通信原理课后习题(一)

通信原理课后习题⑴

模块01数字通信概论

1-1已知二进制信源(0,1),若1符号出现的概率为

解：由题意知0出现的概率为

I(0)??log23?0.415bit41,求出现。符号的信息量。43,0符号出现携带

的信息量为：4

1-2某4ASK系统的四个振幅值分别为0,1,2,3,这四个振幅是相互独立

的。

1111(1)振幅0,1,2,3出现的概率分别为〃,，求每个振幅的信息量和

各2488

种振幅信息的平均信息量。

(2)设每个振幅的持续时间(码元宽度)为2?s,求此系统的信息

速率。解：(1)每个振幅的信息量如下：

Il(0)??log2?lbit2

Il(l)??log2?2bit41l(2)??log2?3bit8

Il(3)??log2?3bit8

各种振幅的平均信息量为：111111

H??log2?log2?log2?0.5?0.5?0.75?1.75bit/symbol224448

l?1.75?875kb/s(2)Rb?RB?H??62?10

1-3某4PSK数字通信系统用正弦波的四个相位0,?2,?,3?2来传输信

息，设这四个相位是相互独立的。

(1)若每秒钟内0,?2,?,3?2出现的次数分别为500,125,125,250,

求此

数字通信系统的码元速率和信息速率。

(2)若每秒钟内这四个相位出现的次数均为250,求此数字通信系

统的码

元速率和信息速率。

解：(1)RB?500?125?125?250?1000B

500500125125125125250250H??log?log2?log2?log210002100010001000100

010001000100011111111131??log2?log2?log2?log2????1.75bit/symbol22888

844242

Rb?RB?H?1000?1.75?1.75kb/s

(2)

RB?250?4?1000B

11

H?4(?log2)?2bit/symbol

44

Rb?RB?H?1000?2?2kb/s

1-4某4PSK数字通信系统，码t元速率为1000B,连续工作1小时后，

接收端收到的错码为10个，试求此系统的误码率。解：连续工作1小时

后，系统的误码率为：

P?10

el000?36000

?2.78?10?6

1-5某系统经长期测定，它的误码率Pe?10?5,系统码元速率为1200B,

问在多

少时间内可能收到360个错误码元。

解：t?360

10?5

?1200

?3?104秒?8.3小时

模块02信号

2-1试求下列概率密度函数的数字期望和方差：

?(1)f(x)??l

?2a,?a?x?a

??0淇他

?2

(2)f(x)??l??2ae?xax?0

0,其他解：(1)E(X)??axf(x)dx??a

x

l?a?a2a?14a[x2]a?a?0

E(X)??a2a21?axf(x)dx???ax2adx?16a[x3]aa22?a?3

D(X)?E(X)?E(X)?a222

3

(2)

E(X)????

??

I?x2x2x2

a?l?0xf(x)dx??0x2aedx??0?al?a?l

4de??4[e]0?

4E(X2)?????x2

12!a0x21a2aeadx?2al!(2)3?

8

(根据积分公式：？x2ne?x2/a2dx?2n!n!(a2

)2n?l

)D(X)?E(X2)?E2(X)?al2a?l

8?16?16

2-2已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数

及功率谱密度函数分别为RX(?),RY⑺,PX(?),PY(?)，试求Z(t)?X(t)Y(t)的自相关

函数和功率谱密度。

解：RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)]?RX(?)?RY(?)1[PX(?)?PY(?)]

PZ(?)?2?

2-3设Z(t)?Xcos?Ct?Ycos?Ct是一随机过程,若X和Y彼此统计独立,

且均值都为0,方差均为?2的高斯随机变量，试求：

(1)Z(t)的均值和方差。

(2)Z(t)的一维概率密度函数。

(3)Z⑴的自相关函数。

解：(1)

E[Z(t)]?E[Xcos?ct?Ycos?ct]?E[X]cos?ct?E[Y]cos?ct?0

222D[Z(t)]?D[Xcos?ct?Ycos?ct]?cos?ct[D[X]?D[Y]]?2cos?ct?

(2)Z(t)为两高斯随机过程的线性组合，也为一高斯过程，概率密度

如下：f⑵?1

2cos(?ct)??z24cos(?ct)?e

(3)

R[Z(tl,t2)]?E[(Xcos?ctl?Ycos?ctl)(Xcos?ct2?Ycos?ct2)]?

