第9部分线性系统的状态空间分析与综合

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询自动控制原理第九北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询绪9.1线性系统的状态空间9.2线性系统的可控性与可观9.3线性定常系统的线性9.4线性定常系统的反馈结构与状9.5李雅普诺夫稳定性 化

1948年，Wiener在《控制论－关于在动物和 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询复杂系统的特动力学模型的不确测量信息的粗糙性和不完动态行为或扰动的随离散层次和连续层次的混系统动力学的高度复状态变量的高维性和分各系统间的强耦

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 ComputerIntegratedManufacturing北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询（1）线性系统主要内容 极大值原 现代控制理论如时间最短 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询自适应模型参考自适应（ModelReferenceAdaptiveControl)自校正自适应（Self-TurningAdaptiveControl)北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询9.1线性系统的状态空间北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询1线性系统的数学描述系统的外部描述系统的内部描述

1）.输入、输出描述北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询x1,x2x1,x2,·, qu[u,u,u y[y,y,·,y 2）.松弛系统的输出y(t)(tt0u(t)[t0,)唯一确定,则称系统 t0是松弛的在H

能量：H:uy瞬时 系北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询对t0时刻松弛的系统： Hu[t 3）.因果性:若系统在t时刻的输出仅取决于在t时刻之前输入，而与t时刻之后的输入对具有因果性的松弛系y(t)Hu(,t] t北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询4）.线性:一个松弛系且仅当对任何输入u1和u2及任意常数,均有H(u1u2Hu1Hu2H(u1H(u1)次该系5）.定常性（时不变性）定义 -位移算u(t)Qau(t)u(ttttt 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 均有yHQauQaHuQay则称系统是定常2状态空间的基本状态:表征系统运动的信息和行T状态向Tx(t) [x1(t),x2(t),•,xn x(t)f[x(tu(t

x(tk1)f[x(tk),u(tk),tk输出方程y

xy(t)g[x(t),u(t),

y(tk)g[x(tk),u(tk),tk状态空间表达式(动态方程)：{A，B，北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询f(x,u, x(tk1)f(x,u,tk y(t)g(x,u

y(t)g(x,u,t)A(t)x(t)B(t)u(t)线性时变线性定常

y(t)C(t)x(t)D(t)u(t)AxBu,yCx线性定常离散系 x(k1)Gx(k)Hu(k(tkkT,T采样周期

y(k)Cx(k)Du(k北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询uBxxyuBxxyCAIDD线性连续系统状态变量结构D

xAxBuyCxDux(k1)Gx(k)

x(k

C

y(k)Cx(k)GZGZH北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询StateA(x1(t0),0x

Bt x(t) x 3.状态空间表达式的例：求图示机械系统的状态空间表m阻m尼

K---弹性 kyu(t)系 位

x1 x2北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询动态方程·kyb1u(t) kxbx1m m y北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询状态空间表达式 0u2121 2

k

b y

0x1xxRL+u(ti(tRL+u(ti(tuc(t+_y_+

RiLdiu(t)u(t) u(t) 1）选x1 x2Cidt北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询diRx1x1 ·1 y

uc

1x

1

L

x

02

0

2 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询y 1x1 令x x

x 2x Axy 1

1A

L B

C 0

0北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询设状态变 x1i,x2idt,

1x1

1

LCx0u(t)2 y

1x1

2设状态变 x idtRi, C CxxRi,Ldixu(t) 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询Rdi1(xx)R(x ·1i1(xx y

1

1x

R

RC

1 1 02 0

2 RCy

xx述同一系统的不同状态空间表达式存性变换关系。

xi, idt,xi, C xx, 1 0 x0其中，xx1 x1

0xx ,xx2

, 2

1C北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询线性定常连续系统的状态空间表微分方程、传递函数、结构图 由系统微分方程建立状态空间表y(n) y(n2)·ay yu－输入

a0a1·an10已y(0),(0),·y(n1)(0),u(t)(t0

)选取：x1y,x

,·,x

y(n1

xx#n x

a0

a1x1

an1x

0y状态空间表达

AxbuyCu北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 10.01.::.00. 10.01.::.00..00x 00x : A : 1 n1 x

