卡平方检验方法研讨

X2检验法：１．X２分布：Ｘ－μ我们已知：正态离差：U=δ假如我们用X2来表示U2,则有：（Ｘ－μ）２Ｘ２＝δ２

如果有几个样本，则将几个样本的X2相加：（Ｘ－μ）2(Ｘ－μ)２(Ｘ－μ)X2＝δ21+δ２２+

．．．

δnn(Ｘ－μ)2＝∑δ2当样本的方差等于理论平均数时:(即:δ2=μ)(Ｘ－μ)２则：X2＝∑U由此可知：１．X2分布是当样本的方差等于理论平均数时的一种特殊形式的正态离差平方的分布．２．其分布是连续的，其值域的大小随着自由度的增加而增加。（即：项数越多，X2值越大）。2、适合性检验：例：已知：男女性别比例为：1：1。调查某地100名新生儿，得：男：58，女：42。问：该地区新生儿是否符合1：1比例？解：假设：H0:O-T=0(符合1：1比例）。HA:O-T≠0(不符合1：1比例）。已知：男：女＝1：1则：男女∑理论5050100实际5842100∑10892200(A-T)2(58-50)2(42-50)2X2=∑T=50+50=2.56查表：df＝2-1＝1X0.05,1=3.8412.56<3.841P>0.05结论：接受HO,符合1：1比例。

由于X2分布是连续性的，而次数资料则是间断性的，由间断性资料算得的X2值有偏大的趋势，尤其是df＝1时，必须作适当的矫正。矫正的方法是：将各偏差的绝对值减去1/2。公式改成：(|A-T|-1/2)2X2C=∑T如果我们用：a－表示第一组变量。b－表示第二组变量。n－表示实际观察总数。则：上式中的：T=1/2n＝1/2(a+b)n＝a+b(|A-T|-1/2)2(|a-T|-1/2)2(|b-T|-1/2)2X2C=∑T=1/2n+½n2(|a-T|-1/2)2+2(|b-T|-1/2)2=n（分子分母同乘以2）2[|a-(1/2a+1/2b)|-1/2]2+2[|b-(1/2a+1/2b)|-1/2]2=n2[|a-1/2a-1/2b|-1/2]2+2[|b-1/2a-1/2b|-1/2]2=n2[|1/2a-1/2b|-1/2]2+2[|1/2b-1/2a|-1/2]2=n2×1/4[|a-b|-1]2+2×1/4[|b-a|-1]2=n(|a-b|-1)2=n所以：(|a-b|-1)2

X2C=n一对基因1：1分离(|a-3b|-2)2X2C=3n一对基因，完全显性。3:1分离。(|7a-9b|-7/8)2X2C=63n两对基因，显性上位。9:7分离。(|a-15b|-8)2X2C=15n两对基因，重复基因。15:1分离。(|a-2b|-3/2)2X2C=2n一对基因，显性致死。2:1分离。[|a-ra|-(r+1)/2]2X2C=rnr:1分离。两组以上资料（的df≥2）的适合性检验：例：孟德尔豌豆杂交试验：两对基因：9:3:3:1分离。黄、满×绿、皱F1:黄、满F2:黄、满(315):黄、皱(101):绿、满(108):绿、皱(32)问：是否符合9:3:3:1的比例？解：HO:O-T=0(符合9:3:3:1的比例)HA:O-T≠0(不符合9:3:3:1的比例)黄满黄皱绿满绿皱∑实际A31510110832556理论T312.75104.25104.2534.75556A-T2.25-3.253.75-2.750因df≥2，故不必矫正：2.252(-3.25)23.752(-2.75)2X2=312.75+104.25+104.25+34.75=0.4695查表：df＝4-1＝3X20.05,3=7.810.4695<7.81P>0.05结论：接受HO,符合9:3:3:1的比例。X2的正态分布检验：例：调查1000粒某植物种子的重量，单位：克。数据已经列成下表。问：这次调查的数据是否符合正态分布？组限观测值Oi编码ViVi2Oi*ViOi*Vi2组界u=(µ-û)/svØ(u)理论数△Ø(u)nX23.92-3.964000000.0000.000015.78.7193.97-4.01361136360.5-2.1530.015741.10.6334.02-4.06129242585161.5-1.5820.056899.48.8144.07-4.111883956416922.5-1.0110.1562173.81.1604.12-4.1621141684433763.5-0.4400.3300222.10.5554.17-4.2117652588044004.50.1310.5521206.64.5324.22-4.2614263685251125.50.7020.7587140.00.0294.27-4.318074956039206.51.2740.898768.81.8234.32-4.363086424019207.51.8450.967524.71.1374.37-4.414981363248.52.4160.99227.81.851∑10004270212961000.029.254解：∑X=∑OiVi=4270∑X2=∑OiVi2=21296X=∑X/n=4270/1000=4.27S2=(∑X2-(∑X)2/n)/(n-1)=21296-42702/1000/999=3.066167S=√3.066167=1.75105假设：H0：O-T=0(符合正态分布)HA：O-T≠0(不符合正态分布)查表：X27,0.05=14.067,29.254>14.067,P<0.05结论：拒绝H0,该分布不符合正态分布。注意：由实际数转换成理论概率增加一次自由度，再由理论概率转换成理论数又增加一次自由度，故df=10-1-2=7。3、独立性检验－－次数资料的相关分析。例如：一组变量(γ射线剂量)另一组变量(死亡率％)

