求极限的方法及例题总结

1义：lim(3x1)5用极限严格定义证明。数的定义求极限方法要求熟练的掌握导数的定义。2运算法则定理1已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)AB3

limf(x)

,(此时需B0成立)：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。1/121(1(limlimn(n2nn[(n2)(1)]2223(()0(()18.等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

解：原式

(3x1)222

题也可以用洛比达法则。 lim

n

nn

lim

12

31

1

32解：原式 n n lim 例3n 原式

3重要极限limsinx1（1）x 2/12llim (11)～～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～exee3x1～3x；ln(1x2)～x2limlim(13)e1lim(1x)xe（2）x0

x

xe

limsin3x1x0

，x0x

x

等。个重要极限求极限

x0解：原式

x0

2limx021 12()2

题也可以用洛比达法则。

x0

2解：原式

x0

13sinx

6sinx

lim[(13sinx)x0

13sinx]

6sinx

e6

lim(例7n

n解：原式

(n

3)

n13n3n1

n

3)

n1 3n3]n1

e3

4价无穷小0 1。关系成立，例如：当x0时， 定理4如果函数

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且3/12

～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当

f1(x) g1(x)存在时，xx0g(x)也存在且等

f(x)xx0

f1(x)g1(x)

lim

f1(x)g(x)

利用等价无穷小代换（定理）求极限

x0

limx0

x3x3

exesinxx0 xsinx解：原式

x0

esinx(exsinx1)

x0

esinx(xsinx)

面的解法是错误的：

x0

(ex1)(esinx1)xsinx

x0xsinx

下面例题解法错误一样：limx0 x3limx0 x3

例11x0tan(x2sin)

1 是无穷小，tan(x2sin)与x2sin

lim所以，原式=x0

x2sin

1xlimxsin10

4/12利用无穷小的性质求极限限常常行之有效。例1.x0ex21

lim2.x0

5比达法则3

lim

lim

f(x)g(x)

lim

li

f(x)g(x)

lim

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验0 证所求极限是否为“0”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）都需要注意条件。比达法则求极限换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。

x0

）解：原式

sinxx0

5/1222sin原式原式limln(1x)lim例13x1cosx1lim

2

x0

xsinx解：原式=

x0

x0

x0x2sinxx0

sinxxcosx

x0

cosx(cosxxsinx)x0

lim[

解：错误解法：原式

1 lim[]0 x0

解法：x0

x011lim1xx0

x02x(1x)

注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。x3xcosx解：易见：该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：x

6/12aaax1,,xn1ax所以所以原式=2e4e。在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

limx

2sinx13

（分子、分母同时除以x）=3（利用定理1和定理2）6续性

x0是函数f(x)的间内的一点，则有

limf(x)f(x0)x0

利用函数的连续性（定理）求极限

1例4x2解：因为x02是函数122

f(x)x2e

个连续点，7存在准则利用单调有界准则求极限常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。xa,x例1.设a0，1

7/12一定存在，且极限值也是一定存在，且极限值也是a，即}}单调递增，且有界（0<

limxn

1

limya limza（2）n limxa10.

n

n限存在准则求极限

2,x

2x

，求n

limx 8/122222 nnn222 n2

a

已知的递推公式

a a 2或a1（不合题意，舍去）limx2所以n 解：

n21 n22

n21 因为n n2 n2

lim(

1

1

1

n

)1

9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法奇效。11.泰勒展开法9/1212.利用定积分的定义求极限法本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问8.利用复合函数求极限10/12，可将函数，可将函数f(n)作为级数0，故对某些极限利用级数收敛的必要条件求极限收敛的必要条件是：若级数

limun

limf(n)n f(n)n

般项，只须证明此技术收敛，便limf(n)0有n

例nnn、利用幂级数的和函数求极限数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourie