的系统，输入为u,输出为y已知系统的初始条件求系统状态空间表达式（1）解：取系统的状态变量为（2）带入(1)有：（3）综合(2)(3)将原三阶微分方程(1)变换为3个一阶微分方程（4）输出量（5）3、由系统微分方程列写状态空间表达式：将(4)(5)写为矩阵形式，得到状态空间表达式：（6）（7）系统输入量引起系统内部的变化—状态方程系统内部的变化引起系统输出量的变化—输出方程通过以上两个例子可以看出，用状态变量描述一个系统时，把输入输出间的关系分为两段加以描述：该方法可深入到系统内部，故称为内部描述法。若已知系统的初始条件则可完全确定系统在时刻的状态。(2)对于一个不含控制量u的微分的n阶单输入单输出线性定常系统（1）由于不含控制量的微分,取系统的状态变量为：（2）式(1)的n阶微分方程可写为n个1阶微分方程（3）输出量（4）3、由系统微分方程列写状态空间表达式：写为矩阵形式，得到状态方程：（5）式中：（6）输出方程为：式中：即n阶单输入输出系统的状态空间表达式为：状态方程输出方程(3)对于一个含控制量u的微分的n阶单输入单输出线性定常系统（1）求其状态空间表达式则可以将式(1)写为n个1阶微分方程分析：如果仍然取状态变量为：上述一阶微分方程含有控制量的各阶微分项，若控制量为阶跃函数，则其微分为脉冲函数，导致使上述状态轨迹产生无穷大的跳跃。所以该状态变量不能确定系统状态。对于上述系统，正确的状态变量选择原则是，状态方程中的任何一个微分方程和输出方程都不能含有控制量的微分项。（3）则状态方程为：根据上述分析，可以假设状态向量：（2）把式(3)第n个方程，消去状态变量（5）（4）输出方程为：与式(1)比较（1）与微分方程(1）比较，利用待定系数法，可知系统的状态方程矩阵形式为（6）式中：输出方程为（7）式中：例1.6设控制系统的运动微分方程为求该系统的状态空间表达式。解：由运动微分方程可知取状态向量为：则状态方程为：根据上面的推导可以计算出h0,h1,h2所以，状态方程为：输出方程为：三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵出发点：方框图形象地描述了系统信号流向及各物理量之间地关系，所以很多系统的数学模型通常由方框图表示。对于简单系统的方框图，可以求出系统变换传递函数，然后利用拉氏反变换求出系统微分方程，再写出系统的状态空间表达式。对于复杂系统，求取变换传递函数并不是轻而易举的事。利用方框图直接求解状态空间表达式要比较简单。规则和步骤：1、写出各方框单元的传递函数，并用拉氏反变换求出其微分方程。2、以各方框单元的输出变量和系统总输出变量的一阶导数作为状态变量。以各求和节点的输出为中间变量，写出状态方程3、列出各求和节点方程，在状态方程中消去中间变量。得到系统的状态方程和输出方程。4、由方框图直接列写状态空间表达式例：写出右图某顺馈控制系统状态空间表达式(2)指定状态变量和中间变量，代入微分方程，写出状态方程解:(1)各方框单元的传递函数和微分方程为状态变量X中间变量状态方程(1)(3)列出各求和节点方程，在状态方程(1)中消去中间变量(2)求和节点方程将式(2)代入式(1),得到状态方程为：即输出方程方程为：三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵例1.7：与例1.4不同，选取如下变量为状态变量：（1）又因（4）把(2)(3)代入(4)得：（5）所以（3）则（2）所以（6）5、状态变量的非唯一性（7）联合式(3)(6)得系统状态方程为：输出方程为（8）与例1.4选取状态变量为时得到得状态方程和输出方式比较上述两组状态变量都能描述该RLC网络，因此状态变量不是唯一的。