34_专题五　圆的计算与证明ppt课件

1、专题五圆的计算与证明专题五圆的计算与证明;研题型解易圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一,占有较大的比重,通常结合三角形、四边形等知识综合调查,以计算题、证明题的方式出现,解答此类问题要熟练掌握圆的根本性质,特别是切线的性质与断定,利用圆的性质求线段的长、角度或阴影部分的面积等.;类型一切线的性质与断定类型一切线的性质与断定题型特点题型特点主要以解答题的方式出现主要以解答题的方式出现, ,第第(1)(1)问主要是断定切线问主要是断定切线, ,有时也会调查一些小有时也会调查一些小的的填空、选择题填空、选择题. .调查内容以切线的性质与断定为主调查内容以切线的性质与断定为主. .方法规律方法规律

2、断定切线的方法断定切线的方法: :(1)(1)假设切点明确假设切点明确, ,那么那么“连半径连半径, ,证垂直证垂直. .常见方法常见方法: :全等转化、平行转全等转化、平行转化、直径化、直径转化、中线转化等转化、中线转化等, ,有时可结合类似、勾股定理证垂直有时可结合类似、勾股定理证垂直; ;(2)(2)假设切点不明确假设切点不明确, ,那么那么“作垂直作垂直, ,证半径证半径. .常见方法常见方法: :角平分线定理、角平分线定理、等腰三角等腰三角形三线合一.;解题战略解题战略典例典例1知直线知直线PD垂直平分垂直平分O的半径的半径OA于点于点B,PD交交O于点于点C、D,PE是是O的切线的

3、切线,E为切点为切点,衔接衔接AE,交交CD于点于点F.(1)假设假设O的半径为的半径为8,求求CD的长的长;(2)证明证明:PE=PF;(3)假设假设PF=13,sin A=,求求EF的长的长.513;思绪点拨思绪点拨(1)衔接衔接OD,构造直角三角形构造直角三角形,再利用垂径定理即可求得再利用垂径定理即可求得.(2)利用等角对等边的性质利用等角对等边的性质,证相关角相等即可证相关角相等即可.(3)留意角的转换留意角的转换,将将A转换到知的直角三角形中转换到知的直角三角形中.解解(1)衔接衔接OD,直线直线PD垂直平分垂直平分O的半径的半径OA于点于点B,O的半径为的半径为8,OB=OA=4

4、,BC=BD=CD,在在RtOBD中中,BD=4,CD=2BD=8.121222ODOB33;(2)证明:PE是O的切线,PEO=90,PEF=90-AEO,PFE=AFB=90-A,OE=OA,AEO=A,PEF=PFE,PE=PF.(3)过点P作PGEF于点G,可知G为EF的中点,;PGF=ABF=90,FPG=A,在RtPGF中,FG=PFsinFPG=PFsin A=13=5,EF=2FG=10.513;高分秘笈关于圆的大部分标题高分秘笈关于圆的大部分标题,常需作辅助线来求解常需作辅助线来求解.现对圆中辅助线的作法现对圆中辅助线的作法归纳总结如下归纳总结如下:1.有关弦的问题,常作弦心

5、距,构造直角三角形.2.有关直径的问题,常作直径所对的圆周角.3.直线与圆相切的问题,常衔接过切点的半径,得到垂直关系,或选圆周角找出等角关系.;当堂稳定当堂稳定1.(2021南充)如图,C是O上一点,点P在直径AB的延伸线上,O的半径为3,PB=2,PC=4.(1)求证:PC是O的切线;(2)求tanCAB的值.;解解(1)证明证明:如图如图,衔接衔接OC、BC,O的半径为的半径为3,PB=2,OC=OB=3,OP=OB+PB=5.PC=4,OC2+PC2=OP2,OCP是直角三角形,OCPC,PC是O的切线.(2)AB是O的直径,ACB=90,;ACO+OCB=90.又BCP+OCB=90

6、,BCP=ACO.OA=OC,A=ACO,BCP=A.又P=P,PBCPCA,=,在RtACB中,tanCAB=.BCACPBPC2412BCAC12;2.(2021黄石改编)如图,知A、B、C、D、E是O上五点,O的直径BE=2,BCD=120,A为的中点,延伸BA到点P,使BA=AP,衔接PE.求证:直线PE是O的切线.3BE;证明衔接证明衔接EA,ED,BE为为O的直径的直径,BAE=90,A为的中点,ABE=45,BA=AP,EABA,BEP为等腰直角三角形,PEB=90,PEBE,直线PE是O的切线.BE;类型二与圆有关的计算类型二与圆有关的计算题型特点题型特点与圆有关的计算与圆有关

7、的计算: :求线段长求线段长( (或面积或面积););求线段比求线段比; ;求角度的三角函数求角度的三角函数值值( (本质还是求线段比本质还是求线段比).).方法规律方法规律计算圆中的线段长或线段比计算圆中的线段长或线段比, ,通常与勾股定理通常与勾股定理, ,垂径定理垂径定理, ,三角形的全等、三角形的全等、相相似等知识结合似等知识结合. .分析时要重点察看线段间的关系分析时要重点察看线段间的关系, ,选择定理进展线段或者选择定理进展线段或者角度角度的转化的转化, ,特别是要借助圆的相关定理进展弧、弦、角之间的相互转化特别是要借助圆的相关定理进展弧、弦、角之间的相互转化, ,找找出所出所求线

