高级运筹学课件库存论

1、Theory of Inventory库存论第五章5.1 库存问题概述库 存l 库存一词在英语里面有两种表达方式：Inventory和Stock，它表示用于将来目的的暂时处于闲置状态。l 库存的目的：l 是防止短缺，就象水库里储存的水一样；l 它还具有保持生产过程连续性、分摊订货费用、快速满足用户订货需求的作用。库存是缓解供给与需求之间不协调的重要环节供应库存需求库存的双重影响l 积极影响l 缓冲作用l 制造与中的性l 生产连续运行的媒介l 服务水平(Service Level)l 消极影响l 占用资金l 库存系统运行费用l 机会成本(Opportul 掩盖管理问题Cost)顾客的参与变换过程

2、产出 服务生产与活动过程实施信息反馈24513投入 人力 物料 设备 技术 信息 能源 土地Types of InventoryRaw materialWork-in-process (WIP)2.在制品4.产成品1.原材料3.维修备件Maintenance /Repair/Operating supply (MRO)Finished goodsCycle Stock and Safety StockOn HandTimeWhat should my inventory policy be? (how much to order when)What should my safety stock

3、 be? What are my relevant costs?Cycle StockCycle StockCycle StockSafety Stock库存论发展的里程1915年F哈里斯就稳定需求，即对供应的情况得出关于费用的“简单批量公式”。l1929年，L梅厄（奥地利人）的仓库业的经营经l济学是与库存论有关的早期著作之一。二战后，由于成批生产的日益普遍，同时由于运筹学的其他分支和管理科学的建立，库存论得到深入的发展，例如随机性模型得到进一步的研究，20世纪50年代，库存论成为一门应用广泛的运筹学的分支学科。库存论被应用到更广泛的领域：停车场大小，铁路车场侧线数量、电力系统发电设备容量、电

4、子计算机容量等的决策问题都可应用库存论来解决。自上世纪70年代，汽车工业的发展和生产管理，为库存论的研究注入新的要素，如JIT.lll供应链管理环境下的库存l 库存问题l 信息类问题（牛鞭效应）l 供应链的问题l 供应链的战略与l 库存策略：l VMI管理系统问题库存管理ll 多级库存优化本章主要内容l 5.1 库存问题概述l 5.2 库存问题的基本概念l 5.3 确定需求下的库存模型l 是否缺货l 是否需要生产时间l 是否有折扣l 5.4 单周期随机需求下的库存模型l 离散需求l 连续需求5.2 库存问题的基本概念供应库存需求库存的基本问题:什么时候补货 (When)? 补多少(How ma

5、ny)?库存分类在库存理论中，人们一般根据物品需求的重复程度分为单周期库存和多周期库存。l单周期需求也叫订货，这种需求的特征l是偶发性和物品生命周期短，因而很少重复订货，如报纸，没有人会订过期的报纸来看，人们也在农历八月十六预订中秋月饼，这些都是单周期需求。多周期需求是在长时间内需求反复发生，库存需要不断补充，在实际生活中，这种需求现象较为多见。l库存问题的基本术语l 需求（demand)l 确定l 随机l 补充(订货)（replenishment)l Lead time (从订货到进货的时间，备货时间）l 订货周期（ Order Cycle Time )l 订货量（ Order Quanti

6、ty ）l 费用（cost)费 Holding Costll 缺货费 Shortage Costl 订货费 Ordering Cost + Purchase Costl 生产费 (set-up cost设备安装费+product cost生产费用）库存策略l 库存策略 （inventory strategy)l t0循环策略，每隔t0时间补充库存量Q0l (t,S)策略,每隔固定时间t补充一次,补充数量以补足一量S为准.个固定的l (s,S)策略，当量x>s时，不补充；当x<s时，补充量Q=S-x；l (t,s,S)策略，经过时间t 检查库存量x,当x>s时，不补充；当x&l

