课件第十章重积分习题解答

习题10-2.

1212

x2y23d，且

{(x,y)|1x1,2y

xy|0x1,0y2I1I2之间的关系1112IDzx2y23的曲顶柱体I111222Dzx2y23的曲顶柱体221Dzx2y23yOzzOx面对称，所以这两个平面将1分成四个等体积的部分，第一卦限内的就是2.由此可知：1I14I2（2）(xy)2d(xy)3d D是由圆周(x2)2y1)22所围成区域yxy1DO1ln(xy)d与[ln(xyyxy1DO1 点是（1,0（1,1（2,0）.解（2）10-10图，Dxy1内,从而(xy)2(xy)3所以(xD

(xy)3dD（3）D位于{(xy|1xy2内，故积分区域上的点满足0ln(xy)1，从而有：[ln(xy)]2ln(xy).因此

图10-[ln(xy)]2dln(xy)d 本大题常见错误是计算出二重积分的值进行比较题意不清,二重积分的性质不熟悉(x24y29)dDx2y24D解（4）因为0x2y24所 9x24y494(x2y2)925于 922(x24y29)d2522D

(x24y29)d100D本题常见错误是计算出二重积分的值进行估计题意不清,二重积分的性质不熟悉习题10-(3x2y)d，其中D是由两坐标轴及直线xy2D(x33x2yy3)dDxy|0x0y1Dxcos(xy)dD的顶点是(0,0),(,0),(,)D角形闭区域 2解（2）(3x2y)d0dx0(3x2D202

2x2x2

=203（3）(x33x2yy3)dx3d3x2yd 1dy1x3dx1ydy13x2dx1y3dy1dx111

（4）xcos(xy)d0xdx0cos(xDx(sin2xsinx)dxxd(cosx1cos

xcosx cos2x2

0cosx2cos2xdx2 D

yd,Dy

xyx2xy2d,Dx2y24和yDexyd其中D（xD

(x2y2x)d其中D是由直线y2yxy2xD成的区域解（1）D(x

0x1,x2y

x于x 123x

dx2xydy y 2 D12

0

x (x40

x4)dx （2）D0x4y2，2y22xy2d2D

44y

xdx

12

2dy

64（3）exydexydexy 00exdxx1eydy1exdxx1eydye0常见错解

D1xy1x0y0exyd4exydxdy41exdx1x

e 11

(eex)dx42 2

(x2y2x)dD

0

y(x2y2219y3

2y

130 If(xy)dxdyD（1）Dy=xy24xy4yy2y4yy2O41y (x0x分析解此类题目,一般先画出积分区解（1）10-11yx图10-y24x交点是(0,0),(4,4), 2 或I或4

f(x,x

I

dyy2f(x,y)dx44①I0dx2

fxy)dy

I

y

f(x,y)dx2 ②Ixdx

f(xy)dy

I4

f(x,y)dx错误原因①yx)的积分上下限颠倒了yx)的积分限的确定,位于上（或右）方的曲线位上限，下②（3）10-12D.若选择先对y积分，积分区域 1y

yx

yD:

D1x1x

12,2 则f(xy)dxdy1dx1f(xy)dy 图10-1xDDDD

Dyx2.1 1

y

21yf(x,y)dxdy=f(x,y)dxdy+f(x, =1dy1f(x,y)dx1dyyf(x,y)dx 2（1）0dy0f(x,y)dx（2）0dyy2f(x,y)dx2xx（3）0 f(x,y)dx（4）1dx2xf(x, ln

1

f(x,y)dy（6）0dxsinxf(x,y)dy2解（1）D={(xy|0xy,0y改写为Dxy|xy1,0x1 原式0dxxf(x,y)dy（2）D(xy)y2x2y,0y4DD(x,

xy24

x,0x4，于x原式0dxxf(xy)dy11（3）Dx

0y

x

1y2D(x

0y

1x21x1原式

f(x,y)dy2x2x 1x 0y1可改写为D:2yx112xx2xx1y1dx2

f(x,y)dy=0dy2

f(x,y)dxD(xy)1xe0ylnxD(x,y)0y1,eyx ln 1dx0f(x,y)dy0dyeyf(x,y)dxy1OysinD2xyy1OysinD2xysin2D:

0xDD1D22arcsinyxD1:

1y

arcsinyxarcsinD2:

sin

0y 0dxsinxf(x,2 arcsin=1dy2arcsinyf(x,y)dx+0dyarcsin

f(x,y)dx sin 常见错解0dxsinxf(xy)dy1dy2arcsinyf(x2+0dyarcsinyf(x,y)dx sin

arcsin②0dxsinxf(x,y)dy1dy2arcsinyf(x,y)dx2xysinx2y型区域的描述方式Dxy2,yxx轴所(x,y)x2y2,求该薄片的质量.解如图10-14所 M(x,y)d1dy2yx2y2 D

y

xy11x3xy22y 01

2O2 0

(2y)32y23

y3dy

图10-x0y0x1y1z12x3yz6截得的立体的体积四个平面所围成的立10-15，所求体积为V(62xD

z62x110dx0(62x11

116y2xy3y21

图10-019

70

2xdx x0y0xy1z0x2y26z截得的立体的体积解xOyD{(xy|0y1x2,0x1z6x2y2V(6x2y2)dxdy (6x2y2)dy17 1 Dzx22y2及z62x2y2所围成的立体体积解由 z62x

z

2

6

y2x2y22xOyx2y22因为积xy轴均对称xy都是偶函数所以VD

(62x2y2)(x22y222x

(63x23y222

(2

)dy

dx622x2把二重积分f(22x2D（1）D{(x,y)|x2y2a2}(a0)（2）D{(x,y)|x2y2解（1）D,|020a},f(x,y)df(cos,sinDaa0d

f(cos,sin)d （2）D,|2

,022 f(x,y)df(cos,sinD

0 22

f(cos,sin)d （1）dxf(x,y)dy；（2）

3xf

x（3）0dx1xf(x,y)dy（4）0dx0f(x,y)dyyy1yxD (,)0,0sec D(,),0csc 00原式4d00

f(cos,sin 24

f(cos,sin)d0常见错 原式2d0

f(cos,sin0或原式 0

d

f(cos,sin)d0搞不清在极坐标系下极径的变化区间怎样确定y3y3O42D(,),02sec43432 2

2 f

x

3 f()d4D10-18所示

图10-D(,11x

0

2cossin

y11y11sinO10dx1

f(x,图10- 2d f(cos,sin)d. cos0yD:0x

10-yyO1xyyO1yx2sin2cos2secx1cos1secD:

0 4

图10- x

000sec000sec

f(x,y)dy=4d

f(cos,sin)daxax

（2）

x2y20110

xdxx

x2y22dy；

a2aa2a

(x2y2D 解 (,)02,02acos2axx2axx所

(x2y2)dy2d

2acos2 31 2cos4d4a40

42

a44D 44

(,

0 ,0aseca于是a

0dx0

x2y2dy4d

xx3

04sec300

[6

222D 244

(,

0 0sectan secdx2(x2y2 dyd

1 4sectand202D

122

(,

0 ,0aa

a2(x2y2)dx2a2

a2d

a4

ex2y2dDx2y24Dln1x2y2dDx2y21Dy（3）arctanxyD

，其中D是由

4,

1解（1）D,|0202},

x2y

d

e

2d2

e e 21(e41)(e41)2（2）D(,

0,02

ln(1x2y2)d

02d0

ln(12)d

1(2ln21)

(2ln21)（3）D(,)0,124 4 yarctanxd

arctan(tan)ddD

4dd4dd

x2xy2d，其中D是由x2,yx及曲线xy1所围DD

1x2 1x2y2

1D（4）ID(x,

x2y2dxdy,Da2x2y2D (xy)1x2,xyx，故

x

y2d1dx1y2dy1(xx)dx4 D,)001x2

1

1100100D

y2dD

1

2d2d

1

2 112

d 11112

1d1

112

arcsin210

121121 1x21x21x2

(2)常见错解x

1

0所以D

1x21x2y2 0错误原因x2y21所围成的平面区域，被积函数不仅在圆周上取值而且在圆内取值.上述解法只考虑了在x2y21上取值，因此结果是错误的.D(,)02ab Ix2y2dxdy=2dd d 21(b3a3)2(b3a3) 设平面薄片所占的闭区域D是由螺线

上一段弧(0

2)与直线2

所围成,(x,y)x2y2D 210-202

(,

0 ,02

MD

(x,y)d 2 0

20

d420

4d 图10- 图10-求由y0ykx(k0),z0以及球心在原点，半径为10-VD

R2x2y2dD

R22dRR22d1

R22d(R222 2 3

3

xOyx2y2ax所围成的闭区域为底,zx2y2为顶的曲顶柱体的体积解xOyDxy|x2y2D

(,

220acosV

(x2y2)dxdy 2

2x2 a3 a34 2cos4 2

a4

aV (x2y2)dxdyd 2 x2 40

a错误原因的取值区间和区间的长度了，的取值区间 长度是，但在积分区域中是由 变

,0变到f(x,yz)dxdydz域xyzxy10z0所围成的闭区域；（２）zx2y2z1zx22y2z2x2

czxy(c0),2a2

yb2

1z0解（1）的顶为xyzz0xOy面上的投影是由x轴,y轴及直线xy10围成的平面区域.可以表示为x,y,z0zxy,0y1x,0x f(x,y,z)dxdydz0

