向心加速度导学

r221r221【知能准备】．加速度是表示

的物理量，它等于

的比值。在直线运动中表示0初速度表末度速度变化量Δ=

速公式a

方向与速度变化量方向。直运动中速度方向为正方向果速度增大速大初速度=－0

（填“”或”与速度方向速度减小=－v0

0向与初速度方向。．在曲线运动中，速度变化量Δv与末两个速度v、关系_____________________________0．在圆周运动中，线速度、角速度的关系是。【同步导学】．研究匀速圆周运动向心加速度的方法观分析自然现象以及日常生活中的匀速圆周运动实例究做匀速圆周运动的体的受力情况，将牛顿第二定律迁移到匀速圆周运动这一曲线运动中来，获得向心加速度的大小和方向。根加速度的定义=

，求出匀速圆周运动中速度的增v的小和方向，运用微积分的思想，求出向心加速度的大小和方向。．曲线运动速度增Δv=v-v的法21将量减法转化为矢量加法计算Δvv-v=+(-vv就是与矢量v大相等方向相反的)2221运用平行四边形法则可以求得。矢三角形法：将表示、v的个矢量，保持原来的大小和方向，使它们的始端重合，然后从1初态矢量v的头向末态矢量v的箭头端做一有向线段，此有向线就是所要求的矢Δv=v-v。11．向心加速度⑴定：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。⑵方：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻在改变，论加速度的小是否变化a的向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速度的运动。n⑶几表达式：除了教材介的、=rωnn

2

外，向心加速度还有另外几种形式：联系ω=

π

2πf，代入a=r可：=r和aπfr，再根据=可得vnnn至此，我们常遇到的向心加速度表达式有以上五种。由向心加速度的表达式和匀速圆周运动的特点可知：匀速圆周运动是一个加速度大小不变、方时刻变化的变加速曲线运动。例一质点着半径r=1m圆周以1r/s的速匀速转动，如图，试求：从点始计时，经过的间质点速度的变化；4质的向心加速度的大小。

O

r

A解析(1)求的间连接质点的半径转过的角度是多少；/

（例1）

2222rn22222rn2求质点在点

14

s末速度的大小和方。由量减法作出矢量三角形。明边角关系，解三角形求v的小和方向。根a=n

r

或ωr求向心加速度的大。n答案(1)v=2πm/s方与OA连成°角指向圆心Oaπ例一小球细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度为a，则（）A小球相对于圆心的位移不变B小球的线速度为RaC．球在时间内过的路程=aD．球圆周运动的周期=2π

R/解析小球做匀速圆周运动，各刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变由a=

R

得v=Ra，所以v=Ra，在间t内过的路程=vt=Ra做圆周运动的周期=

π

=

2πR=πRa

答案：BD⑷物意义：因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变其大小所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量。例关于向加速度，下列说法正确的是（）A它是描述角速度变化快慢的物理量B它是描述线速度大小变化快慢的物理量C．是描述线速度方向变化快慢的物理量D．是述角速度方向变化快慢的物理量解析(1)从速圆周运动特点入手思考，匀速圆周运动其角速度不变，线速度的大小不变，线速度方向总是与半径垂直在不断变化，半径转过多少度，线速度的方向就改变多少度。故答案为思考从公式=看向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式=rωn径成正比，这两个结论是否矛盾？

2

看，向心加速度与半分析我们注意到公式y=中y与x成比的前提条件是k为定值理公=中r当v为值时a与r成比；在公式a=r中ω为值与r成比。因此，这两个结是在nnn不同的前提下成立的，并不矛盾。思考如图示自车的大齿轮小齿轮后三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A、、。中哪两点向心加速度的关系适/

（图1）

22rr22nnn22用于“向心加速度与半径成正比两点适用于“向心加速度与半径成反比”？作出解释。22rr22nnn22分析大齿用链条相连此轮边缘上的点线速度必相等有vv===，A所以A、两点的向心加速度与半径成反比。小齿轮与后轮共轴，因此两者有共同的角速度，即ω==ω，a=rBC

2

，a=rωCC

2

，所以、C两点的向心加速度与半径成正比。．匀速圆周运动的向心加速度的大小与线速度、角速度、圆周半径的关系。由=n

2r

1知：r一时，∝v；一时，∝；一时∝r；r由=r知r一时a∝ω；ω一时∝，a一时，nnn

1r

。例4如所示为质点Q做速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点的线是双曲线，表示质点Q图线是过原点的一条直线。由图线可知（）A质点P线速度大小不变B质点P的速度大小不变C．点的角速度随半径变化D．点Q的速度大小不变

（例4）解析根据图象提供的曲线的性建立起质点做匀速圆周运动的向心加速度a随半径r变的函数关系，再根据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出判断。答案A点评在用图象解决物理问题，要注意充分挖掘图象中所携带的信息，如：一个量随另一个量如何变化；变化的确切数量关系；斜率多大，其物理意义是什么?截距、面积各有什么意义等。同时还要注意把物理图象和具体的物理情景结合起来，考虑应该选取哪一个规律或公式解决问题。例如图所示，一球体绕轴以角速ω旋，、B为体两点。下列说12法中正确的是（）A、两具有相同的速度B．、两点具有相同的线速度C．、两点具有相同的向心加速度D．A、两的向心加速度方都指向球心