7、t;s时，补充库存量到S库存策略l 定量（定点）订货策略（EOQ)(fixed-orderquantity m, Q m)驱动的，当到达规定的再订货水平的发生时，l就进行订货，这种可能随时发生；l 平均库存量较小，有利于贵重物品的库存；l 定期订货策略（Fixed-time period m, Pm)l 时间驱动的，只限定在时间期末进行订货；l 平均库存量较大。在确定性需求下,这两个定货模型是一样的，时间定了，定货量也定了.Cycle Stock and Safety StockOn HandTimeCycle StockCycle StockCycle StockSafety Stock随机

8、需求下的订货策略定点订货策略如何确定每次订货量Q？随机需求下的订货策略定期订货策略最高库存M如何确定？库存模型的分类l 确定性需求模型l 不l 不l缺货、瞬时生产时间缺货、生产需要时间缺货、瞬时生产时间 缺货、生产需要时间ll 价格有折扣l 随机性需求模型l 离散需求l 连续需求经典的随机库存模型l 报童问题（Newsboy problems）一名报童以每份0.20元的价格从人那里订购报纸然后再以0.50元的零售价格出售，但是他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量而只是根据以前的经验知道需求量具有均值为50份标准偏差为12份的正态分布那么他应当订购多少份报纸呢？报童模型的扩展Expansi

9、on of Inventory Management问题(Date Problem)您要与您的女朋友晚上六点钟在她家附l近的一个地方，您估计从您的办公室乘车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期会出现交通阻塞因此还会有一些偏差， 路程所用时间的标准偏差估计为10分钟，虽然很难量化您每一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚到一分钟要比早到一分钟付出十倍的代价，那么您应当什么时候从办公室出发呢？报童模型的扩展l 超额预售机票问题（Excessive Air Ticket Sales Problem)一家航空公司发现一趟航班的持有机票而未登机（no-show）的人数具有为20人，标准偏差为10人的正

10、态分布，根据这家航空公司的测算每一个空座位的机会成本为100，乘客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估计为400，该航空公司想限制该航班的“超额预订”，飞机上共有150个座位，确认预订的截止上限应当是多少？5.3 确定性需求库存模型批量模型（EOQ)Economic Ordering QuantityEconomic Lot Sizel 某医院药房每年需某种药品1600瓶，每次订购费为5元，每瓶药品每年保管费0.1元，试问一年应订购多少次？每次应订多少瓶？l 某轧钢厂每月按计划需生产角钢3000吨，每吨每月费5.3元，每次生产需调整设备，共需装配费2500元.试排一个全年的排产计划。库存水

11、平最高库存Q 平均库存Q/2t时间进货周期一年费用分析费用总成本库存费用货物费率C1货物缺货损失C2缺货成本+采购费每次采购费用C3货物单价为K最佳采购量Q*每次采购量库存模型的要素Ø 要达到的目标达到最小成本Ø 成本的与有关的费用由缺货所引起的费用采购费用Ø 可控变量订货时间每次进货量模型一、不缺货、瞬时生产时间l 模型假设：l 需求是连续的、均匀的，需求速度为R（时间的需求量）;l 缺货费用无穷大（的费用）；时间缺少货物l 当库存降至零时，可立即得到补货，忽略生产时间；l 每次订货量不变，订购费不变；时间货物费不变。l批量(EOQ)Rt tC库存水平12最高库

12、存Q 平均库存Q/2t时间进货周期一年平均费用C(t)费订货费Rt ´C+ 1 ´Ct+ KR132n 第一项是大，因此从费用，时间越长，该项费用越费用看每次应当尽量少购一点；n 第二项是订购费，它与订货量无关，因此订货量越大（可用时间越长），货物费用越少，从这一点上说应当每次尽量多采购一些。批量模型的解(EOQ)2C3l 订货周期t=0C R1 C1Rn= 1/ t=l 批次002C32C3 RQ= Rt=批量l00C1l 最少平均费用（不包括KR）C0 = min C(t) =2C1C3 R例 1EOQ的应用l 某医院药房每年需某种药品1600瓶，每次订购费为5元，每瓶