8、段与知线段的关系求线段与知线段的关系, ,从而化未知为知从而化未知为知, ,处理问题处理问题. .;解题战略解题战略方式一方式一:角平分线模型角平分线模型典例典例2(2021怀化怀化)知知:如图如图,AB是是O的直径的直径,AB=4,点点F,C是是O上两点上两点,衔接衔接AC,AF,OC,弦弦AC平分平分FAB,BOC=60,过点过点C作作CDAF,交交AF的延伸线于的延伸线于点点D.(1)求扇形求扇形OBC的面积的面积(结果保管结果保管);(2)求证求证:CD是是O的切线的切线.;思绪点拨思绪点拨(1)由扇形的面积公式即可求出答案由扇形的面积公式即可求出答案.(2)易证易证FAC=ACO,从

9、而可知从而可知ADOC,由于由于CDAF,所以所以CDOC,所以所以CD是是O的切线的切线.解解(1)AB=4,OB=AB=2,BOC=60,S扇形扇形OBC=.(2)证明证明:AC平分平分FAB,FAC=CAO,AO=CO,ACO=CAO,FAC=ACO,ADOC,CDAF,CDOC,OC为半径为半径,CD是是O的切线的切线.12260236023;方式二方式二:双切线模型双切线模型典例典例3(2021江西江西,20,8分分)如图如图,在在ABC中中,O为为AC上一点上一点,以点以点O为圆心为圆心,OC为为半径作圆半径作圆,与与BC相切于点相切于点C,过点过点A作作ADBO交交BO的延伸线于

10、点的延伸线于点D,且且AOD=BAD.(1)求证求证:AB为为O的切线的切线;(2)假设假设BC=6,tanABC=,求求AD的长的长.43;思绪点拨思绪点拨(1)作作OEAB，证，证OE=OC,根据切线的断定可得根据切线的断定可得.(2)先求先求OC,OB,AB的长的长,再利用面积公式得再利用面积公式得ABOE=BOAD,据此可得答案据此可得答案.;解解(1)证明证明:过点过点O作作OEAB于点于点E,即即OEB=90.BC切切O于点于点C,OCB=OEB=90.ADBD,ADB=90.AOD=BOC,CBD=OAD.D=90,AOD=BAD,OAD=ABD,ABD=CBO,OE=OC,AB

11、为为O的切线的切线.(2)BC=6,tanABC=,ACB=90,43;AC=BCtanABC=8,AB=10.AB与BC均为O的切线,BE=BC=6.AE=AB-BE=10-6=4.设OC=OE=x,那么在RtAEO中,有(8-x)2=42+x2,解得x=3,OB=3.SBOA=ABOE=BOAD,ABOE=BOAD,103=3AD,AD=2.226822OCBC22365121255;方式三方式三:弦切角模型弦切角模型典例典例4(2021金华金华,21,8分分)如图如图,在在RtABC中中,点点O在斜边在斜边AB上上,以以O为圆心为圆心,OB长长为半径作圆为半径作圆,分别与分别与BC,AB

12、相交于点相交于点D,E,衔接衔接AD，知，知CAD=B.(1)求证求证:AD是是O的切线的切线;(2)假设假设BC=8,tan B=,求求O的半径的半径.12;思绪点拨思绪点拨(1)衔接衔接OD,利用边角关系及等量代换利用边角关系及等量代换,求得求得ADO=90即可即可.(2)设圆的半径为设圆的半径为r,利用锐角三角函数定义及勾股定理求出利用锐角三角函数定义及勾股定理求出AB的长的长,再利用勾股再利用勾股定理列出定理列出关于关于r的方程的方程,求出方程的解即可得到结果求出方程的解即可得到结果.;解解(1)证明证明:衔接衔接OD,OB=OD,3=B.B=1,3=1.在在RtACD中中,1+2=9

13、0,3+2=90,4=180-(2+3)=180-90=90,ODAD,又OD为O的半径,AD是O的切线.(2)设O的半径为r.在RtABC中,AC=BCtan B=8=4,12;AB=4,OA=4-r.在RtACD中,tan1=tan B=,CD=ACtan1=4=2,AD2=AC2+CD2=42+22=20.在RtADO中,OA2=OD2+AD2.(4-r)2=r2+20,解得r=.22ACBC224855121253 52;高分秘笈高分秘笈在圆的计算中常见的数学思想在圆的计算中常见的数学思想(1)构造思想构造思想:构建矩形转化线段构建矩形转化线段;构建构建“射影定理根本图形研讨线段射影定理根本图形研讨线段(知恣意两条线段长可求其他一切线段长知恣意两条线段长可求其他一切线段长);构造垂径定理模型构造垂径定理模型;构造勾构造勾股定理模型股定理模型;构造三角函数模型构造三角函数模型.(2)方程思想方程思想:设出未知数表示关键线段设出未知数表示关键线段,经过线段之间的关系经过线段之间的关系,特别是其中的特别是其中的相等关系建立方程相等关系建立方程,处理问题处理问题.(3)建模思想建模思想:借助根本图形的结论发现问题中的线段关系借助根本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为假设把问题分解为假设干个根本图形的问题干个根本图形的问题,经过根本图形的解题模型快速发现图形中