γ1a1

γ2a2

γ3a3……若：两组变量相互独立，则表明：无关。无效果。两组变量相互不独立，则表明：有关。有效果。1)、2×2表格：例：CO60-γ射线辐照引起水稻死亡率的效果分析：存活数死亡数∑死亡率％CK56197525γ3万伦745112541∑13070200假设：HO:两事件独立。即：种子照否这一事件与水稻活否这一事件毫无关系。（也就是说：照射无作用，无效假说。）HA:两事件非独立。（有关、有效、有作用。）如果把：存活的总数（130）死亡的总数（70）对照的总数（75）辐照的总数（125）都看作是事件出现的频率次数，而200则是试验的总次数。如果辐照与否同存活与否这两个事件互为独立事件，则：两独立事件同时出现的概率等于两事件概率之积：故：存活、对照的频率：130×75/200＝48.75死亡、对照的频率：70×75/200＝26.25存活、辐照的频率：130×125/200＝81.25死亡、辐照的频率：70×125/200＝43.75存活对照死亡对照存活辐照死亡辐照实际A56197451理论T48.7526.2581.2543.75A-T7.25-7.25-7.257.25(7.25-0.5)2(-7.25-0.5)2(-7.25-0.5)2(7.25-0.5)2X2C=48.75+26.25+81.25+43.75=4.38查表：df=(C-1)(r-1)=(2-1)(2-1)=1X20.05,1=3.844.38>3.84P<0.05结论：否定HO,接受HA。表明γ射线辐照对水稻的存活有显著的作用。2×2表格的X2独立性检验的通式：a11a12R1a21a22R2C1C2n2)、2×C表格：例：水稻在三种密度下纹枯病的发病情况：15×10寸6×9寸8.5×6寸∑病株数264154121健株数174159146479∑200200200600同理：15×10病株：200×121/600=40.3315×10健株：200×479/600=159.676×9病株：200×121/600=40.336×9健株：200×497/600=159.678.5×6病株：200×121/600=40.338.5×6健株：200×497/600=159.6715*10病株15*10健株6*9病株6*9健株8.5*6病株8.5*6健株∑实际A261744115954146600理论T40.33159.6740.33159.6740.33159.67600A-T-14.3314.330.67-0.6713.67-13.67(-14.33)214.332(-13.67)2X2=40.33+159.67+……+159.67=12.193df=(c-1)(r-1)=(2-1)(3-1)=2查表：X20.05,2=5.9912.193>5.99P<0.05结论：否定HO,接受HA。不同种植密度与纹枯病发病情况显著相关。即：不同密度下的纹枯病发病情况有显著差别。2×C表格通式：123……c∑1a11a12a13……a1cR12a21a22a23……a2cR2∑C1C2C3……Ccn上例代入公式：

60022624125421212X2=121×479×(200+200+200-600)=12.195r×c表格：例：不同灌溉方式下水稻叶片衰老情况的调查：灌溉方式绿叶数黄叶数枯叶数∑深水146(14069)7(8.78)7(10.53)160浅水183(180.26)9(11.24)13(13.49)205湿润152(160.04)14(9.98)16(11.98)182∑4813036547解：H0:O-T=0(水稻叶片衰老情况与灌溉方式无关。)HA:O-T≠0(水稻叶片衰老情况与灌溉方式有关。)(146-140.69)2(16-11.98)2X2=140.69+……+11.98=5.62查表：df=(r-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=4X20.05,4=9.495.62<9.49P>0.05结论：接受H0,水稻叶片衰老情况与灌溉方式无关。即：不同的灌溉方式对水稻叶片衰老情况没有显著的影响。R×C表格通式：123……c∑1a11a12a13……a1cR12a21a22a23……a2cR23a31a32a33……a3cR3……rar1ar2ar3……arcRr∑C1C2C3……Ccn上例代入公式：

146272162X2=547×[(160×481+160×30……+182×36)-1]=5.634)、几个样本方差的X2同质性检验：（齐性检验）我们已知：X2=U2=(X-μ)2/δ2多个样本，则：X2=U12+U22+……+Ui2=∑Ui2③几个样本方差同质的X2检验：我们已知：若有k个样本，则：各样本的独立方差为：S12=∑(X1-X1)2/df1

S22=∑(X2-X2)2/df2

S32=∑(X3-X3)2/df3

……Sk2=∑(Xk－Xk）2/dfk式中的分子我们称之为“离差平方和”。∑(X-X)2分母我们称之为“自由度”。df=n-1那么：k个样本的合并方差是多少呢？方法是：将k个样本的平方和累加除以k个样本的自由度累加。即：合并方差：∑(X1-X1)2+∑(X2-X2)2+……+∑(Xk-Xk)2

Sp2=df1+df2+

……+dfk=(df1s12+df2s22+……+dfksk2)/(df1+df2+……dfk)=∑dfisi2/∑dfi[因为:∑(X-X)2=dfS2]式中：2.3026是lnlog的转换值。例：三个同学用同一种培养基培养细菌，得如下结果：（菌落数/皿）甲做5皿n＝5df1＝4S12=4.2乙做6皿n＝6df2＝5S22=6.0丙做12皿n＝12df3＝11S32=3.1问：三个同学所做的实验方差的来源是否同质？解：H0:方差同质。HA:方差不同质。iSi2γiγiSi2lnSi2γilnSi