?E[X2cos?ctlcos?ct2?2XYcos?ctlcos?ct2?Y2cos?ctlcos?ct2]?2?2cos(?ctl

)cos(?ct:2)

2-4当均值为0,双边功率谱密度为n02的白噪声通过如图所示的RC

低通滤波器时，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。解：因为理

想低通滤波器的传输特性可以表示成：

?j?t??ked,f?fHH(f)????0,其它处

所以有：

H(f)?k2,f?fH2

输出信号的功率谱密度为：

PY(f)?H(f)PX(f)?k22nO,f?fH

2

输出信号的自相关函数:

RY(?)??PY(f)ej??df?(k2n0/4?)????fH?fHej??df?k2n0fH(sin2?fH?/2?fH?)

模块03信道

3-1简述窄带高斯白噪声中的“窄带”、“高斯”和“白”的含义。

答：“窄带”是系统的频带比起中心频率小得多；“高斯”是指噪声的

概率密度函数服从正态分布；“白”是指噪声的功率谱密度函数是常数。

3-2信道中常见的起伏噪声有哪些？其统计特性如何？

答：起伏噪声是一种持续波随机噪声，例如热噪声、散弹噪声和宇宙

噪声等。起伏噪声(特别是热噪声)具有很宽的带宽，且始终存在，它是

影响通信系统性能的主要因素。

3-3已知有线电话信道的带宽为4KHZ。

(1)试求信道输出信噪比为20dB时的信道容量。

(2)若在该信道中传送33.6kb/s的数据，试求接收端要求的最小信

噪比。

S解：(1)由题意知?20dB?100,由信道容量的公式有：N

SC?Blog2(l?)?4000log2(l?100)?2.663?104?26.63kb/sN

(2)最小信噪比应为：33.6S?24?1?336.794N

3-4假设彩色电视图像由5?105个像素组成，每个像素有64种颜色,

每种颜色有16个灰度级，若所有颜色和灰度级的组合机会均等，且统计

独立。

(1)试求每秒传送25个画面所需的信道容量。

(2)如果接收端信噪比为30dB,试求传送彩色图像所需的信道带宽。

解：(1)每个像素的信息量为：l?10bitIP??log264?16

每秒25个画面所含的信息量为：25?5?105?10?125Mb/s

此时信道容量至少为：C?125Mb/s

S(3)由信道容量公式：C?Blog2(l?)有：N

C125??12.54MHzB?Slog21001log2(l?)N

模块05模拟信号的数字化传输

5-1一个信号s(t)?2cos400?t?6cos40?t,用fs?500Hz的抽样频率对它进

行理想抽样，若抽样后的信号经过一个截止频率为400Hz的理想低通滤波

器，输出端会有哪些频率成分？

解：原始信号含有两个频率成分fl?20Hz,f2?200Hz,抽样信号的频谱

是连续信号的周期延拓，周期为500Hz,经过理想低通滤波器后，存在的

频率成分有：20Hz,200Hz,300Hz.

5-2语音信号的带宽在300~3400Hz之间，假设采用fs?8000Hz对其抽

样，若输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB,试

问均匀量化最小需要多少个电平？每个样值最少需要几个比特？

解：设最小需要L个量化电平，每个样值最少需要N比特，则有：

Sq?20lgLNq

即：30?20lgL

L?32

2N?L又由L?32,N?5

5-3已知模拟信号抽样值的概率密度函数f(x)如下图所示。

(1)若按8电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平。

解??0.25,量化电平为

{-0.875,-0,625,-0.375,-0,125,0.125,0,375,0.625,0.875}o

(2)按4电平进行均匀量化，信号功率Sq、噪声功率Nq如下：

Sq??xf(x)dx??x(x?l)dx??x2(l?x)dx??l?10120211?0.16676

Nq???0.5

?l(x?0.75)2(x?l)dx??

1

0.50?0.5(x?0.25)2(x?l)dx??0.0026041?0.0078225?0.0078125?0.00260125?0.

02084

Sq0.1667??8Nq0.02084

5-4已知正弦波信号的最高频率fm?4kHz,试分别设计一个PCM系统，

使系统的输出量化信噪比满足30dB的要求，求系统的信息速率。解：由

信号的最高频率fm?4kHz,根据抽样定义选取抽样频率为

0?0.5(x?0.25)2(l?x)dx??(x?0.75)2(l?x)dx

fs?2.2fm?8.8kHz

设对抽样值最小采用L个量化值，有：

Sq?20lgL?30dB,则L?32Nq

每个量化值至少需要N个二进制码进行编码，则有：

2N?L,现在L?32,则N?5

这个PCM系统的信息速率为：

Rb?8800?5?log22?4.4Mb/s

5-5已知语音信号的最高频率fm?3400Hz,若用PCM系统传输，要求

量化信噪比为30dB,试求该PCM系统的带宽。

解：由量化信噪比有：Sq?20lgL?3