00 0 0b: C 0 0北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询1S1Sn1S1Sn

1S1S北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 设6y求

x2x22x3

x1 x336y

8x25x3北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询状态空间表达

0x1 1x0u2

2

a a a

x1y 0 2x3北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询y(n) y(n1)·aay bnu(n)bn1u(n1)·设bn

x1yxihi1u，i2,3,·,其中h0h1,·hn1是n个待定x1 yh0ux2 h1uxi

i

hi1xn x

nn

hn2hn1北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询,,,yn1xu,.ix1yh0uyx1x2h1ux2x3h0··h2ux3h0··h2u北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询xy(n1)hu(n1)hu(n2). y(n1)xhu(n1)hu(

. n y(n)hu(n)hu(n n

.

n北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询将y(n)

y(n2).aa bu(n

u(n

.b n

y(n

hu(n)hu(n

.

n北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询y(n .a an n n

(hu(n1)hu(n2)

. u)n n (hu(n2)hu(n3) .a1(h0 (n n

uh1u)a0h0ubnu(n).b1ub0a0x1a1x2.an2xn1(bh)u(n) h

(hh

h

h)u(n2n

n n .(b1hn1an1hn2an2hn3.0(b0an1hn1an2hn2.a1h1a0h0北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询选择h0h1·hn

，使得上式中的各导数项的系数都等于0，即可解得bnbbnbnan1an1an2bnan1an2h1an3hn1b1an1hn2an2hn3·a1北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 ，则hnb0an1hn1an2hn2 .a1h1最后可得系统的状态方1x2

x3h2#n

xnhn

a0x1a1x

.an2xn an1x

hn可写成向量-矩阵的形AxbuyCx即北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

·

x1

h1

0x

:::: :::: a0a1a2 x1

2 :

::

y

·0 2h: x x n

0h0

0hn1

;

;;b

0hn1

当bn0时，可令h00得到所需要的结果。取 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询1S1S1S1Sy状态变量结北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例：

42y·试写出它的状态空间表达解：n3b30b21b11b0a01,a12,a2h0b3h1b2a2h0北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询h2b1a2h1a1h0h3b0a2h2a1h1a0h0状态空间表达

0x1 1

1x3u 2 2

x1

y

0x2 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询设单输入/输出系统的传递函数： G(s)y(s) u(s

snan1sn1

n1sn1n2sn2·1ssnan1sn1N(D(S北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询gs)Ns)D(s

bn 前馈上式中的系数用长除法得 b a0b b1 a1b#nn

bn an2b bn an1bD(（1）g(s)ND(

串联分解的1sn1sn

sn1·s z(su(s

snan1sn1·a1sz(n) z(n1)·aaz 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询y(sz(s

n

sn

·1syn1z(n

·10选取状态xz, ,

z(n 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询则状态方程x2

a0

z

.

n

z(n1)a0x1a1x2.an1xn输出方程y0x11x2·n1写成向量-矩阵形式AxbuyCx北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询A

: 010001:::010001:::

000 b00 0,1.n1 这样的阵又称友矩阵，若状态方程中的具有这种形式，则称为可 当G(s)b

N(sD(s

yCxbnuuu1S1S01Sn2 bn0 · a0

0

0·

A 1· a

b 2 ... .

.0 ·

n1 · 具有A,c形式为观 可 与可观 的对偶关系AAT,bcT,c 例：试 2y的可控标准解：该系统传递函 可控

x 2

x

x

2a0

c 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 b0

TAc

2

Gs)串联分解并引入中间变量22zyz12T2Tz 1

c2c 则

12TyT2uc1 12T2T2TyTuxc2 12T2T2

x2 s s sTy 可观标

xo1o

xo2x

Ao

TTx1

x2s b s co 2gsNs并联分解（对角标准形）D把传递函数展开成部分分式求取状态空Ds达 gsNDs

只含单实极设 可分解为D(s)(s1)(s2)·(sn其 1,2,·n 为系统的单实极则gsNsys cDs us i1 s北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询其中s为极点 的留

i1,2,.,nysi

s

us北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询选取状态变xs usi si

i1,2,·,将上式整理，并进行拉氏变换，可得状 xtu再

代

ytcixitnin北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询1x12x2#nxnyc1x1c2x2…cn北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

0x1 2 :

x 2: n

nn x1x

y ·c2

:x xn北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询特点

传函极B 全BC 对应极点的C选取状态变x isii1,2,·,北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询12·1x1c1u·2x212#nxnyx1x2·北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

0x1

c1 x c2

22:

: :

x cn nn ny ·北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询状态变量图（并联结构 (a) 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询对角标准形(b)1 1 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询3.gsN3.D

含重实1r重极r1•单极1r重极r1•单极

11

11 r

• nir1s北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

dj c1

j1!s1

j

gs

jir1,·,北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询选取状态变量的拉氏变换s

u1s12x21#rxsr1r sr s

r#北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 xs s

nx1sx2s

s1s

x2x3s北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询r rrxr

s1s

xrr北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

r sr#x nsn北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询化为状态变量的一阶微分方程，则1x1x2# 1xr1北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

r1xr1#输入ytc11x1tc12x2t•rrcr1xr1t•cnxn北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询1

·

·

xr1

·

n

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询y

x . .c

nxr 状态变

xr·2s1

xr

cr 1北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例：设系统传递函数

试求其状态空间表达解：分母Dss36s212s8s 三重极用部分分式gs

3

2

s

s

s北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询c s

s s2 s d

c13

2!s

ds2

s2

gs

s 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询状态空间表

0x1

1x2

2

y

2 22 线性定常连续系统状态方程齐次状态方程幂级

设Axt的向量幂 xtbbtbt2·b 式子中，xb0,·

都是n维向 b2bt·kbtk1 Abbt·btk 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询bAb,b1A2b,·,b1Akb2 2且x0b0

k

IAt

A2t2·

1Aktk

Aktk

k0e

IAt

1A2t2

·

1Aktk

·

tkk0tk eAt 矩阵指数函数，简称矩阵指数。状态转移矩阵，记为：eAt t 斯变换法

eAtL1[(sIA)1北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询eAtL1[(sIA)102tAt

且

1tt,1t北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 6t2t0t2t1t1t0xt2t2t0xt0 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询7

eAkt8eABteAteBt eBteeABteAteBt eBte

ABAB9若(t)为x(t)Ax(t) 矩阵xPx后的状态转移矩阵为(t)P1eAtP北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询10Adiag[12,·n]即A

e (t)

t en

t

tm1

tt t

0A0

(t)

tm2··

t

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例：已知A

求e 解 eAtIAt1A2t21A3t3· 0

t1t 0

2! t2 1 t30 0 24 24

t3 t5 1

t . t

t t.

. cos

cost北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询2拉氏变换

例：已

1x1

3x2 2解

1

1sIA

s

s sIA1adjsIA s3 ssI s s1 s s

s2 2 1 s s1 s2

2et

et L

sI

et2e2t北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询Ax(tBu(t)积分 Ax 有eAtAxeAteAtxAeAtxeAteAteAtxeAtt 0t0t0北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询同理，选 为初始时刻txttt0xt0t 2拉氏sxsx0Axsi

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询利用拉氏变换卷积 L1F(s)F(s)ftfd

f1()f2(t 令 t xteAtx0eAtBu0ttx0tt0传递函数递关 传递函数矩阵（简称传递矩阵2表达式：设动态方 Axy令初始条件为零，求拉氏变换北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询则系统传递矩阵表达式 Gs:q其展

g11s g1p y s

u

2 :

:y

u

qp

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询u(s)

Hz(s)H(s)y(s)H偏差向量至反馈向量之间的传递矩阵H(s)G(s为y(s)G(s)e(s)G(s)[u(s)z(s)]G(s)[u(s)H(s)y(s)] y(s)[IG(s)H(s)]1G(s)u(s)

(s)[IG(s)H(s)]1G(s)e(s)u(s)z(s)u(s)H(s)G(s)e(s) e(s)[IH(s)G(s)]1u(s)e(s)[IH(s)G(s)]北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询y1(s)g11(s)u1(s)g12(s)u2(s)·g1p(s)upy2(s)g21(s)u1(s)g22(s)u2(s)·g2p(s)upyq(s)gq1(s)u1(s)gq2(s)u2(s)·gqp(s)upy1(s)y(s)

g11

u1(s)u (s)

y

gmm(s)um北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询yi(s)gii(s)ui i条件：gii(s)不得为零，即解耦系统的对角化传递矩阵必须解耦方法 1）用串联补偿器Gc(s)实现解u(s)

y(s)HHGpGc

(s)[IG(s)G(s)H(s)]1G(s)G 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询以[IGp(s)Gc(s)H(s G(s)G(s)(s)[IH(s)(s)] (sH(s) G(s)G-1(s)(s)[I 2）用前馈补偿器Gd(s)

H(s)u(s)

y(s)GpGpGd

(s)[IGp(s)]1Gp (s)(s)Gd(s)[IGp(s)]1G(s)G (s)为所期望的对角Gd(s) (s)[IG(s)] C(sIA)1BD成立，则称系统(A,B,C,D)是G(s的一个实现北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询离散系统状态空间表达式的建立及y(kn)an1y(kn1)·a1y(k1)a0y(kbnu(kn)bn1u(kn1)·b1u(k1)b0u(k)[y(k)]Y(z), [y(ki)]ziY(z) G(z)

Y(z)

bnznbn1zn1·b1zU(z)

zn

zn1·a1zbn

n-1zn-1·1z0 bzn zn1·az

N(z) 串联分解，引入中间变量Q(z) 则 znQ(z) zn1Q(z)…azQ(z)aQ(z) Y(z)n1zn-1Q(z)…zQ(z)Q(z) X1(z)Q(z)X2(z)zQ(z)zX1(z)# Xn(z) Q(z) zXn1(z)则znQ(z)aX(z)aX(z)… X(z)U(z) n- Y(z)0X1(z)1X2(z)…n-1Xn(z)北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

1[Xi(z)]xi(k)1[zXi(z)]xi(k x1(k1)x2(kx2(k1)x3(k#xn1(k1)xn(kxn(k1)a0x1(k)a1x2(k).an1xn(k)u(ky(k)0x1(k)1x2(k).n1xn(k 0)x(k1) 0x2(k)2 2

：

：：

： (

a1a2

11y(k)

n1x(k)bnu(k简 x(k1)Gx(k)hu(ky(k)cx(k)du(k

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询定常多输入多输出离散x(k1)Gx(k)Hu(ky(k)Cx(k)Du(k)DDGIZCH

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询tAxBux(t)(tt0)x(t0)(t)Bu(令t0kT,tkx(t0)x(kT)x(k x(t)x[(k1)T]x(kt[k,k u(t)u(k)(kx(k1)[(k1)TkT]x(k) [(k1)T]Bdu(k (kG(T) [(k1)T北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询令(k1)TTG(T)()Bd0x(k1)(T)x(k)G(T)u(k离散化系

y(k)Cx(k)Du(k其中(T)

tk0k1k2#

x(1)(T)x(0)G(T2(T)x(0)(T)G(T)u(0)G(Tx(3)(T)x(2)G(T3(T)x(0)2(T)G(T)u(0)(T)G(T)u(1)G(Tkk1 x(k)(T)x(k1)G(T)u(k-k(T)x(0)k-1(T)G(T)u(0)k2(T)G(T kk(T)x(0) k1i(T)G(T北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询当u(i0(i0,1,·k1) x(k)k(T)x(0)(kT)x(0)(ky(k)Cx(k)Du(kkCk(T)x(0)Ck1i(T)G(T)u(i)Du(k北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询9-2线性系统的可控性和可观测性研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统.控制作用: 能控性含义2:能控性:能否找到使任意初态:

