2018高考·数学-第14章第四讲二项分布与其应用、正态分布

2018高考·数学-第14章第四讲二项分布与其应用、正态分布第一页，共44页。目录Contents考情精解读考点1考点2A.知识全通关B.题型全突破考法1考法2考法4考法3C.能力大提升易混易错第二页，共44页。考情精解读第三页，共44页。考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试大纲011.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.2.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布第四页，共44页。考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域二项分布及其应用【30%】2016四川,12,5分正态分布【10%】全国Ⅰ,18(Ⅱ)2015山东,8,5分第五页，共44页。考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测

利用事件的相互独立性或二项分布求概率、分布列、均值和方差仍然是高考考查本讲内容的重点,独立事件的概率、二项分布、条件概率和正态分布一般以选择题、填空题的形式呈现,分值为5分,分布列、均值和方差一般以解答题的形式呈现,分值12分.2.趋势分析

预测2018年,仍以独立事件的概率,二项分布及其应用的考查为主,条件概率和正态分布虽然考查比较少,但也需要引起重视.命题趋势

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布第六页，共44页。知识全通关第七页，共44页。知识全通关1考点1

二项分布及其应用继续学习

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布1.条件概率及其性质条件概率:一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.条件概率的性质:(1)非负性:0≤P(B|A)≤1.(2)可加性:如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).第八页，共44页。知识全通关2

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习【注意】P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率,而P(AB)表示事件A,B同时发生的概率,这是两个不同的概念,在P(A)>0的条件下,P(AB)=P(A)P(B|A).2.事件的相互独立性设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.相互独立事件的性质:(1)如果事件A,B相互独立,那么A与,与B,与也相互独立.(2)若事件A1,A2,…,An(n>2,n∈N*)相互独立,则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).(3)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)(P(A)>0).第九页，共44页。知识全通关3

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点(1)相同点,二者都是描述两个事件间的关系;(2)不同点,互斥事件强调两事件不可能同时发生,相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响;相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生.

【名师提醒】第十页，共44页。知识全通关4继续学习

高考帮数学第四讲二项分布及其应用、正态分布3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验:一般地,在相同的条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.【注意】(1)独立重复实验的条件:①每次试验在相同条件下可重复进行;②各次试验是相互独立的;③每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例,只要有“恰好”“恰有”字样,用独立重复试验的概率公式计算更简单.(2)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.第十一页，共44页。知识全通关5

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习

【名师提醒】第十二页，共44页。知识全通关6

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习考点2

正态分布1.正态曲线及其特点我们把函数

x∈(-∞,+∞)(其中μ是样本均值,σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线,简称正态曲线.正态曲线的性质:(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值(最大值);(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图14-4-1(1)所示;(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图14-4-1(2)所示.图14-4-1第十三页，共44页。知识全通关7高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习2.正态分布(1)正态分布的定义及表示如图14-4-2,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).(2)正态分布的三个常用数据①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.(3)3σ原则由P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974,知正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.图14-4-2第十四页，共44页。返回目录

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布题型全突破8【名师提醒】(1)在N(μ,σ2)中,第二个数是σ2,而不是σ;(2)若X~N(μ,σ2),则随机变量X在μ的附近取值的概率很大,在离μ很远处取值的概率很小;3.标准正态分布在正态分布中,若μ=0,σ=1,则正态分布称为标准正态分布,相应的分布密度函数为f(x)=

,x∈R,相应的曲线称为标准正态曲线.标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位,因为任何正态分布的概率问题都可以转化成标准正态分布的概率问题来求解.第十五页，共44页。题型全突破第十六页，共44页。考法1

条件概率的计算

继续学习

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布题型全突破1考法指导

计算条件概率的方法一般有下面两种:(1)利用定义计算,先分别计算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=(2)利用缩小样本空间法计算(局限在古典概型内),即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A,原来的事件B缩小为AB,利用古典概型计算概率:P(B|A)=【注意】

P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之间关系的应用,即P(B|A)=,P(A|B)=,P(AB)=P(A|B)·P(B)=P(B|A)·P(A）.第十七页，共44页。高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破2考法示例1

在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为

.

