高等代数北大版教案-第3章线性方程组

・・2#・那么向量组称为线性相关的。显然，因为零向量可以被任一个向量组线性表出,那么任意一个包含零向量的向量组必线性相关。定义向量组（）称为线性相关，如果数域中不全为零的数,使定义12一向量组不线性相关，即没有不全为零的数，使就称为线性无关,或者说,一向量组称为线性无关，如果由可以推出。由定义立即得出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换个说法,如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关。显然，由维单位向量组成的向量组是线性无关的。定理2设与是两个向量组，如果1）向量组可以经线性表出.2）。那么向量组必线性相关.推论1如果向量组可以经线性表出,且线性无关,那么。推论2任意个维向量必线性相关。推论3两个线性无关的等价向量组,必含有相同个数的向量.定义13一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这个向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.显然，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价，向量组的两个极大线性无关组是等价的。定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定义14向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。由定义立即得出，一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同。显然,等价的向量组有相同的秩。§4矩阵的秩一授课内容：§4矩阵的秩二教学目的：理解和掌握行秩、列秩、矩阵的秩，掌握矩阵的秩与k级子式的关系，会求矩阵的秩。教学重难点:定理4的证明。教学过程:如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以看作由这些行向量所组成的,同样的，如果我们把矩阵的每一列看成一个向量,那么矩阵就可以看作由这些列向量所组成的.定义15所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩.引理如果齐次线性方程组的系数矩阵的行秩，那么它有非零解.定理4矩阵的行秩与列秩相等。因为矩阵的行秩与列秩相等，所以下面就统称为矩阵的秩.定理5矩阵的行列式为零的充分必要条件是的秩小于。推论齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式等于零.定义16在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的矩阵的行列式,称为的一个级子式.定理6一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一级子式不为零，同时所有的级子式全为零.怎样计算矩阵的秩，可以用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵，其中非零行的数目就是原矩阵的秩。§5线性方程组有解的判定定理一授课内容:§5线性方程组有解的判定定理二教学目的：理解和掌握线性方程组有解判定定理,利用克兰姆法则写出一般解三教学重难点:判定定理的证明。四教学过程：线性方程组有解的判定定理线性方程组(1)有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。§6线性方程组解的结构授课内容：§6线性方程组解的结构二教学目的:理解和掌握基础解系的概念，掌握方程组解的性质，掌握一般线性方程组解的结构.三教学重难点:基础解系，解的结构.四教学过程:对于齐次线性方程组（1）它的解构成的集合具有下面两个重要性质：1．两个解的和还是方程组的解。2．一个解的倍数还是方程组的解。综上，解的线性组合还是方程组的解。定义17齐次线性方程组（1）的一组解称为（1）的一个基础解系，如果1）（1）的任何一个解都可以表示为的线性组合.2）线性无关。定义7在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系,并且它所含解的个数就等于，这里表示系数矩阵的秩.（以下将看到,也是自由未知量的个数）由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系。对于一般的线性方程组:（9）如果把常数项换成零，就得到齐次线性方程组（1）,方程组（1）称为方程组（9）的。方程组（9）的解与它的导出组（1）的解有密切的关系:1．方程组（9）的两个解的差是它的导出组（1）的解。2．方程组（9）的一个解与它的导出组（1）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解。由这两点容易证明定理8如果是方程组（9）的一个特解,那么方程组（9）的任一个解都可以表成（10）中是导出组（1）的一个解。因此,对于方程组（9）的任一个特解，当取遍它的导出组的全部解时，（10）就给出（9）的全部解.推论在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组（1）只有零解.例用消元法解方程组例把向量组表示为向量组的线性组合：，，,，。例证明如果向量组线性无关，而，线性相关，则向量可以由线性表出。例设是互不相同的数,,证明:是线性无关的。例证明如果向量组可