13、药品每年保管费0.1元，试求订货量？解：已知 R=1600，C1=0.1，C3=5。批量Q0 =2C3 R / C12 ´ 5´1600 / 0.01 = 400(瓶)比较分析批量年费年订购费年总费用费用最小批量QC10020030040050060051015202530804026.7201613.3855041.7404143.3Q*例2l 某轧钢厂每月按计划需生产角钢3000吨，每吨每月费5.3元，每次生产需调整设备，共需装配费2500元.试排一个全年的排产计划。分析：若按每月生产角钢一次，按批量3000 吨。则全年需总费用：12*（5.3*1/2*3000)=12

14、5400元/年分析l 由E.O.Q公式计算生产批量：2 * 2500 *3000Q=» 16820l 全年批次：5.3n0=3000*12/Q0=21.4l 间隔时间：t0=365/21.4=17天l 全年所需总费用：108037元l 可节约 费用17363元例3l 某商店经销甲商品，成本单价为500元，年费为成本的20%，年需求量365件需求速度为常数，甲商品的订购费为20元，提前期为10天，求E.O.Q.和最低费用。Rt tC库存水平12最高库存Qt1时间t进货周期分析l C1=500*0.2=100元/年.件；R=365件/C3=20元年；2C3 R2 * 20 *365Q=&

15、#187; 120C1001t0 = Q0 / R = 12 / 365 = 0.033年 = 12天= R / 365*10 = 10件R10当库存降至10件时，就开始订货。模型二、不缺货、生产需要时间生产速度(或补货速度)P>Ré(P - R)TùtúûC1êë2库存水平S最高库存S/2平均库存Tt-T时间t销售期边生产边销售期一年模型二、不缺货、生产需要时间l 变量：l 最大量 Sl 最大订购量：Ql 订货周期： tl 边生产边销售期：T期：t-Tl指在T时间内生产的要足够满足在t时间内所消耗掉的l 关系：l S=(P-R

16、)T=R(t-T)T与t的关系：(P - R)T = R(t - T )PT = Rt平均费用C(t) 费调整费(P - R) ´ R t ´C+ 1 ´Ct132P最佳生产周期：2C3Pt=´0P - RRC1每次最佳生产批量：2RC3P= Rt=´Q00P - RC1例5l 某厂每月需100件，每月生产率为500件，每批装配费为5元，每月每件产品费为0.4元，问应如何安排生产使总费用最少？分析l 已知：C3=5, C1=0.4, P=500, R=1002C3 RPQ=3125 » 5（6件）0C (P - R)1l 最佳周期：t

17、0=Q0/R=56/100=0.56(月）模型三：缺货、瞬时生产时间Rt1库存水平t C112Rt2t C222最高库存S 平均库存S/2Qt1时间t2Q缺货期库存期t 年缺货量模型三：缺货、瞬时生产时间l 变量：l S：最大量； Q：最大订购量;Q-S：最大缺货量l 订货周期： t=t1+t2；期：t1；缺货期：t2l 关系：S=Rt1库t1=S/RRt 1 t C11存水平2Rt 2 t C222最高库存SQS/2平均库存t1时间t2库存期缺货量 Q缺货期t 年t时间内平均费用C(t1, t2)费订货费缺货费+ R(t - t1 ) ´(t - t ) ´ C= 1 (

18、 Rt1´ t´ C+ C)1132t22+ R(t - t )= 1 ( RtC + CC)t22(Rt - S )2= 1SC + C+(C2 )t2R2R 2C3 C1 + C2最佳订货周期：t=´0RCC12最佳订货批量C1 + C22RC3Q= Rt=00CC12最大库存量2RC2C32RC3C2=S0C (C + CC + C)C112112最佳缺货量Q0 - S0三个模型的批量公式比较模型一2C32RC3t 0 =Q0 = Rt 0=RCC11模型二2RC3P2C3P=´Q=´t 00P - RCP - RRC11模型三C1 +

