【高中数学必修三】133进位制

【高中数学必修三】133进位制第一页，共16页。1.3.3案例3、进位制第二页，共16页。进位制 我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢? 进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.说明：可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.第三页，共16页。如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9,基数是10;十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15),十六进制的基数是16. 注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,.如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.说明：十进制数一般不标注基数.进位制第四页，共16页。[问题]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什么形式?1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.同理:3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.进位制第五页，共16页。 一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式（其中an,an-1,‥,a0是自然数）anan-1…a1a0(k)(0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)意思是:(1)第一个数字an不能等于0;(2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k. k进制的数与十进制一样也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1

+…+a1×k1+a0×k0.注意这是一个n+1位数.如：1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20第六页，共16页。不同进制间的转换第七页，共16页。将k进制数转换为十进制数例１把二进制数110011(2)化为十进制数.解：110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+ 1×21+1×20

=51第八页，共16页。将k进制数转换为十进制数练习：把下列数化为十进制数(1)1011010(2)(2)10212(3)第九页，共16页。将十进制数转换为k进制数例２把89化为二进制数.例３把89化为五进制数.第十页，共16页。11＝2×

5＋1方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。例2、把89化为二进制数解：根据“满二进一”的原则，有89＝2×44＋1＝2×

(2×22＋0)+1＝2×(2×(2×11＋0)+0)+1＝2×(2×(2×

(2×5＋1)+0)+0)+15＝2×2＋1＝2×（2×（2×（2×(2x（2+0）＋1）+1)＋0）＋0）＋189＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20所以：89=1011001（2）＝2×（2×(2×（2×(22＋1）＋1)+0）＋0）＋1＝2×(2×（2×（23＋2＋1）＋0）+0)＋1＝2×(2×（24+22＋2＋0）＋0)+1＝26＋24+23＋189＝2×44＋144＝2×22＋022＝2×11＋0＝2×(2×(2×(2×

(2×2＋1)+1)+0)+0)+1所以89＝2×（2×（2×（2×（2×(2×(2×

0＋1）+0)+1)＋1）＋0）＋0）＋1十进制转换为二进制2＝2×1＋01＝2×0＋1＝2×(2×(2×(2×

(2×(2

×1+0)＋1)+1)+0)+0)+1＝2×(2×(2×(2×

(2×(2

×(2×0+1)+0)＋1)+1)+0)+0)+1=2×（25+23＋22＋0）＋0)+1第十一页，共16页。注意：1.一直除到商为0停止;2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）另解（除2取余法的另一直观写法）：522212010余数11224489222201101练习将下面的十进制数化为二进制数？（1）10（2）20上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法第十二页，共16页。例3：把89化为五进制数。十进制转换为五进制解：根据除k取余法以5作为除数，相应的除法算式为：所以，89=324（5）895175350423余数第十三页，共16页。练习：完成下列进位制之间的转化：（1）10231（4）=（10）；（2）235（7）=（10）；（3）137（10）=（6）；（4）1231（5）=（7）；（5）213（4）=