用状态变量描述系统时，状态空间表达式与所选的状态变量有关。即同一系统可以有不同的状态空间表达式假设一个n阶系统的状态空间表达式为：设Q是任意的非奇异n×n阶矩阵，并定义：式中那么，若以为状态变量,系统的状态空间表达式为：证明：对取导数，有将状态方程带入，得到再根据输出方程，可得状态变量的非唯一性的理论证明—状态变换状态变换的几点结论变换称为状态变换。对同一系统，采用不同的非奇异矩阵Q进行状态变换就可以得到不同的状态向量。状态向量不是唯一的。不同的状态向量对应不同的状态方程。状态变换的目的是从不同的角度观测系统（相当于状态空间的坐标系的变换）。状态变换不影响系统的传递函数、脉冲响应、能控性和能观性等系统基本性质。三、状态空间模型1、基本概念2、状态空间表达式（状态方程和输出方程）3、由微分方程求状态空间表达式4、由方框图直接列写状态空间表达式5、状态变量的非唯一性6、传递矩阵对n阶子系统，若输入为p维向量为U(t)，输出为m维向量Y(t）,在初始条件为零时，存在m×p维矩阵G(s),使（1）定义将上式写为矩阵形式有：其中Gij(s)为yi(s)对uj(s)的传递函数。当p=m=1时，传递矩阵G(s)成为单输入输出系统的传递函数因此，传递矩阵G(s)也叫广义传递函数。6、传递矩阵则G(s)定义为该系统的传递矩阵。如图所示的闭环系统，已知则所以如果非奇异，则所以图1－18闭环系统的传递矩阵为（2）闭环系统的传递矩阵假设一个n阶系统的状态空间表达式为：在初始条件为零时进行拉氏变换：所以则可得传递矩阵为（3）由状态空间表达式求传递矩阵解：(分析）用方框图简化方法求传递函数比较复杂。先建立状态空间表达式，然后求出传递矩阵。对于此单输入输出系统，传递矩阵与传递函数是等价的。例1.8求图1-19系统的传递函数从系统机构可知，x1,x2为系统的一组状态变量，其状态方程和输出方程分别为：写为矩阵形式：由系统传递矩阵公式，有因为系统为单输入单输出，则上式传递矩阵就是系统的传递函数伴随矩阵§2.2控制系统的数学模型一、经典控制理论的数学模型二、传递函数与方块图三、状态空间模型四、状态空间分析法五、非线性数学模型的线性化四、状态空间分析法1、求解状态方程（求系统的时间响应）2、系统的能控性和能观性分析。3、系统的稳定性分析。基本手段是线性代数方法1、求解状态方程状态空间分析法的基本任务就是通过求解状态方程，得到系统在时域内的时间响应函数。线性非齐次方程：强迫响应线性齐次方程：自由响应上述方程的求解方法有矩阵指数法、拉氏变换法和一般法。本节重点介绍拉氏变换法。由于齐次方程为非齐次方程的特例，所以下面以非齐次方程为例讲解状态方程的解法用拉氏变换法求解非齐次求解状态方程设非齐次状态方程为：（1）式(1)两边同时取拉氏变换：（2）则：（3）式(3)两边同时取拉氏反变换,得到状态方程的解：（4）利用拉氏变换的卷积定理由于式(4)的计算比较复杂，可进行如下简化：定义：为系统的转移矩阵（5）有：（6）关键是计算转移矩阵将式(5)(6)带入(4)，得到：（7）状态方程解的几点说明：(1)对线性齐次状态方程：其解为式(7)中B=[0]时的值(2)转移矩阵的含义：，它包含自由响应的全部信息(3)系统的输出：根据输出方程(4)当状态方程的解为：已知解:(1)求转移矩阵例1.9求下面系统状态方程的解（系统的时间响应）(2)系统的响应为(1)能控性定义：若对系统在t0时刻的任意状态X(t0),都存在一个有限的时间区间[t0,tf](tf>t0)和定义在[t0,tf]上的适当的控制量U(t),使得X(tf)=0,则称系统在t0时刻是可控的。