19、C2C1 + C22C32RC3t=´=Q00RCCCC1212在模型二和三中，订货时间间隔比模型一延长了，定货量也增大。模型四：缺货、需生产时间生产速度P边生产边销售期销售期库存水平最高库存St1t2t3t时间缺货期一年模型四：缺货、需生产时间l 变量：l 最大量：Sl 最大订购量：Ql 最大缺货量：B=Q-Sl 缺货期：0,t2，t1 ;期：t2,t,t3;l模型四：缺货、需生产时间l 关系：l 缺货量：B=Rt1=(P-R)(t2-t1) t1=(P-R)t2/P量：S=(P-R)(t3-t2)=R(t-t3)(t3-t2)=R(t-t2)/Pl模型四：缺货、需生产时间l 在0

20、,t时间内的费用：费=量*C1ll 缺货费=缺货量*C2l 定购费（装配费）=C3模型四：缺货、需生产时间C1 + C22C3Pt=´0P - RRCC12C1 + C22RC3PQ=0P - RCC122RC3C2PS =0C + CP - RC112C2PC=2C C R013C + CP - R12模型五：价格有折扣的情况l 价格-订购量关系如下图所示价格K(Q)K1K2K30Q1模型五：价格有折扣的情况l 根据价格-订购量关系图，给出它们的数学关系如下0 £ì K1,1K (Q) = ïK ,Q £í212ïK,&#

21、238;3费用分析n 一个周期内，所需平均费用为C(t) = 1 C Rt + C/ t + RK (Q)132C(t) = 1 C Q + CR / Q + RK (Q)132CI (Q) = CQ + RC+ RK ,)2QCII (Q) = CQ + RC+ RK ,Q )2QC III (Q) = CQ + RC+ RK ,322Q平均费用图示平均费用C(Q)C2(Q)0Q1费用分析时间所需平均费用为n1 C Q + CR + K (Q)RC(Q) =132Qn 不考虑费用时的最低费用¶C(Q) = C1- C2C3 R=0¶Q2C1求批量的方法l 求批量的步骤l

22、计算Q0CI (Q )、C II (Q )、C III (Q )l 若Q <Q ，计算01201minC I (Q ), C II (Q ), C III (Q )批量Q*并由求得012C II (Q )、C III (Q )l 若Q1Q0<Q2，计算02minC II (Q ), C III (Q )批量Q*确定02l 若Q2<Q0，则批量Q*= Q0。例 1l 某医院药房每年需某种药品1600瓶，每次订购费为5元，每瓶药品每年保管费0.1元，试求每次应订多少瓶？价格有折扣问题举例n 在例1中，假如制药厂提出若一次订购800瓶以上，价格为9.8元/瓶，否则为10元/瓶，应如

23、何订购？< 800³ 800K (î解：首先计算2C3 R= 400Q0C1求解（续）由于400<800，又CI (400) =2C C R + K R =2 ´ 0.1´ 5´1600131= 40 +10 *1600 = 16040元1QRC(800) =C R+ C+ K R =而II21322´ 0. ´RQ2=+´+ 9.8*1600800= 40 +10 +15680 = 15730元可以看出CII(800)<CI(400)所以最佳采购批量是Q=800瓶/次。再举一例l 在上例中，如果

24、R=900瓶/年，C1=2元/瓶 年，C3=100元/次，折扣政策Q<900瓶/次， 每瓶10元，Q900瓶/次，每瓶9.9元。医院应采取什么策略？l 解：计算批量Q0 =2 ´100 ´ 900 / 2 = 300(瓶)l 计算C(300)和C(900)计算结果C(300) = 900 ´100 + 300 ´ 2 + 900 ´10 = 96003002C(900) = 900 ´100 + 900 ´ 2 + 900 ´ 9.9 = 99009002l 因为C(300)<C(900)，因此应当一年

