平面向量基本定理

平面向量基本定理平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点．平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示．这是引进平面向量基本定理的一个原因．下面对其中的思想作一概述(不必完全告诉学生)．用向量表示几何元素是容易的，并且很直接．选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示．对于一条直线，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与平行的(非0)向量就行了；如果想确定该直线的位置，则还要在上任选一点．这样，一个点A，一个向量就在原则上确定了直线．这是对直线的一种定性刻画．如果想具体地表示上的每一个点，我们需要实数k和向量的乘法．这时，上的任意一点X都可以通过点A和某个来表示(如图2—12)．希望在“实际”上控制直线，可以看作是引入的一个原因．现在来看平面．两条相交直线确定一个平面P，因而一个定点，两个不平行的(非0)向量，便在“原则”上确定了平面P．这是对平面的一种定性刻画．但在讨论几何问题时，常常涉及平面P上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引入向量的加法．这时，平面P上的点X就可以表示为(以及定点A)，而成为可操纵的对象了(如图2—13)．在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用．虽然向量的加法、数乘向量有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算．这样，一个定点，一个向量以及数乘向量便给出直线的“坐标系”；而一个定点，两个不共线向量，，以及数乘向量和向量加法这两个运算，就给出了平面P的一个“坐标系”．类似的，空间的一个“坐标系”可以由一个定点，三个不共面的向量，以及数乘向量和向量加法这两个运算来给出．在这样的“坐标系”中，几何元素及其关系不但可以得到定性刻画，而且还能定量地表示．另外，我们可以根据面临问题的具体条件，根据解决问题的需要(自由地)选择“坐标系”，并且还可以在同一个平面上选择多个“坐标系”．教科书首先通过“思考”：给定平面内任意两个向量、，让学生作出向量、，进而让学生思考给定平面内任意两个向量、，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示，然后通过作图给出肯定的回答(没有给出详细的证明过程)．教学中可以先让学生分析向量、可能的位置关系，区分出共线、不共线两种情况，然后作出这两种情况下的、．在此基础上，再进一步思考“平面内任一向量是否都可以用形如的向量表示”，通过作图验证共线时不能，不共线时总能的结论．通过这样的活动，引导学生自主得出平面向量基本定理．另外，为了使学生更好地理解平面向量的基本定理，教学中还可以按教科书给出的方法，用几何软件作图，然后改变向量的方向及模的大小，引导学生观察发现，取不同值时的图形特征．图2—14中的两种情形供大家参考．通过作图可以发现，平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量、表示出来，这就是平面向量基本定理．平面向量基本定理为向量的坐标表示奠定了基础．“边空”之处，同一平面可以有许多基底，只要两个向量不共线，它们就可以作为平面内所有向量的一组基底．基底的不唯一性可以让学生通过作图来体会．为了研究问题的方便，教科书提前引进了向量夹角的概念．两个非零向量的夹角在区