如果系统在有定义的时间区间上的每一时刻都可控，则称系统为具有完全可控性。假设一个n阶线性定常系统的状态空间表达式为：状态方程的解为：物理意义：系统的每个状态变量都受到控制变量的影响而改变。即在有限的时间内，控制变量能够使状态变量从任意的初始状态转移到零状态。完全可控性充分必要条件：下面2、系统的能控性和能观性分析(2)能观性定义：在有限时间区间[t0,tf]内，若已知矩阵A,B,C,D和系统在[t0,tf]上的U(t)和Y(t),

X(t0)能够唯一确定，则称系统在t0时刻是可观测的。如果系统在有定义的时间区间上的每一时刻都可观测的，则称系统为具有完全能观性。物理意义：若系统的每个状态变量都对输出的分量有影响，即任一状态变量在系统的输出中都能观测到，则称系统具有能观性。充分必要条件：下面能控性表示系统的控制变量和状态变量的关系。能观性表示系统的状态变量和系统输出的关系。例1.10判断下面系统的能控性和能观性解:因为所以则系统能控又因为所以则系统不能观3、系统的稳定性分析假设一个n阶线性定常系统的状态方程为：则系统的特征方程为：其特征值为：稳定性的充分必要条件：所有特征值位于s平面的左半平面连续系统分析过程框图第三次作业2-4,2-5,2-6补充作业：2-A:对于线性定常系统，试证明状态变换不改变系统的传递矩阵。2-B:系统状态方程为已知当u(t)为单位阶跃函数，求系统的时间响应。2－C试判断下面系统的能控性上节课内容回顾及重点（一）介绍了多输入多输出系统的状态空间表达式由微分方程求状态空间表达式，重点是状态变量的选取。难点是微分方程中含有控制量微分。由方框图直接写状态空间表达式。关键是把方框图划分为各方框单元进行讨论。以各方框单元的输出变量和系统总输出变量的一阶导数作为状态变量。以各求和节点的输出为中间变量，写出状态方程和求和节点方程。状态变换及状态变量的非唯一性（了解）上节课内容回顾及重点（二）传递矩阵的定义及计算。关键是求特征矩阵的逆矩阵：(sI-A)-1状态空间分析法：求解状态方程：关键是转移矩阵Φ(t)=L-1[(sI-A)-1]能观性和能控性分析稳定性分析§2.2控制系统的数学模型一、经典控制理论的数学模型二、传递函数与方块图三、状态空间模型四、状态空间分析法五、非线性数学模型的线性化(只介绍基本概念)五、非线性数学模型的线性化1、非线性系统的定义和特点2、单变量非线性系统的线性化3、多变量非线性系统的线性化定义：用非线性方程表示的系统为非线性系统，如：特点：不满足叠加原理。非线性系统广泛存在。代表性曲线有：难点：对包含非线性问题的求解过程非常复杂。解决方案：1、总体思想是将非线性系统简化为线性系统求解。2、前提是系统在某个工作点附近一个很小的领域内近似线性。3、将非线性函数在工作点附近利用泰勒级数展开，并且保留其线性项，得到线性模型。1、非线性系统的定义和特点假设非线性系统的输入量为x(t)，输出量为y(t),且满足关系：如果系统在给的某一额定工作状态的附件作微小变化时，那么在该点上的泰勒级数为式中导数,可忽略高阶项，有即式中2、单变量非线性系统的线性化附近的线性化模型非线性系统在工作点假设非线性系统的输入量为x1(t)，x2(t)，输出量为y(t),且满足关系：在某一额定工作点展开为泰勒级数：式中偏导数是在上计算,忽略高阶项，有式中在工作点附近的线性化模型非线性系统自学课本p22例1-12，更正见教材3、多变量非线性系统的线性化§2.3线性离散系统一、离散信号和离散系统二、信号的采样和恢复三、Z变换四、脉冲传递函数五、离散系统的稳定性分析六、离散系统的状态空间分析法一、离散信号和离散系统1、连续信号和离散信号的定义2、几个典型的离散信号3、离散信号的基本运算4、离散系统基本概念及表示方法5、离散系统主要参数6、离散系统的分析与综合1、连续信号和离散信号的定义连续信号：若t是定义在时间轴上的连续变量，那么x(t)，为连续时间信号，又称模拟信号。