高三数学一轮复习【立体几何】练习题

高三数学一轮复习【立体几何】练习题空间中，用a,b,c表示三条不同的直线，?表示平面，则下列说法正确的有()A.若a〃b,b〃c，则allcB.若a丄y，b丄y，则a〃bC.若aly，bly，则albD.若a丄b，b丄c，则a丄c答案AB解析根据空间平行直线的传递性可知A正确；由直线与平面垂直的性质定理知B正确；若a〃y，b〃y，则a，b可能平行、相交或异面，故C错误；若a丄b，b丄c，则a，c可能相交、平行或异面，故D错误.对于两条不同直线m，n和两个不同平面a，"，下列选项正确的为()若m丄a，n丄“，a丄“，贝Um丄n若mla，n〃“，a丄“，贝Um丄n或mln若mla，alp，贝Umlp或muB若m丄a，m丄n，则nla或nua答案ACD解析对A，令m,n分别为直线m，n的方向向量，因为m丄a，n丄p，所以m丄a，n丄p，又a丄p，所以m丄n，即m丄n，所以选项A正确；对B，如图所示，在正方体ABCD^AiBiCiDi中，令平面ABCD为平面a，平面ABB"］为平面p，直线A1C1为m，直线C1D为n，满足a丄p，mla，nlp，但m与n既不平行也不垂直，所以选项B错误；对C,若mB，过m作一平面y分别与平面a和平面p相交，且交线分别为a,

b,则m〃a,a〃b,所以m〃b,所以m〃”；若muB，符合题意，所以选项C正确；对D,若nua，符合题意；若na,过直线n作一平面”与平面a相交，设交线为b，因为bua，m丄a,所以m丄b，又m丄n，且n,b在同一平面内，所以n〃b，所以nila，所以选项D正确.综上，选ACD.D.BG丄DED.BG丄DEA.AEICDC.DG丄BH答案BCD解析由正方体的平面展开图还原正方体如图，连接AH,DE,BG,BH,DG,HC.由图形可知，AE丄CD，故A错误；因为HE//BC,HE二BC,所以四边形BCHE为平行四边形，所以CHlBE，故B正确；因为DG丄HC,DG丄BC,HCOBC二C,HC,BCu平面BHC，所以DG丄平面BHC，又BHu平面BHC，所以DG丄BH,故C正确；因为BG/AH，而DE丄AH,所以BG丄DE,故D正确.故选BCD.

用一个平面截正方体，所得的截面不可能是（）A.锐角三角形B.直角梯形C.有一个内角为75。的菱形D.正五边形答案BCD解析对于A,如图1,截面的形状可能是正三角形，故A可能;AB图2AB图2对于B，首先考虑平面截正方体得到的截面为梯形，且QR与AA］不平行，如图2所示，不妨假设PQ丄QR，因为AA］丄平面A1B1C1D1，PQ平面AQC^，所以AAJPQ，从而有PQ丄平面A/BB］，这是不可能的，故B不可能；对于C，当平面截正方体得到的截面为菱形（非正方形）时，只有如下情形，如图3，其中P，R为所在棱的中点，易知当菱形为PBRD1时，菱形中的锐角取得最小值，即ZpD］R最小•设正方体的棱长为2，则PD］二RD］二<5,PR二2\壯，则5+5-8_1彳6_722X逅5+5-8_1彳6_722X逅"5一5<—4—cos75°，所以ZPD1R>75°，故C不可能;图3图3对于D,假设截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形，故D不可能.综上所述，选BCD.5.已知正方体ABCD-AlBlClDl的棱长为2,M为AA]的中点，平面a过点卩且与CM垂直，则（）CM1BDBD〃平面a平面C]BD〃平面a9平面a截正方体所得的截面图形的面积为㊁答案ABD解析如图，连接AC，则BD丄AC.因为BD丄AM,AMGAC二A,AM,ACu平面AMC，所以BD丄平面AMC，又CMu平面AMC，所以BD丄CM，故A正确；取AD的中点E，连接de，DM，由平面几何知识可得D]E丄DM，又CD丄D]E,DMACD二D,DM,CDu平面CDM，所以D]E丄平面CDM，又CMu平面CDM，所以D]E丄CM.连接BQ],过点E作EF〃BD，交AB于F,连接B/，所以CM丄EF，又D1EAEF二E,D£,EFu平面D]EFB1,所以CM丄平面D]EFB1,所以平面a截正方体所得的截面图形即梯形D]EFB].由EF〃BD,BD平面a,EFu平面a，得BD〃平面a,故B正确；连接AB],AD],易知平面AB"/平面C]BD，而平面AB]D]A平面a=B]D],所以平面C]BD与平面a不平行，故C不正确；截面图形为等腰梯形D]EFB1,EF二\迂,B]D1=2逗,D]E二B]F二远，所以截面图形的面积S=|x^/2+2承）（石）2-2巴「2=|,故D正确.