25、采购三次，每次300瓶，而不是一年采购一次，每次900瓶。5.4 单周期的随机需求型库存模型随机问题l 需求是随机的，但分布概率已知，缺货应从概率的意义上来理解。l 因为需求随机，因此进货太少，将失去销售机会；进货太多，则因滞销造成损失。l 随机策略的优劣多数用期望值的大小来衡量，而不是只考虑成本。5.4.1 需求是离散随量的库存模型模型六随机需求下的库存问题例l 某商店拟在新年期间出售一批日历画片，每售出一千张可赢利7元，如果在新年期间不能出售，必须削价出售，由于削价，一定可以售完，此时每千张赔损4元，已知市场需求概率见下表，每年只能订货一次，问应订购多少张日历才能使获利最大。需求(千张)0

26、12345概率0.050.150.1分析l 我们可以计算出商家不同定购量和不同需求量时的损益值，和风险决策相似，给出损益表rQ012345期望值0.050.150.100123450-4-8-12-16-20073-1-5-90714106207142117130714212824071421283506.4511.814.413.110.2损失分析法l 商店的损失包括：滞销损失和缺货损失，当r<Q 时，只有滞销损失；当r>Q，只有缺货损失，因此我们可给出损失表如下。rQ012345期望值0.050.150.10

27、0123450-4-8-12-16-20-70-4-8-12-16-14-70-3-8-12-21-14-70-4-8-28-21-14-70-4-35-28-21-14-70-19.2-12.8-7.45-4.85-6.1-9分析结果l 最大利润期望值法和最小损失期望值的结果一致，都是3千张。l 最大利润期望值法与决策分析最大期望效益原则的思路一致，最小损失期望值法与决策分析中最小期望机会损失原则一致。事实上，后一张表是由前一张表各列减去该列最大元素所得。单期模型（Single Period M)l 单期模型是指为了满足某一规定时期的需要只发生一次订货的情况，用于短时期有需求而在此后就失去价

28、值或过时变质的物品。这类模型通常被称为报童问题。报童问题l 报童问题的假设l 报童每天售报数量是一个随量。报童每售出一份报纸可赚k元，若报纸未售出，每份赔h元。售出报纸份数r的概率P(r)是已知的，问报童最好准备多少份报纸可使利润最大？报童问题解：设某日报的需求量为r，报童的订购量为Q，先计算报童利润期望值。当rQ(Q-r)份， 因此利润童只能售出r份，滞销kr - h(Q - r)报童利润的数学期望l 当需求量r订购量Q时，利润期望值为åkr - h(Q - r) p(r)r =0Ql 当需求量r>订购量Q童只有Q份供销售，因此利润为 kQ，其期望值是¥å

29、 kQP(r)r =Q+1报童问题的总期望值¥QW (Q) = åkr - h(Q - r) p(r) +å kQP(r)r =0r =Q+1¥QQ= å krP(r) + å kQP(r) - å h(Q - r)P(r)r =0r =Q+1r =0l 设最大期望利润的定购量为Q*，所以W (Q*) ³ W (Q* +1)W (Q*) ³ W (Q* -1)最优条件l 由第一个条件可得k å P(r) -hå P(r) £ 0¥QQkår =0³

30、;P(r)k +hr =Q+1r =0l 由第二个条件可得Q-1kår =0£P(r)k +hl 因此得最优条件Q-1Qkår =0år =0P(r) <£P(r)k +h报童问题举例l 某报同一天的售报数量是随机的，每千张报可获利7元，如果当天买不出， 每千张赔4元。根据以前的经验，每天售出报纸数量r的概率为l 问每天应进多少张？需求r(千张)012345概率P(r)0.050.150.10报童问题的最优条件求解l 解：因为k=7，h=4，所以k7= 0.636k + h11l 由于23å P(r) =