其中Ts表示相邻两点间的时间间隔，即抽样周期。若把Ts归一化为1，则x(nTs)简记为x(n),（离散时间序列）数字信号：用有限的数位表示的离散信号（把离散信号幅值数字化，即幅值和时间都离散）。离散信号：若t在时间轴的离散点上取值，则x(t)称为离散时间信，记为：也可以记为x*(t)A/D转换D/A转换目前，在信号处理中，把离散信号和数字信号作为两个相同的概念。将A/D板插入计算机的总线，配置相应的软件，可以实现采样过程。A/D板的技术指标：字长和最大抽样速度。对5V的TTL信号，用8位字长的A/D板，分辨率位5/28=20mV。用12位字长的的A/D板，分辨率位5/212=1.2mV。提高16倍。A/D板的字长越长，抽样速度越快，价格越高。A/D板简要说明：用数字方法处理连续信号的过程(2)单位阶跃序列2、几个典型的离散信号(1)单位抽样信号及单位抽样序列(3)正弦序列其中，(4)复正弦序列(5)指数序列(1)延迟延迟在数字电路中由移位寄存器实现(2)相乘与相加相同时刻的值相加或相乘(3)离散信号卷积离散信号的一种有用的表达方式3、离散信号的基本运算离散系统与连续系统最大的区别在于所处理的信号是离散信号。常见的离散系统有纯离散系统和混合离散系统。(1)纯离散系统：输入和输出都是离散信号例如：下图的三点加权平均器。步进电机开环控制也是一个纯离散系统，给一个脉冲走一步。4、离散系统的基本概念及表示方法为了进行分析，表示成方块图：用采样器代替A/D用保持器代替D/A简化：把保持器和被控对象连续部分合并G(s)=H(s)G0(s)在简化后，为了分割离散部分和连续部分，此处加入一个采样开关(2)混合离散系统：系统同时包含离散信号和连续信号开环离散控制系统：离散连续连续其控制信号、反馈信号经过采样器离散化，得到离散的偏差信号。闭环离散控制系统：如果数字控制器环节为1，则上图可表示为：简化(5)移不变性同时满足线性和移不变性的系统称为线性移不变系统，即LSI系统(LinearShiftInvariant)(4)线性：满足叠加原理h(n)的Z变换(1)单位抽样响应h(n)：若输入x(n)=δ(n)，则输出y(n)=h(n)(2)频域响应：(3)脉冲传递函数：(6)因果性(Causality)：一个LSI系统任一时刻的输出只决定于现在时刻和过去时刻的输入。(7)稳定性：一个LSI系统的输入和输出都有界。h(n)的离散傅氏变换5、离散系统主要参数求线性移不变性稳定性物理可实现性系统的实现方法系统内部状态的描述给定分析：综合：给定系统的特性指标，来设计满足要求的系统离散系统的研究内容就是分析和综合6、离散系统的分析与综合§2.3线性离散系统一、离散信号和离散系统二、信号的采样和恢复三、Z变换四、脉冲传递函数五、离散系统的稳定性分析六、离散系统的状态空间分析法二、信号的采样和恢复1、采样过程2、采样定理3、信号的恢复定义：将连续信号转换为离散序列的过程称为采样。连续信号f(t)经采样后，变成断续的脉冲序列fk(t)实现采样的装置，称为采样开关或采样器。1、采样过程若定义理想采样器的输出为：(1)则理想采样器相当于下图所示的调制器：(2)则实际采样器可以表示为理想采样器和倍乘器串联而成。