f(x,y,z)dz（２）根据三重积分的“求围定顶”定限法.由已知z1zx2y2,xOyx2y21.1x2y2z1

y

1x2,1x1x1x1f(x,y,

dx1x2dyx2y2f(x,y,z)dz根据三重积分的“求围定顶”定限法.由已知z2x2zx22y2zx22y解方程组

z2x

z,x2y21.所以xOy::Dxy

y1x1x1x1x

.于是1x,y,zx22y2z2x212

y

1x2,1xf(x,y,z)dv

dxdyx22y2f(x,y,1=1dx1

2dy

f(x,y,z)dz根据三重积分的“求围定顶”定限法.由已知czxyz0xOy面上的投影是由xOy面上的椭圆 a2

1及两个坐标轴围成的第一象限的部分.(x,y,

0z

xy,0yc

,0xabaabaa2af(x,y,z)dxdydza

dx

a2x

dy

f(x,y,z)dz 注意利用直角坐标计算三重积分时,一般需要根据空间域的zx、yxOy面投影.设有一物体,占有空间闭区域0x1,0y1,0z1，在（xyz）xyzxyz计算该物体的质量.解Mx,y,zdvxy

111 111

xy2z3dxdydz,是由曲面zxy与平面yxx1z0所围成的闭区域xyz，z0,xOyxx1yx围成的平面区域.可以表示为(x,y,z)|0zxy,0yx,0xzz

1x 1x

xy

2z41x 1x

4x y zdzx y zdz 11

6dy11x12dx14

28

,其中x0,y0z0

yxyz1解根据三重积分的“求围定顶”定限法.由已知的顶为xyz1z0,xOyx轴,yxy1围成的平面区域.x,y,z0z1xy,0y1x,0x(1x(1xy3

1x0

(1xy101

1

1x0

(1xy1x1

1x1

20 2

(1xyz)2

1 1x11

dy

11y1

8 8

2(1xy)2

0

21xy

1(1x)

1

1

1

(1x)21x

0

21x

8

11ln211ln2528 28计算xyzdxdydz,其中x2y2z21方法一x2y2z21z0x2y21，故

1x1x:0z

0x1x2y积分区域可表示为: 0y 1x

0x1x1xyzdxdydz01x1

zdz111x2y xyzdxdydz=2sincosd2sin3cosdr5dr 计算

,其中z0zyyyx2的顶zyz0,xOy面上的投影区域为x2yDxy:1x10z积分区域可表示为:x2y1,1xxzdxdydz

yxzdz

y2dy0

x

2

x方法二因为yOzx xzdxdydz0x2x2y

,其中zhRh

zhR0h0解当0zh时过(0,0zxOy面的平面Dz

x2y2

z.DRz2 2 R2z2

zdxdydz

dxdy

2

z3dz

．h h 常见错 h Dz

=0zdzdxdyx2y2R2hD hD

2因

z

Rzdz Rh2Dzz有关的圆域,而不是x2y2R2.实际上Dzzzz截闭区域所2x2yzdv,2x2yzx2y2(x2y2dv,其中x2y22z22解（1）在柱面坐标系下z

,z2,,

02,01,2z

2222zdv0d0d

211(224)d1(235)d70 （2）在柱面坐标系下,的顶为z2,z

2,,

02,02

z2

(x2y2)dv

2dddz

223d 223212

216 （1）(x2y2z2dv,其中x2y2z2zdv,其中闭区域x2y2za)2a2x2y2z2所确定解（1）在球面坐标系下,的边界曲面为r1可以表示为r,,02,0,0r(x2y2z2)dv

r411

0d

sind

r4dr

45(x2y2z2)dv1dvdv4 因为三重积分的积分区域是空间立体,被积函数不仅在球面上取值而且在球体内取值.上述解法只考虑了在球面x2y2z2（2在球面坐标系下r2acos和4以表示为r,,