【思路分析】根据条件概率的定义求解或用缩小样本空间的方法求解.第十八页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破3【解析】

解法二

第一次取到不合格品后,也就是在第二次取之前,还有99件产品,其中有4件不合格的,因此第二次取到不合格品的概率为解法一

设事件A为“第一次取到不合格品”,事件B为“第二次取到不合格品”,则P(AB)=所以P(B|A)=第十九页，共44页。高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布考法2相互独立事件概率的计算继续学习题型全突破4考法指导

1.求相互独立事件概率的步骤计算相互独立事件同时发生的概率,一般分为以下几步:第一步,先用字母表示出题中有关事件;第二步,根据题设条件,分析事件间的关系;第三步,将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立);第四步,利用乘法公式计算概率.此外,也可以从对立事件入手计算概率.第二十页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破52.相互独立事件的概率的求法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;(2)间接法:正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如下表:事件A,B相互独立概率计算公式A,B同时发生P(AB)=P(A)P(B)A,B同时不发生P(

)=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)A,B至少有一个不发生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)A,B至少有一个发生P=1-P(AB)=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B)A,B恰有一个发生P=P(A+B)=P(A)P()+P()·P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)第二十一页，共44页。高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破6考法示例2

甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望【思路分析】(1)直接利用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式求解(2)求出ξ取各个值的概率→求分布列和期望第二十二页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破7【解析】

设Ak,Bk分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”,则(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知第二十三页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破8【解析】

(2)ξ的所有可能取值为1,2,3,且P(ξ=1)=P(A1)+P(B1)=

P(ξ=2)=P(A2)+P(B2)=综上知,ξ的分布列为ξ123P第二十四页，共44页。知识全通关10高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习一个实际问题中往往涉及多个事件,正确理解这些事件之间的相互关系是解决问题的核心,一般的思路是先把所要解决的随机事件分成若干个互斥事件的和,再把这些互斥事件中的每一个事件分成若干个相互独立事件的乘积,把所要求的随机事件的概率计算转化为已知的一些事件的概率之积、之和的计算,这是化解概率计算问题难点的关键..【突破攻略】第二十五页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布考法3二项分布的应用继续学习题型全突破11考法指导

1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试

验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→将k值代入求解概率→写出二项分布的分布列.2.若离散型随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),即其均值和方差的求解既可以利用定义,也可以直接代入上述公式.第二十六页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破12考法示例3

某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后第2位):(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.【思路分析】直接代入公式求解,其中第(2)问可以利用对立事件求概率.第二十七页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破13【解析】

【点评】弄清“5次中有2次准确且第3次准确”表示的意义是求解第(3)问的关键,它表示第3次准确,其他4次有1次是准确的.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X~B(5,),故其分布列为(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为第二十八页，共44页。高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破14考法示例4

某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况,从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3kg)测试,成绩在6.9米以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图14-4-5所示),已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数;(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名,记ξ表示两人中成绩不合格的人数,利用样本估计总体,求ξ的分布列、均值与方差.第二十九页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破15【解析】

(1)由频率分布直方图,知成绩在[9.9,11.4)的频率为1-(0.05+0.22+0.30+0.03)×1.5=0.1.因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4,故抽取的总人数为4/0.1=40.又成绩在6.9米以上的为合格,所以这次铅球测试成绩合格的人数为40-0.05×1.5×40=37.第三十页，共44页。高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破16【解析】

(2)

ξ的所有可能的取值为0,1,2,利用样本估计总体,从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为,成绩不合格的概率为,可判断ξ~B(2,).X012P第三十一页，共44页。高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布考法4

正态分布及其应用继续学习题型全突破17考法指导

对于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知:(1)P(x≥μ)=P(x≤μ)=0.5;(2)对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);(3)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法:(1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值直接求;(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解.第三十二页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破18考法示例5

若随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96)=0.025,则P(|ξ|<1.96)=

【思路分析】由题意可知μ=0→可知正态曲线关于y轴对称→可得P(|ξ|<1.96)第三十三页，共44页。

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破19【解析】

由随机变量ξ服从正态分布N(0,1),得P(ξ<1.96)=1-P(ξ≤-1.96),所以P(|ξ|<1.96)=P(-1.96<ξ<1.96)=P(ξ<1.96)-P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ<-1.96)=1-2×0.025=0.950.【答案】C第三十四页，共44页。高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布继续学习题型全突破20考法示例6

为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态曲线如图14-4-6所示.若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是

A.997 B.954 C.819 D.683【思路分析】解决本题的关键是求P(58.5<X≤62.5).第三十五页，共44页。返回目录

高考帮·数学第四讲二项分布及其应用、正态分布题型全突破21【解析】

由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.【答案】

D第三十六页，共44页。能力大提升第三十七页，共44页。混淆二项分布与超几何分布致误继续学习

高考帮数学第四讲二项分布及其应用、正态分布能力大提升1二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型,这两种分布存在着很多的相似之处,在应用时应注意各自的适用条件和情境,以免混用出错.

示例7某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.现在在总共8小块地中,随机选4小块地种植品种甲,另外4小块地种植品种乙.种植完成后若随机选出4块地,其中种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和均值.【思路分析】判断分布的类型→确定X的取值及其概率→列出分布列并求均值第三十八页，共44页。继续学习

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