能观性.多变系统两个基本问①在有限时间制作用能否使系统从初②在有限时间否通过系统输出的测量都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控态能式的运动均可由输出完全反映,则称系统北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例1:给定系统的状态空间描

0x11u，y

2

22 2解:展开

4x1y

5x2表明:状态变量x1, 都可通过选择输而由始 终点完全能控输出y只能反映状态变量 ,所以不能观测例2:取iL 和uc作为状态变量,u—输入,y=uc--输出.LCC

R1R4 状态可控2R1R4 只能i

uc 不可控，不可观北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 线性系统能控性和能观性的能控性：u(t)能观性yt)

x(tx(t

状态输出方北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 Ax若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意状态x(t0转移到任意终态x(tf，则该系统完全能控．①任意初态x(t0)x(状态空间中任一点),②零初态任意终态x(tf

tf

AB. ：rankSc AB B 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例 1

0x 1

x

u判断能

x2

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询Sc[BAB 4 4 1 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询对于行数＜列数的情况下求秩rankS=rank[

ST n定理2：若Ax Ｂ中没有任意一行的元素全为

0 12 .p

.b

x

::::

.11x1b11u1b12u222x2b21u1b22u2b2pup北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例：线性系统的状态方

0

b1A1

b 试判断该系统的能控

b2北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询Sc[bA] bAb

bb

如果rank 则必须要求b10,b2北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询定理3：设Ax

Ax

A 1

bb1b b 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 Sc[bA] b

2 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询当特征值为1(1重根）,2(2重根）l(l重根且1

， n，则可以经xPx 如下:北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询J1

0 B

1A

BB2 :B B Jl

l

BJ

Ji

Bi2 ii

: i ii Jik

11 i北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 Bik(k1,2,·,i

的最后一成的矩 Brri2i1,2,·,l 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例：设Ax 0 0 A 2 1 1 00001100010100 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询r

r 行线性

不全北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询线性变换后系统的能控性 AxSC[B xPx 则：AxBu

AP1AP,BnSC[ AB.. BrankScrank[P1B(P1AP)P1B·(Prank[P1BP1rankP1[BP1rank[Brank系统的能控性 定理 Ax如果系统能控，则

[BAB-则必存在一个非奇异变 xP1x可将状态方程化为能 Axbu北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

APAP b00A00

00010.01.0010.01.: b01: 1:

PAP : PA [00··1][bAb·An1b]北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询证明：:PAAP(由

A

推得P

P010·0001·000010·0001·000:001P

P 2

A :P P n

·

:P P n n1北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询1APAP2 # APAn2 APAn1 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 PA P : PAn

1b

PAb

bPb

1

:

: P

A

b

·1][bAb· 例 求能 .

0x

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 1 A] rank 1 1 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询PP[0

0 P

1

1

11P11P P 则A

1 1

线性离散系统的x(k1)Ax(k)Bu(k x(k)ARnn

u(k)RPBRn北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询若存在控制向量T,T第从k步的X(k)转移到至第步的x(n)=0，统的所有状态能控，则称系统为完全能控北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

Ak)SC[B北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询证明：(以单输入为x(k1Ax(kbu(kn x(n)Anx(0)x(nx(0) [A1bu(0)A2bu(1)·Anbu(n [A1b

:u(n 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询)u(2) ． u(n

这里x(0)是任要求rankA1bA2b·Anb]北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询An当SCrank[bAb· b]可求出u(0),u(1), ·u(n-1) 0

0

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询解 1c0S[bAbA2b] 2 c0rankSC

该系统北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例 xk1Ax(k)Bu(k 2

u(k)A 2 0

B

u(k) 4 0

u2(k①判断能②能否

uu(0)uu 对任意x(0) 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询C S[BABC 4rank

1因此该系统所以一定可使任意x(0) 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询x(1)Ax(0)Bu(0) 2 x(0)A1Bu(0)

0.5u1(0)

(0)

3 - 2

- :