02,0,0r2acoszdv

44rcosr2

2a000 d4sincosd000

4sincos0

1(2acos)4478a 4sincos5d0

a46一般先把区域xOy面上投影,DxyDxy内任取一z轴的直线自下而上穿过z1(,是z的积分下限,z2(,)z的积分上限，再根据Dxy与的变化范围.若采用球面坐标，化积分区域的边界曲面为球面坐标形式时，用从原点出发的射线穿过,穿入的边界曲面r1,r的积分下限,r2(,)r的积分上限.再根据的图形特点确定与xydv，其中x2y21z1x0,y0

z0（2）

x2y2z2dv，其中x2y2z2z（3）(x2y2dv,其中是由曲面4z225(x2y2)z5所围成的闭区域解（1）在直角坐标系下,积分区域可表示为x,y,1

0x1,0y11x

1x2,0z11x1xxydv

dz

ydy 8 xydv2sincosd

3ddz118 18在球面的球面坐系下,rcos可r,,02,0,0rcos22

0000

x2y2z2dv0

d2d

rr2sin 00 d2sind00

r3sindr 0

sin

1cos44 2cos4dcos 在柱面坐标系下,的顶为

z5,z52,,z02,02,5z5220(x2y2)dv0

0

2253d55222 355822 2

z6x2y2及z x25x2zx25x2解(1)在柱面坐标系下,z62,z,,z02,02,z6 6Vdvdddz0d0d 22

23)d

323

5x2

(4)由

x2y2

消去得这两曲面的交线关 x2y24,于是xOy面上的投影域Dxy:x2y24在柱面坐标系下,z

,z1255,,

02,0455

z 552Vdv

d0d1 4522 15 5 53

22

14.x2y2z22zx2y2所围立体的体积.解x2y2z22z222曲面zx2y2的柱面坐标方程z21，在柱面坐标系下,积分区域,,

02,01,2z

2222Vdv22

d0d 1

习题10-x2y2z2a2x2y2ax内部的那分析x2y2axzOx面对称,xOyx轴对称,而球面被柱面所截(含在柱面内)的部分对称地1、4、7、8 设在第一卦限内,球面圆柱所截部分在xOy的投影为D1,得的面积为A1

z a2a2x21 zz a2x2面积元素dA

dxdy

a2x2Aa2x2

dxdy4a2d

acos

a2a204a2(aasin)d2a2(2)0x2求锥面z 被柱面z2x2x2x2 由z

x2y22xxOyD(x,y)x2y22x

z x21x21xyzz dA

dxdy dxdyx2

AD

2dxdy

2dxdyD

x2y2R2x2z2R2所解10-22x2z2R2上的那部分面积A，则由对称性知,16A.11xyzz D

R2D

R2 R2DRR

R2x图R2x图10

dyR2故16R2（1）Dy

2pxxx0y0所围 （2）D由半椭圆形闭区域x

a2b21,y02320解（1）设质心为2320AD

dxdy

0dx

2 dy0

2pxdxxdxdyD

0xdx

225225202 2ydxdyD

ydy 02于是x= xdxdy3

，y ydxdy3yAD故所求质心为

5

A 8D5x0,8y0 Dy轴，故质心(xyyx0y

ydxdy

1

dx

a2a2x

4b A D故所求质心为04b 31Dyx2yx所围成.它在点(x,y(x,y)x2y,求该薄片的质心.1解M

(x,y)dxdyD

0

xx2ydyx

11(x4x6)dx10 x

x(x,y)dxdy

1dxxx3ydy

11(x5x7)dx35MD

M

x

M0 y

y(x,y)dxdy 1dxxx2y2dy

11(x5x8)dxMD

M

M0 质心坐标为35,354854设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a,各点处的面密度等于解设直角顶点为坐标原点，两腰分别与两坐标轴重合，则斜边xya.则面密度(x,y)x2y2xy.M(x2y2)dxdyadxax(x2y2)dy1a4 DMx(x2y2)dxdy (x2y2)dy1a5y yD因 xMy2a,yx2a 所求质心 25a,5a （1（1）z2x2y2，z解（1）z2x2y2z1V113 xy0z1zdv1zdv12d1d1M V

V 12d112d1

3V

故所求质心为0034 4 9．设均匀薄片（1）D如下，求指定的转 （1）D(xy)a2b21Iy解（1）Iy

x2dxdyD

a

ba2xa2xa2xba2ba

a2x2dx4ba

a2x2dx xasint上式a

2a2sin2tacosta0 44a3b2sin2tdt2sin4tdt)4

a3b 11.一均匀物体（为常量）占有的闭区域zx2y2z0xa,ya求物体的质心(3)z解1)的曲顶为开口向上的旋转抛物面zx2y2xOy面的投影区域为Dxyaxa,ayVx2y2dxdyadx

x2y2dy8a4

DmV83

x2y

m40dx0

dz40dx0(xy4aax21a3dx41a41a48a4333 333 xy0

x2ymz zdvm

m0

a(x42x2y2y44a4 4a3aax42a3x2154a 0 31a62a61a6

328a6

7a24a4

4a

x2y Iz

y)dv40dx0

(x

00004adxax2y22dy4adxa(x42x2y2y40000428a6112a6 14.(x,y,z)x2y2R2,0zh求它对位于点M00,0aah解FFxFyFz},引力系数为GdFG ,