（例5）解析A、都球体一起绕轴O旋转，转一周所用时间相等，故角速度相，ω=12B做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，故的道半径rOAsin60°，同理，的道半径ArOBsin30°所以两者的线速度v=rω=BAA

32

ωv=rω=ω，然，>。BAB两者的向心加速度==A

32

ω，aω=OBω显两的向心加速度也不相等，B又两者的向心加速度指向各自的圆心，所以并不指向球心。答案A例如图所O为两个皮带轮O轮半径为r，O轮半径为，且Rr，M为O轮1缘上的一点点O轮的任意一点，当皮带轮转动时（设转动过程中不打滑）1/

r222AM点的向心加速度一定大于N的向心加速度BM点向心加速度一定等于N点向心加速度C．M点的向心加速度可能小于点向心加速度D．M的向心加速度可能等于N点的向心加速度r222

（例6）解析因为两轮的转动是通过皮传动的，而且皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等。在大轮边缘上任取一点，为>r，以由a可知，a<a，比较、两点的M向心加速度的大小，因为Q是同一轮上的两点，所以角速ω相。又因为R>R，由a=r可N知，a>，综上见a>，此A选正确。MN【同步检测】．由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以（）A地球表面各处具有相同大小的线速度B地球表面各处具有相同大小的角速度C．球表面各处具有相同大小的向心加速度D．球面各处的向心加速度方向都指向地球球心．下列关于向心加速度的说法中，正确的是（）A向心加速度的方向始终与速度的方向垂直B向心加速度的方向保持不变C．匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．匀圆周运动中，向心加速度的大小不断变化．由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与于北纬60°的物体2则（）A它们的角速度之ω∶∶12B它们的线速度之比v∶v=2112C．们的向心加速度之比a∶a=2∶12D．们向心加速度之比a∶∶11．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是（）A由a

/r，知与r成反比B由ar，知与r成比C．由/r，知ω与r成比D．由ω=2n知与速正比．AB两小球都在水平面上做匀速圆周运动A球的轨道半径是球道半径的2倍A转速为30r/min，B的转速为15r/min则两球的向心加速度之比为（）A1B：1C41D．：．如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的倍是大轮边缘上一点，是轮边缘上一，C是轮上一点圆心O的离等于小轮半径动时皮带不打滑。1则A、B、三点的角速度之ω∶∶ω=A。之比a∶a∶aA

，向心加速度大小/

（第6题）

22．如图所示，定滑轮的半径r=2cm绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度做加速运动在重物由静止下落1的间滑轮边缘上P点角速ωrad/s，心加速度a=_____。22·P．如图所示，摩擦轮和通中介动轮的径为20的径为，

轮C行传则A两轮

（第8题）

动，为边缘上的点，角速度之比为_；向心加速度之比【综合评价】

（第7题）

为_____。．做匀速圆周运动的物体，下列哪个物理量是不变()A线速度

B加速度

C．速度

D．同间内的位移．匀速圆周运动特点()A速度不变，加速度不变C．度不变，加速度变化

B速度化，加速度不变D．度加速度的大小不变，方向时刻在变．关于向心加速度，下列说法正确的是（）A向心加速度是描述速率变化快慢的物理量B匀速圆周运动中的向心加速度恒定不变C．心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量D．心速度随轨道半径的增大而减小．关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的)A在赤道上向心加速度最大B在两极向心加速度最大C．地球上各处向心加速度一样大D．着度的升高向心加速度的值逐渐减小．关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（）A它们的方向都沿半径指向地心B它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴C．京的向心加速度比广州的向心加速度大D．京向心加速度比广州的向心加速度小如图所示的皮带动装置中A和B同BC分是三个轮边缘上的质点r=r=2，AB则三个质点的向心加速度之比a：：a等()ABA4:2:1C．

B．2:1:2D．

（第题．如图所示为绕轴转动的偏心轮，则轮上各点（）A线速度大小均不相同B向心加速度与到轴O的距离成正比/

O·（第7题）

202222C．速度均不相同202222D．心速度大小相同．如图所示为一皮带传动装置。右轮的半径为r，a是边缘上的一，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r小轮的半径为2rb在小轮上小轮中心的距离为rc和d点别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中皮带不打滑，则（）Aa点点的线速度大小相等Ba点与b点的角速度大小相等C．点c点线速度大小相等D．与d点向心加度相等

（第8题）．一物体在水平面内沿半径R=20cm的形轨道做匀速圆周运动，线速度v，那么，它的向心加速度为______m/s它的角速度为rad/s它的周期为______s。．一圆环，其圆心为O，若以它的直径为做匀速转动，如图所示，圆环上P、Q两的线速度大小之比是_______；若圆环的半径是，绕AB轴转动的周期是，环上点向心加速度大小是________11图甲、径变化的图象，其动时，线速度大小度；球运．物体以

（第10题

乙两球做匀速圆中甲的图线为双（填“变化”或动时，线速度大30m/s的率沿

（第题）

周运动时向心加速度随半曲线由图象可知球“不变下同角速小，速度。半径为m的圆形轨道运动，当物体从A运动到时物相对圆心转过的角度为90，这一过程中，试求：物位移的大小；物通过的路程；物运动的向心加速度的大小．．如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的，大轮上的一点离

（第题）动轴的距离是半径的1/3，大轮边缘上的P点的向心加速度是0.12m/s时，大轮上的S和小轮边缘上的Q点