0.5 0

-3

2可求u(01,u(02设x(0)

u(0)u1(0) u

但不能对任意 4不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控.设:AxyCx xRn,yRq,uRp[t0tf]y(t0y(tf解出ut输出．定理系统输出完全能控的充要条rank[CBCAB·CAn1B D]北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例

1x

y

判断系统是否输出能解：rank[CBD]=rank[1-2 输出rankSc=rank[b 状态不 5线性定常连续系统的能观性量,而由于 ,不一定都能直接获取,能观性—能否通过对输出的测量来系统的状态变北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询设线性定常连续系统状态空间表Ax

yCx定义：对任意给定u(t)，在[t0tf]内输出yt唯一确定系统的初态x(t0，则系统是完全能观yx(t0)yxtf)定理系统状态完全能观的充要条rankSrankST S0[CTTT CA… 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

x(t)eA（tt0)x(t) teA(t)Bu(0 0 y(t)CeA(tt0)x(t)

eA(t)Bu(设u(t)

t0

my(t)CeAtx(0)Ca(t)Amm CA[a0(t)Iqa1(t)Iq·an1(t)Iq : 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

要使y(t) x(0)rankST 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询定理2:北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

0xb1

y c 2 2 ATCT 0S0c1c2(2

2系统能控能观则c1即rank

c2定理北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

0

b1 0xb 2 y c c11

0 c13

0 21 23 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

1xb1 b

y 1 2

c S[CTATCT] 1 cc c

12rank 能 c1AxyCx

xpx

AxbuyCx设有 (1重根)，2(2重根)． l重根)，12 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询J1

A

CJJl

·

C

·J

i,,·, ii 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询Jik

1i Cik

·

k1,2,·,北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询i i1i2·rii要使系统完全能的第一列组成的矩阵：Cik(k1,2,·,iC ' ·C '对i,,·l均列线性无关定理设Axy

(单输入单输出系如果系统能观，但不是能 则存在xpTx 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询AxyC 其 a0

1 a11A a2: : ::

A bPTC

an1北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询P

A

n1P 1

0 C 0 CA

0 : 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询线性变换后系统能观性 Ax yCxS0[CT xPxAxbuyCx

ATCT·(An1)TCTA CB DT T A

( )C n1 rank AP)(CP) ](CP)rank[PTCT PTATCT·PT(An1)TCTrankPT[CTATCT·(An1)TCT ATCT·(An1)TCT北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 设x(k1Ax(kBu(ky(k)Cx(k定义：已知u(k)，如果y(ky(k·y(kn1确定x(k)，则第k步是能观已知

#y(k+n-

x1(k)x(kx(k)= # x( 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询定理：系统状态完全能观的充要条其中：rank rankST ATCT·(AT)n1CT0 CAS S

n1北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询证明：令 k=n- y(n-1)= y(0)

CA

x(0)Iy(n

CAn1 1CA

x(0)

n1

y(n1)_0rankST0

时，x(0)有解。北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例

2 x(k1) 1x(k)1u 2

1y 0x(k S 10 CA S 100rankST0

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询9- 状态变量的不同选取 xx,x,·,x 是一组由 状态变量构成的n维状态向量，则x1,x2·,xn的线性组合x1,x2,·,xn也完全可以作为x北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询x与x之间存在如下的非奇异线性变换x

xP1x其中Pnn非奇异变换 p1n P

2n

pn n nn 于是x1p11x1

·##pn1x1

·pnn虽然状态变量和状态表达式不同， x和都是描述同一系统动态行为的描北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询设线性常定系统的状态空间表Ax x P1APx

yCxyCPxAxBu yCxDu其 AP1 B C D 化A化AAx当系统矩阵A的特征值1,2, ,n互异，则必存在非奇异变换矩阵P，通过线性变换xPx，则有AxBu 0AP1AP n ．nPp1 ．pn北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 的特征

i1,2,. i所对应的特征解， Apii值1,2

1 A

1.2nP 1.2n 1

. 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询设阵具有重实数特征值1，其余为(n-Apii

(i时有个独立特征向量p1p2,·pm，则可使为对角阵

AP00

nP ·

·pn设具有重实特征值1，其余为(n-个互异实特征值，但在求解Api1pi 征向量p1，则只能使化为约当阵J JP1AP

0

00 n北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询P

·

·pnp2p3,· ·p

·11 ·pm北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询设为友，有实特根1，且只一个独立实特征向量1 为 P

