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文档简介
5.9正弦定理、余弦定理解三角形复习(1)正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即S△ABC=absinCS△ABC=acsinBS△ABC=bcsinA一、复习
正弦定理正弦定理可以用来解两种类型的三角问题:
(1)已知两角和随意一边,可以求出其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角。一、复习
正弦定理
1.余弦定理是解三角形的又一重要工具c2=a2+b2-2abcosC;b2=c2+a2-2cacosB;a2=b2+c2-2bccosA;b2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=2.余弦定理可解以下两种类型的三角形:(1)已知三边;(2)已知两边及夹角.;;.二、复习
余弦定理在三角形中由已知的边与角求出未知的边与角,称为解三角形.三个独立的条件确定一个三角形.(1)已知两角一边;ABCabc(2)已知两边及其中一边的对角;ABCabc(3)已知三边;(余弦定理)ABCabc(4)已知两边及夹角.(余弦定理)ABCabc例题讲解例1在中,已知,求b(保留两个有效数字).
解:∵且一、已知两角、一边(正弦定理)A、A、S三角形唯一例2在中,已知,求。例题讲解解:由
得
∵在中
∴A为锐角
二、已知两边、一边所对的角(正弦定理)BACba例3在中,已知,求。例题讲解解:由
得
∵在中
∴B
为锐角或钝角
二、已知两边、一边所对的角(正弦定理)BACbaB1在中,已知,那么_____。练习:二、已知两边、一边所对的角(正弦定理)A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定2:在ABC中,已知a=7,b=10,
c=6,求A、B和C.解:b2+c2-a22bc∵cosA==0.725,∴A≈44°a2+b2-c22ab∵cosC==0.8071,∴C≈36°,∴B=180°-(A+C)≈100°.∵sinC=≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinA
a()三、已知三边(余弦定理)ABCOxy
3:ABC三个顶点坐标为(6,5)、
(-2,8)、(4,1),求A.解法一:∵AB=√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC=√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC=√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA==,2ABACAB2+AC2-BC22√365∴∴A≈84°.COxy
3:ABC三个顶点坐标为(6,5)、
(–2,8)、(4,1),求A.解法二:∴A≈84°.∴cosA=
==.AB·ACABAC(–8)×(–2)+3×(–4)√73·2√52√365∵AB=(–8,3),AC=(–2,–4).BA解:在AOB中,∵|a–b|2
=|a|2+|b|2–2|a||b|cos120°
=61,∴|a–b|=√61.
4:已知向量a、b夹角为120°,且|a|=5,|b|=4,求|a–b|、
|a+b|及a+b与a的夹角.a-ba+bBbACa120°O∴a+b
=√21.∴∠COA即a+b与a的夹角约为49°.∵cos∠COA=≈0.6546,a
2+a+b
2–b
22aa+b
4:已知向量a、b夹角为120°,且|a|=5,|b|=4,求|a–b|、
|a+b|及a+b与a的夹角.a-ba+bBbACa120°O在OAC中,∵|a+b|2
=|a|2+|b|2–2|a||b|cos60°
=21,练习:(1)在中,一定成立的等式是(
)
C(2)在中,已知,则B等于()A.30ºB.60ºC.120ºD.60º
或120º
D一、复习
正弦定理练习:(3)在任一中,求证:
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