31、 0.40, å P(r) = 0.75r =0r =0Q*=3（千张），利润期望值最大l 所以W (3) = 7 ´ (1´ 0.1+ 2 ´ 0.25 + 3´ 0.35)+ 7 ´ 3´ 0.25 - 4 ´(3´ 0.05 + 2 ´ 0.1+1´ 0.25) = 11.55 + 5.25 - 2.40 = 14.4元报童问题的最小损失期望值法l 由期望利润函数¥QQW (Q) = åkrP(r) +r=0åkQP(r) - åh(Q -

32、 r)P(r)r=Q+1r=0¥QW (Q) = kEr - ( åk(r - Q)P(r) - åh(Q - r)P(r)r=Q+1r=0l 期望利润+期望损失=平均(常数)最小损失法确定最优解条件损失是h，进货不l 设进货过量的损失为k(一般即为售出一足造成的份的利润），那么l 当r<Q时的滞销损失是å h(Q - r)P(r)Qr =0l 当r>Q时的缺货损失是¥åk (r - Q)P(r)r =Q+1总损失与边际分析不等式l 总的期望损失为¥QC(Q) = hå(Q - r)P(r) + k &

33、#229;(r - Q)P(r)r =0l 边际分析不等式r =Q+1C(Q*) ³ C(Q* +1)C(Q*) ³ C(Q* -1)最优解条件l 和最大利润期望值法相同的分析可得如下的最优解条件Q-1Qkåå<£P(r)P(r)k +hr =0r =0l 与最大利润期望值法的最优解条件相同。再举一例l 某店拟销售某商品，该商品进价为50元，售价为70元；但若售，必须减价为40元才能售出。已知售货量r服从泊松分布e-llrP(r) =r!其中l = 6 是平均售货数。问该店应订购该商品多少？解：已知 k=20，h=10，首先计算求解l 得

34、比值k20 = 0.667=k + hl 因为 l = 6 ，令30e-6 6rQQF (Q) = å P(r) = år!r =0r =0查表得 F(6)=0.606，F(7)=0.744，所以最佳订购量应为7件。报童模型的另一种分析方法l 报童订报时，若订得太多，卖不掉就会受到亏损；但若订得太少，由于不够卖就会因缺货而损失可得的利润。l 订货逐渐增多，当增加到n件时，第n件（ Expected Profit)第n件的期望的期望损失( Expected Lost)（而第n+1<第n+1件的期望损失）。件的期望报童问题举例l 某报同一天的售报数量是随机的，每千张报可获

35、利7元，如果当天买不出， 每千张赔4元。根据以前的经验，每天售出报纸数量r的概率为l 问每天应进多少张？需求r(千张)012345概率P(r)0.050.150.10单期模型l 这个点称为边际平衡点( Point of Marginal Equilibrium)。平衡点所对应的量则为总利润最高时的订货量。l 假设k若第n件被卖掉,此件所得的利润h若第n件卖不掉,此件所得的损失单期模型l 当需求是随机的时候,要用概率表示平衡点的条件：P*k>(1-P)*h其中P是第n件被卖掉的概率，1-P是第n 件卖不掉的概率；解上式可得解上式可得:P>h/(k+h)可根据上

36、式来求订货量n。单期模型单期模型单期模型单期模型 k k h h 需求是连续随量的库存模型模型七模型七：随机连续需求货物进价为k,售价为p,费为C1；l 设l 货物需求r为连续随F(r),分布函数为F(x)；量，其密度函数为l 问题：货物的订购量或生产量Q为何值时，能使利润期望值最大？模型七：随机连续需求l 当需求r,订货量为Q时，利润为：W (Q) = p minr,- C1 (Q)l 其中货物费为剩余货物的费：C (Q -r £ Qr > Qìr)C (Q) =1í1î0模型七：随机连续需求l 利润期望值为：¥QQòprF(r)dr + òQ pQòEW (Q) = F(r)dr - kQ -C1(Q - r)F(r)dr00¥QEW (Q) = pE(r) -