2

m-

pn

1 2p1 2 : 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询设具有五重实特征值1，但有两个独立实特征向量p1,p2 ，其余为(n-5)个互异实特征值，A阵 JP1AP

11 nP

2

2 2

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例：设系统的状态空间表达式

1x1

3x 2 y

2 x0xx2

取变换矩 P

P1 1313

2

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询 xP1x

2x1

6x12x2 0x 2 1

2

10

2x

20 0

31

3 20 2x 0y

x 3 2 2取变换矩阵P

1 则P1 1 1xP1x 1

北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询·

1 1 1xx

1u

对角化！状态变量 0

1 解

x y 1x 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询对偶对偶原理：CoCoCoS1:AxBu,y :Az(A,2TCTv,wBT(AT,CT,BT,DT北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询其中

x,zRnu,wRp

y,vRq互为对S:

S2:S20(BT)T

(AT)T(BT

·((AT)T)n1(BT)TS1:

(AT)n1CT S:

ATCT

(AT)n1CT

S

S2能1S2

2G(s)BT(SIAT)1CTBT[(SI2[G(s)]TG 如下内系统特征值系统传递矩阵系统可控性系统可观测性xc0x x c0x

x

--能控--能控不能--不能控能cc

--不能控不c0北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询系统的能控性 Ax yrankScrn统不能T

变换,xT1 T 中r个线性无关列向 任意n-r个列向量 TC存 .Ax

ATAT

Br

0 A220 n

nB

B 0

n-Cc

C2cxc

n-xx

xcRr--能控状态子ccc

xRnr--不能控状态子北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询则有

A11xcA12xccA22yC1xcC2xcy1

A11xcA12xcy1A22 y2C2111/ 111/1/x1/xcyCc北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询G(s)G(s)C(sIA)1(CT1)(sITAT1)(T

1B CsI

0A22 0sI

1B

C2

sIA22

0 (sI

(sIA11)A12(sIA22)1B1 C2

(sI

0C1(sIA11)1B1GcoGco(s)能控能观的子

11北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例

3x

y 进行能控性分c解 rankSrankb c 32所以不能

选

T1

1 2

3

1通 xT1C则C 1

x

y 1

1北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

1x1x1 1

y1 y2系统的能观性设Ax yo其中ranko

ln所以不能引入T

变换

x

1 ST中l个线性无关的行 n

个行向

1则

yCx北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询ATAT

0

B BTB

B

nCCT

l

n

n

2p no xoxx x

--能观子--不能观子o oy

A22xo A11xo y1C1xo不能观子系统oA21xoA22xo ,y21/北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天1/

y1oo1 例

x

3x

y -

进行能观性分解 C

rankSTrankCArank 32 不能北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

3

T1 o xTo

1

01

x y 能观子系 1

1 y 2

不能观子系

oxo o

,y2北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询系统的规范分假设系Ax不能控也不能①

y xxT1 xc②xT1xco

能控性能控子系统能观性x x

co③ T1xco

不能控子系统，能观性x ox

coxc

T1x

T1T1 coT1T1xT1

c

co T1

T1T1xc

c o coT1T1 o

co北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询T1T

xcox

o

cox xco T

1 o2coT xT1x经过xT1x的线性变换后，系统化为

0xco

B1

x

co

24

coB2

0xco 0co

co 0

A44

xcox yyyy

0co

co北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询能控能观

:oA11xcoA13xco y1C1

co

:oA21xcoA22xcoA23xcoy20

A24xco

A yC

·

co co

co ccuG(s)C(sIA)1cocoC1(sIA11)1B1Gco(s)例3:

x

3x

y - 进行能控能观性分解 rank rank 3rankSTrank 32 ①系统不能控不能②(A,b,c)能控性分解(A,b,ccxTc

xxcxcx北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

T

Tc

1

ATAT

bTb

CCT

c

2x

y -

-能控子系

0

1x 2

2 y1

不能控子系统：c显

xc y2 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询③能控系统能观性分

rank

1So C C 取T

11T1

xT

-xco x co

o

xco co

o

xcox T1 T1 o o0 0xco 1 1

co y

xco

0xcox xco

xcox北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询标准分解

1xco

1 0ucoco

2xcococoxco

y

coxco北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询反++x++++x++ ＫＡＤＣＢＶ

AxyCxy北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询其中：vRp 输KRpn

----状态反馈状态反馈系

(ABK)xBvy(CDK)x若特征

(ABK)xBvyCxGk(s)C(sIABK)1a()IABK输出反+·x-HＡＣＢ输出反馈至+·x-HＡＣＢ AxBuHy(AHC)xBuyCx其中H

--输出反HG(s)C(sIAHC)1H北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询x输出反馈至参考输xＡＣ+·ＡＣ+·+-ＦＢＶ(ABFC)xyGF(s)C(sIA

y q 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询证明：设原系统 Axy(ABK)xy先证SR能控的充要条件是

SR

·(ABk)n1 B ·

Rn p ·Ab11p(ABk)B1p

(A

·(ABk)bbi(i1,2,·pRpn列向量K ·k 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询则 kb(ABk)bAb ·b2i

p 令

kiAi这说明(ABk)B的列(ABk)bi是 列的线性组北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询

(ABk)2bi A2B列的线性组i#(A 的列(ABk)n1bi An1B列的线性组 rankSCR：S0SR的状态反馈系AxBu[(ABK)BK]xrankSC或：S0是由SRrankSC rankSCR北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询例： 1x

y ①判断原系统的能控性，能观rank Abrank1

1 能0 rankC

1 能0 引入状态反馈：uv则AbK)x

K1y令 AbKA' 0 1 能0 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询rankCrank 1

不能CA' 原系统

G(s)C(sIA)1b s2闭环系统：GK(sC(sIA'1bC(sIAbK)1bs引入状态反馈后出现零极点北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询证明用对偶原理证明北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询设原系统S0:(A,B,C) ，输出反馈的系SH:((AHC),B,C)若原AB,C)AT,CTBT)能控

对偶由定理1可知AT,CTBT)引入状态反馈后的系统ATCTHT),CTBT)能控性不 能观性不变

(ATCTHT ·(TCTHT)n1CT

(A 证明能控设原系统能 (AT,CT,BT)能北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询S0 (T ·((AT)T))n1(BT)TC ·An1C系统ATCTHT),CTBT

的能控性阵S0H B(AHC)B·rankS0rankS0HrankSCrankAx设原系统：++ +x原系ＫＡＣＢv

y

xRn,yRqy北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询uvKxKR1nAxb(vKxAbK)xbvyCxA

----闭环状态IA

闭环特征多 原系统能控，一定存在xP1将 能 AxbuyCx北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询0 0APAP1

0 0

an1

. CCP1

. bPb 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询引入状态

uvKxvKP1xvKx其 K K ·Kn1 其中 AbK

a1 a2 AbK 是能

an1特征多项a()I(AbKn

…

K1)

K0)期望特征a*()(*)(*

…a*a*比较a()与a*

Ki a*a 可任意配置极uvKxvKPxvK·I(AbK)I(AbK)能可直接求能北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询必要性：任意配置极 原系统能控反证法：原系统不0x0APAP1

xxcxcxbPbb100 K K1I 0 2I(AbK)I(AbKI1A11b1K0

A12b1I(I1A11b1K0)(I22A22)A22的特征值(I2A220的极点)不能任意配置 北理工《自动控理》研、点典命规独讲详见：网学天 ）；咨询＊求解状态反馈阵Ｋ的步骤a()I(AbK)n

…a ③希望的闭环系统的特征方a*()*

算

原系统是能 Kia*a 原系统不是能控型，比较a*()与写出闭环系统状态方(AbK)xy 例

0

1x

y

要求通过状态反馈将闭环极点配