为分析简便，我们将倍乘器乘数ε与采样后面的系统归并在一起，而把理想采样器的输出f*(t)作为实际采样器的输出，所以：F(t)的因果性问题：1、f*(t)是否包含了f(t)的全部信息？即采样的失真问题。2、如何由f*(t)完全恢复出f(t)？思路：比较f(t)和f*(t)的傅氏变换，然后找出区别和规律。把f(t)的采样信号f*(t)也视为连续信号，其傅氏变换记为：式(2)单位脉冲序列的傅氏变换记为根据傅氏变换的频域卷积定理和式(1)，有(3)对于有限带宽连续信号f(t)，其最高频率分量为Ωm，其傅氏变换为：推导：见图a2、采样定理式(3)中关键是求单位脉冲序列的傅氏变换Δ(jΩ)为了求周期信号的傅氏变换，应该将其展开为Fourier级数(4)(5)式(4)(5)中考虑到式(5)积分在一个周期内进行，将式(2)代入式(5)有(6)将式(6)代入(4)有(7)式(7)的傅氏变换为(8)由式(8)可知，周期为Ts的单位脉冲序列的傅氏变换也是脉冲序列，其周期为Ωs=1/

Ts将式(8)代入(3)有(9)见图c

单位脉冲函数的筛选性质见图b由式(9)和图c可见，采样信号的傅氏变换为连续信号傅氏变换在频率轴上的周期延拓，延拓周期为Ωs=1/

Ts采样信号及其傅氏变换在图c中，如果Ωs=<2Ωm

叫则采样序列出现频率混叠现象。

若有限带宽信号f(t)的最高频率为Ωm，如果保证抽样频率Ωs≥2Ωm，或Ts≤π/Ωm那么f*(t)中保留了f(t)的全部信息。结论：采样定理由图c可见，在满足采样定理的前提下，利用红色虚线所表示截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以由f*(t)完全恢复出f(t)。最低采样频率Ωs=2Ωm

叫Nyquist采样频率。补充说明：

(1)采样定理由Nyquist和Shannon分别于1928年和1949年提出从·，所以也叫做Nyquist采样定理或Shannon采样定理。(2)若信号不是带宽有限信号，那么在采样前需要进行抗混滤波(anti-aliasing)，即滤去频率高于Ωs/2的频率分量。对具体信号采样频率的确定方法：如果采频太低，信号损失多；如果采频太高，则数据量增大，实现困难。一般取Ωs=(3～4)Ωm

定义：将采样得到的离散序列再恢复为连续信号的过程。信号恢复一般由保持器来完成。(1)零阶保持器把采样时刻nT的采样值不变的保持到下一采样时刻(n+1)T，因此其输出xh(t)是一个阶梯信号。为了书写方便，以后用T替代Ts表示采样周期。在不混淆的情况下，离散频域变量ω也和连续频域变量Ω可以不加区分。（实际上，ω=ΩT）3、信号的恢复根据前面的推导可知，保持器的输入离散信号为：两边取拉氏变换：而保持器的输出离散信号为：两边取拉氏变换：(1)(2)由式(1)(2)得零阶保持器得传递函数为：(3)其频率特性为：(4)所以：(5)由式(5)知零阶保持器的幅频和相频特性如下图所示：(1)由幅频特性可知,零阶保持器是一种低通滤波器，它除了允许采样信号的主要频谱分量通过外，高频分量也从旁瓣不同程度地泄漏。因此，x(t)与xh(t)不完全相同。(2)由相频特性可知,零阶保持器具有线性相位，在(1)一阶保持器是一种按照线性规律外推的保持器。其外推规律为：一阶保持器的信号恢复见右上图：可见它的信号恢复畸变要小些：可以推导出一阶保持器的传递函数和频率特性：一阶保持器的频率特性见右下图，其中虚线为零阶保持器的特性，可见一阶保持器更容易让高频通过，此外，该保持器相位滞后更大。因此，一阶保持器反映比较迟钝，不利于闭环系统的稳定性。而且实现起来复杂，应用较少。