G , x2y2(za)2 x2y2(za)2dFz

(zxx2y2(za)2FxFy0F G z hh

(z

0(z

x2y2R

R x2y2(zx2y2(za)2h

d

2 2G

(za) R2(zR2(z

h1h

z

R2(R2(z h2Gh

R2(za)2R2R2(h

R2a2F{Fx,Fy,Fz}0,0,2Gh

R2a2R2(hR2(h小结1)在利用重积分求解应用问题时,（211（2（31{(x,y,z)|x2y2z2R2,z0},12{(x,y,z)|x2y2z2R2,x0,y0,z0},2则有(A)xdv4xdv (B)ydv4ydv (C)zdv4zdv (D)xyzdv4xyzdv D(x,y)axa,xya则

D1(x,

0xa,xya(xycosxsiny)dxdy D(A)2cosxsin(C)4(xycosxsin

(B)(D) 设f(x)为连续函数，F(t)1dyyf(x)dx，则F(2) (A)2f

f(C)f (D)（1）zxy均是偶函数，1yOzxOz

故选(C)

xyxy(xy)dxdy0Dcosxsinyyx(cosxsiny)dxdy=0+2cosxsinydxdy.答案选

F(t1f(x)dx1dy1(x1f于是F(tt1f(t从而F(2f(2.故选（1）1xsinydD是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)D(0,1)的梯形闭区域（2）x2y2d,D0ysinx,0xDD

R2x2y2d Dx2y2Rxy23x6y9d,D是闭区域x2y2R2D解（1）Dxy)0y1x,0x1,1(1x)sinyd1D

1dx

(1x)sin11x1xcos1022

ttcostdttt

tsintcost3sin1cos12sin2cos2由于x2dx2dxsin Dx2sinxdxx2cosx2xcosxdx240 sin

9y2d y2dy sin3xdx 2sin3xdx 9 0 3D9 x2y2d2409D利用极坐标计算,R2x2y2dR2R22

R222(R(R22)2

cos12

3R

23 R34 R3

(1sin3

3 3利用对称性可知3xd06yd0, 9d9R2,y2dd2sin2d R4 因 原式9R24常见错误对于二重积分f(xy)dxdy，D：x2y2R2，D1Dx2y2R2,x0,y0，f(x,y)dxdy4f(x,y)dxdy 错误原因应用对称性时，只注意到积分区域的对称，没考虑被３. 1(04（1）dy04

f(x,y)dx 2

3f2（2）0f2

fx,ydx

xx0

x,

4 x1(y4),0y442 2 D表示为(xy)2x0,2x4y4x2 1(

402402

f(x,y)dx

f(x,y)dy所给二次积分等于二重积分f(xy)dxdyDD D2D1xy|0y1,0x2yD2{(x,y)|0x3y,1y3}于是 D可以表示2

D(x,D3

y3x,0x2x2x2所 原式0dx2

f(x,y)dy2yy2yy原式= f(x,y)dx1

f(x,y)dx

adyemaxfxdxaxemaxfa 证emaxemaxfxdxdyaa

maxfD aaxemaxfxdx01x2f(xyD(xy)x2y2y1x2f(x,y)

8f(x,y)dxdyf(xy解

f(x,y)dxdyADf(x,y)dxdy 2 A12

1x2y2dxdy8AdxdyD1x2y2dxdyD在极坐标系中,D(,

0sin,0221x2y2dxdy2，A1

1x2y2dxdy1

f(x,y)8.计算下列三重积分

821x21x22)

zln(x2y2z2x2y2z2x2y2z2

dv,其中

y2z2dv其中xOyy2xx5 2)因被积函数是关于z的奇函数，积分区域关于xOy面zln(x2y2z2对称，所以

x2y2z2

dv3)y22xxy2z22x在柱面坐标系下,,z02,0

2

z5y2z2dv2

3

2

0d

d2dx2020

5

d 2 xyz1被三坐标面所割出的有限部分的面积 平面方程zccxcy，它被三坐标轴所割出的有限部 xOyDx轴、yxy1A

1x1xyzz 1c ca