6.在正方体ABCD-AlBl6.在正方体ABCD-AlBlClDl中，N为底面ABCD的中心，P为线段Afl^上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，贝％）B.CM>PNA.CM与PN是异面直线C.平面PAN丄平面BDD1B1D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形答案BCD解析对于选项A，如图，连接NC,PC,则A,N,C三点共线•又M为AP的中点，N中点，N为AC的中点，所以CM与PN共面，故A错误;对于选项B,因为P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），所以AC>AP.在△MAC中，CM2=AC2+AM2-2AC・AMcosZMAC=AC2+4AP2-AC・AP・cosZMAC.在\PAN中，PN2=AP2+AN-2AP・ANcosZPAN=AP2+1AC2-AP・ACcosZPAN，则CMi-PNi=4(AC2-AP2)>0，所以CM>PN，故B正确；对于选项c，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知AC丄平面BDD1B1,即AN丄平面BDD］B］，又ANu平面PAN，所以平面PAN丄平面BDD^，故C正确；对于选项D，连接Ac，在平面A1B1C1D1内作PK^A1C1，交C®于K，连接KC.在正方体中，A］C］〃AC，所以PK〃AC，PK，AC共面，所以四边形PKCA就是过P,A,C三点的正方体的截面，AA］二CC1,A1P二C1K，所以AP二CK,即梯形PKCA为等腰梯形，故D正确•故选BCD.7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA=2AB=2,点P为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是()Aa直线PB］〃平面BCD三棱锥P-BC1D的体积为*3n三棱锥D1-BC1D外接球的表面积为亍直线PB］与平面BCC］B］所成角的正弦值的最大值为半答案ABD解析对于A选项，连接Bp,AB】,根据正四棱柱的性质可知ADJIBC、,BD〃BiDi,因为BC1平面AB1D1,AD1u平面AB1D1,所以BC］〃平面ABR,同理得BD〃平面AB1D1,又BC1PBD=B,所以平面AB1D1//平面BCD，又PB1平面AB1D1,所以PB]〃平面BC1D，所以A选项正确；Vpjf-m亠13对于B选项，易知AD〃平面BCD所以V二V二V=1〃T冋，"I"vp-BC1DA-BC1DC1-ABD32X1X1X2=|，所以B选项正确；对于C选项，三棱锥D1-BC1D的外接球即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球.设外接球的半径为R，则4R2=12+12+22=6,所以外接球的表面积为4nR2=6n,所以C选项错误；对于D选项，过P作PE//AB,交Bq于点E，则PE丄平面BCC1B1,连接B、E,则ZpB]E即直线PB1与平面BCC1B1所成的角，当B1E最小时，/PB、E最大，此时be丄BC],由等面积法得S^BB1C1=|BC1^B1E=|BB1^B1C1,解得B1E=寻，在RtAPB^中，PE=AB=1，所以PB1=12+=^，所以"B^的正弦值的最大值为器=乂5，所以D选项正确.PB】3故选ABD.8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC1，BB1的中点，贝9()直线D1D与直线AF垂直直线A1G与平面AEF平行9平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面的面积为㊁点A1和点D到平面AEF的距离相等答案BCD解析对于选项A，假设AF与D1D垂直，又D]D丄AE,AEQAF=A,AE,AFu平面AEF，所以D]D丄平面AEF.因为EFu平面AEF，所以DQ丄EF，这显然是错误的，所以假设不成立，故A错误；图1对于选项B，取B1C1的中点N，连接A1N，GN，如图1所示，易知A]N〃AE，又AEu平面AEF，A]NQ平面AEF，所以A]N〃平面AEF.因为GN〃EF，EFu平面AEF，GNQ平面AEF，所以GN〃平面AEF.又A”，GNu平面A1GN,A1NAGN=N,所以平面A1GN〃平面AEF.因为A1Gu平面A1GN,所以A1G〃平面AEF,故B正确；对于选项C，连接AD1,FD1,如图2所示，因为AD]〃EF，所以四边形AD/E为平面AEF截正方体ABCD^A1B1C1D1所得的截面，又AD]二+22二2护,AB图2EF=y；12+11^2,D/二AE»J12+22二护,所以四边形AD1FE为等腰梯形，高为W)2-⑨2普,则S梯形AD]FE=2XCj2+2\：'2)X~=2，故C正确；对于选项D,连接A1D，如图2所示，由选项C可知A1D与平面AEF相交且交点为A1D的中点，所以点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确•综上，选BCD.9.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP丄MC,则下列结论中正确的是()点P的轨迹中包含AA1的中点点P在侧面AA1D1D内的轨迹的长为学MP长度的最大值为豊辺直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为亨答案BCD解析如图，取A1D1的中点E，分别取A/，B1B上靠近A1，B1的四等分点F,G，连接EM,EF,FG,MG,易知EM\\FG且EM=FG，所以E,M,F,G四点共面.连接GC，因为MG.4H2二爷，连接GC，因为MG.4H2二爷，MCi2+a2二乎，GCi3a+ai二25a2，因此MGi+MCi二GCi，所以MG丄MC,易知ME丄MC,又MGCME16二M,MG,ME平面MEFG，所以MC丄平面MEFG，即点P的轨迹为四边形MEFG（不含点M），易知点P在侧面AA1D1D内的轨迹为EF，且EF=MG=字，所以A选项错误，B选项正确；根据点P的轨迹可知，当P与F重合时，MP最长，易知FG丄平面BB1C1C，则FG丄MG，连接MF，所以MF二Jai+甞二寻，故C选项正确；由于点P的轨迹为四边形MEFG（不含点M），所以直线CC1与直线MP所成的最小角就是直线CC］与平面MEFG所成的角，又向量CC］与平面MEFG的法向量aCM的夹角等于/C、CM,且sinZC］CM二亠二冬，所以直线CC1与平面MEFG11p5a512所成角的余弦值为亨，即直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值等于害，故D选项正确.10.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA=2,M为AA1的中点，过B1M作长方体的截面a交棱CC1于N贝"）

AAM截面a可能为六边形存在点N使得BN丄截面a若截面a为平行四边形，则1WCNW2当N与C重合时，截面图形的面积为乎答案CD解析设N为棱CC1的中点，当N从C1移动到C时，其过程中存在以下几种情况，如图1,当点N在线段CN上时，截面a为平行四边形；当点N在线段N0C上（不包括点N，C）时，截面a为五边形；当点N与点C重合时，截面a为梯形.图1图1图2由以上分析可知，