§2.3线性离散系统一、离散信号和离散系统二、信号的采样和恢复三、Z变换四、脉冲传递函数五、离散系统的稳定性分析六、离散系统的状态空间分析法三、Z变换1、Z变换的定义2、Z变换的性质3、常见函数的Z变换3、Z变换的计算方法（自学）4、Z反变换及计算方法（自学）连续时间系统：微分方程(时域)线性代数方程(频域或复频域)拉氏变换离散时间系统：差分方程(时域)线性代数方程(Z域)Z变换1、Z变换的定义由上节的分析可知：两边取拉氏变换：若令则那么称X(z)为x*(t)的Z变换，表示为Z[x*(t)]关于z的函数1、Z变换实际上可以看作数拉氏变换的一种变形。关于Z变换的几点说明：2、Z变换中，X(z)是采样脉冲序列x*(t)的Z变换，只考虑采样时刻的信号值。而在采样时刻，x(t)的值就是x(kT)，所以从这个意义上讲，X(z)即是x*(t)的Z变换，可以写为x(t)和x(kT)的Z变换，即：(1)线性:ZT(2)时域位移:ZTZT(3)比例:ZT(4)z域微分：ZT(5)z域位移：ZT(6)时域卷积：ZT(7)初值定理：(8)终值定理：2、Z变换的性质x(t),y(t)为因果序列见书中表p30表1-1，要求掌握下面几个重要函数的Z变换及其推导过程。其它函数的Z变换可以查表。解：当n=0时，有(1)求和(2)求解：用级数相加法3、常见函数的Z变换(3)解1:用级数相加法解2:用Z变换的z域位移性质(4)解:(5)解:欧拉公式根据Z变换的线性性质则实部和虚部分别为(6)解1:用留数计算法设x(t)的拉氏变换X(s)有n个极点则x(t)的Z变换X(z)可以表示为：本题中3、Z变换的计算方法（自学）级数求和法部分分式法留数计算法利用Z变换性质法具体内容见：王积伟，吴振顺，控制工程基础，高等教育出版社，2001P213~2214、Z反变换及计算方法（自学）长除法部分分式法留数计算法作业2－D证明Z变换的时域位移性质，即2－E求单位脉冲序列的Z变换§2.3线性离散系统一、离散信号和离散系统二、信号的采样和恢复三、Z变换四、脉冲传递函数五、离散系统的稳定性分析六、离散系统的状态空间分析法四、脉冲传递函数1、脉冲传递函数定义2、脉冲传递函数计算3、离散系统的开环脉冲传递函数4、离散系统的闭环脉冲传递函数1、脉冲传递函数定义

脉冲传递函数是描述线性离散系统特性的重要手段。类所以线性连续系统中的传递函数。在线性移不变系统(LSI)中，在初始状态为零的条件下，环节或系统的输出脉冲序列的Z变换之比称为该环节或系统的脉冲传递函数，记为：注：由于物理系统的输出通常是连续量，而Z变换定义的原函数是离散信号，所以在上图系统输出的末尾加一个虚设的同步采样开关，用来得到y*(t)。则2、脉冲传递函数计算思路：根据LSI离散系统连续部分的单位冲击响应h(t)或传递函数G(s)来计算系统的脉冲传递函数。上一页LSI离散系统的输入离散序列f*(t)可表示为：(1)设上述LSI系统的单位脉冲响应为h(t)，根据LSI系统的线性和移不变性，其输入和输出有如下对应关系：所以，当输入为式(1)时，系统连续部分的输出为：(2)连续部分的输出结果虚设的采样开关后，得到如下离散信号：对于物理可实现系统，当t<0时，h(t)=0，所以(2)式(2)为离散序列的卷积和，所以(3）根据脉冲传递函数的定义则G(z)为h(kT)的Z变换，即所以，可以由LSI系统连续部分的传递函数G(s)或单位脉冲响应h(t)求该系统的脉冲传递函数则G(z)，步骤为：步骤一：由G(s)求h(t)，即步骤二：确定h(kT)，即步骤三：求h(kT)，的Z变换，即对于常见函数或信号，可以通过查Z变换表，由G(s)直接获得G(z)：例1.13设开环系统的传递函数为求相应的脉冲传递函数G(z)。