江苏苏教版高中新课标总复习文数直线和圆综合应用

江苏苏教版高中新课标总复习文数直线和圆综合应用直线与圆的综合应用第49讲直线与圆相切

【例1】已知E(－2,4)，F(4,1)，G(8,9)，△EFG的内切圆记为⊙M.(1)试求出⊙M的方程；(2)设过点P(0,3)作⊙M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作⊙N：x2＋y2－4x＋λy＋4＝0的两条切线，切点分别记为C，D.试确定λ的值，使AB⊥CD.点评

为了减少计算量，本题中的三条直线，两条互相垂直，两条关于水平直线对称．因而也可以通过求角平分线的交点而得出圆心．事实上，一条水平线为y＝4，两条互相垂直直线的角平分线所在直线的斜率为tan(α＋π/4)＝－3(tanα＝2)，直线方程为y＝－3x＋13，两直线交于点(3,4)，即为圆心，后利用圆心到任一条直线的距离即就是圆的半径．另外，本题中涉及线性规划，几何概型等考点，但仅是给出它们的背景，不要深入挖掘．将知识点有机组合而成的综合问题，是命题的一种趋势．【变式练习1】已知圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，点A(2a,0)，B(0,2b)，且a>1，b>1.(1)若圆与直线AB相切时，求线段AB的中点的轨迹方程；(2)若圆与直线AB相切，且△AOB面积最小时，求直线AB的方程及△AOB面积的最小值．直线和圆的方程的综合应用

【例2】已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay＋1＝0，过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点．(1)求a的值；(2)设E为圆C上异于A、B的任意一点，求圆C的内接三角形ABE的面积的最大值．点评

本题较好地考查了直线与圆的交点弦及圆内接三角形面积的最值．第(1)问的顺利解决得益于代入求差法：已知曲线的弦的中点为定点，斜率为定值，则设弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，斜率都出来了，

因而可以方便地求出参数a的值；第(2)问可以先求出直线CP的方程，然后求直线CP与圆的两个交点坐标，取能使到直线AB距离最大的一个点E的坐标，再求|EP|即可，但用三角代换的方法显然容易得多动圆性质的探究

【例3】已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．【解析】(1)圆C的方程可化为(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心为(t，t2)，则由题意有t－t2＋2＝0，所以t＝－1或t＝2，故圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10或(x－2)2＋(y－4)2＝16.点评

动圆过定点问题有两种解法：一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证；二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得定点坐标．【变式练习4】已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．1.过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_________________2.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为__________

x＋y－1＝034.已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0交于P、Q两点．O为坐标原点，问是否存在实数m，使OP⊥OQ，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．5.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴上和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O是坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．1．求圆的方程通常用待定系数法．若所求的圆过已知两圆的交点或一直线与圆的交点，一般用圆系方程．

2．如果圆心问题转化为三角函数问题更方便求解，则将圆上的点的坐标用参数式表示，特别是求最值的问题．3．有关直线和圆的位置关系，一般要由圆心到直线的距离与半径的大小来确定．

4．直线与圆所涉及的知识都是平面解析几何的最基础的内容，并渗透到解析几何的各个部分，尤其是直线与圆的位置关系等，构成了解析几何问题的基础．因此，要在这些基础知识的内在的联