解：为了查表直接得出G(z)，首先将G(s)分解为部分分式之和。本例中，G(s)可分解为如下部分分式。查Z变换表：3、离散系统的开环脉冲传递函数例1.14求如图所示RC网络的脉冲传递函数（1）输入端仅有一个采样器解：用定义求解，即先求连续部分传递函数G(s)，再求G(z)该系统的微分方程为：利用拉氏变换可得传递函数为：（2）当开环系统的各环节之间有采样器分割方法：将两个环节视为离散系统串联，分别求出各环节的脉冲传递函数，再将其相乘，得到系统总的脉冲传递函数。（3）当开环系统的各环节之间没有采样器分割方法：先求连续部分的传递函数，再求开环系统的脉冲传递函数。系统连续部分的传递函数：则开环系统的脉冲传递函数：应当注意：例1.15若求(2)、(3)两种情况下的脉冲传递函数。解:a)若有采样分割b)若无采样分割（4）带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数的求法解：图中连续部分的传递函数：设由拉氏变换和Z变换的平移定理4、离散系统的闭环脉冲传递函数由于采样器在闭环系统中的位置有多种可能性，因此，闭环采样系统没有唯一的结构形式，以下列举几个常见的闭环采样系统，并推导其脉冲传递函数。（1）解：对误差信号进行采样：对上式作Z变换：从e*(t)到b(t)可以看作开环系统，所以：所以上述系统的脉冲传递函数为：（2）带有数字校正器D(z)的采样控制系统由图可知：把(2)和(3)代入(1)，有代入(4)，有所以系统的脉冲传递函数（3）由图可知：所以：则系统的输出的Z变换为无法写出脉冲传递函数的其显式表达式（4）结论：由(3)、(4)可知，闭环采样系统脉冲传递函数无固定形式。有时无法写出其显式表达式，因此常用输出量的Z变换代替。由图可知：所以：五、离散系统的稳定性分析稳定性式控制系统重要性能，也是系统能够正常工作的首要条件。定义：如果系统受到外界扰动，不论它的初始偏差有多大，当扰动取消后，都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，这种系统就叫做稳定的系统。1、S平面轨迹在Z平面的映像线性连续系统稳定性的充要条件是系统的极点都位于s平面的左半部分。对于离散系统，需要在z平面中研究其稳定性。由Z变换的定义：则：S平面与z平面的对应关系：(1)对应S平面虚轴与z平面以原点为圆心的单位圆(2)对应S平面右半平面与z平面单位圆外侧区域(3)对应S平面左半平面与z平面单位圆内侧区域(4)在s平面，当s沿虚轴从原点(ω=0)变化到时对应到z平面上，幅角从0度沿逆时针绕原点变化到360度2、线性离散系统稳定性的充要条件z平面s平面研究领域极点都位于z平面的单位圆内极点都位于s平面的左半部分稳定条件线性离散系统线性连续系统例1.16求使图示系统稳定的K值的范围（设T=1s）解：设前向通道传递函数为：则整个系统的脉冲传递函数为：设根据以前含有零阶保持器开环系统的分析知将T=1s带入上式，得系统的特征方程为：系统的极点为：要使系统稳定，必须满足：即使系统稳定的K值范围为：

3、W平面的劳斯稳定性判据（自学）在计算系统极点（求解特征方程）时，需要求解一元n次方程，当n>4时求解非常困难。用劳斯稳定性判据为判断系统稳定性的简便方法。(1)双线性变换（W变换）该变换使z平面和w平面建立如下映射关系：z平面单位圆单位圆内部单位圆外部w平面虚轴左半部分右半部分证明：令(2)劳斯判据劳斯判据：劳斯表中第一列元素全部大于零。若出现小于零的元素，表示系统不稳定。假定线性系统的特征方程可写成如下的一般形式则可以写出劳斯表：例1.17图示采样系统T