及讲解数学三真题89年13397j

入学统一考数学三试题解析设yf(lnx)ef(x)，其中f可微，则dy 【答案】efx)x

flnxfxfln 1yf(lnx)ef(x)1dyflnxef(x)dxflnxef(x)fxdxef(x)[x

flnxfxfln11若f(x) 1f(x)1

1f 【答案】

1 41

1111 f(x)dxA，则f(x10

1

1x2A 01 arctanx1 A 4差分方程yt1ytt2t的通解 t【答案】yCttyt1yt0因方程的右端函数f(tt2ty(At代入方程得(At2AB)2tt2t t0,1,由于2t0At2ABt t0,1,可确定A B2，y(tf(xxx2x2x2x22xxtxx是正定的，则t 1 2答案： t 【解析】f(x1x2x3的对应 0 A tA正定A的顺序主子式均大于零

2t t 1 2 1

0 t t2 1

0tt 2 1

1t

t t故f正定时，t的取值范围是 t 设随量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32)，而X,,X和Y,,Y分别是来自总体X和Y的 Y2Y单随机样本，则统计量UX1X9Y2YtX,XXX,XN(0,32Y,,YX的简单随机样本，故Y,,YN(0,32 X'XX~N(u,2)9uE(X')E(XX)，2D(X')D(XX9 由期望的性质uEXE(XXEXEX 由独立随量方差的性质：2D(X')D(XX)DX X~N(092 nii

Z2~2而Y1,,Y9不是标准正态分布，故需将其Z~N(u,2，则Zu~N因Y

~N(0,32)，故Yi0~N 9Y所以Y' ii13

~2XYn由t分布的定义：若X~N(0,1)，Y~2(n)，X,Y独立，则T ~XYnX ~

X0~N(0,1)X9Y化简 ~9Y9Y2Y9Y2Y

X1X9~f(x)

1cos

sint2dt,g(x)

x

则当x0时，f(x)是(x) 5 5(A)低阶无穷小 (B)高阶无穷小(C)等价无穷小 (D)同阶但不等价无穷小【答案】只要求出极限limf(x)x01cosxsint2limf

limx0

x5 lim(sinx)sin(1cos4 x(1 x(1cos lim x01x 1lim 故应选f(xf(x)(x，在(0)f(x0,f(x0f(x在(0, f(x)0，f(x)0 (B)f(x)0，f(x)0f(x)0，f(x)0 (D)f(x)0，f(x)0【答案】方法1：由f(x)f (,)知，f(x)的图形关于y轴对称。由 0内，fx0且f(x)0知，f(x)的图形在 0内单调上且是凸的；由对称性知，在0, 内，f(x)的图形单调下降，且是凸的，所以应选(C)。方法2：由f(x)f(xf(x)f(x)

f(x)f当x 时，x 0，此时由题设fx

f(x)0，故f(x)f(x)0 x(0 )，应选(C)0f(xx2f(x符合原题条件，计算可知A、(B、(D三个选项均不正确，故应选(C设向量组1，2，3线性无关，则下列向量组中，线性无关的 (A)12，23，31(B)12，23，1223(C)122，2233，331123，2132223，315253答案【解析】(A)由312312,因为存在一组非零的数1，1，-1，使得等式为零，根据线性（B）122312230，因为存在一组非1，1，-1，使得等式为零，根据线性相C）设有k1,k2,k3k1122k22223k3133

k1k312k12k223k23k3a3已知123线性无关，上式成立

k1k32k2k 3k23k 10122012033

或者也可以将1222233331用123线性表出，且写成矩阵形 32,23,3,, 3

0

1，2

120，122,2233,331C11,2,3123也可由1222233331线性表出故两向量组是等价向量组，由123线性无关知1222233331线性无关（D） [，2322，355] 32 3x11,2,3 5x 21

1 21 5 2 2

1232132223315253线性相关.排除设A,B为同阶可逆矩阵， AB (B)PP1AP存在可逆矩阵C，使CTAC答案

【解析】方 1：用排除法，任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律，不相似，也不合同，例如 A 0,B 若A 0,B 0知AB 0 0 0 0 ,ABBA （）（D6

方法2：因A,B是同阶（n）可逆rArBnrArBAB等价P,QPAQB（这里只PA1,QPAQA1BAB成立），故应选行变 行变ABABA从而 PAE

E,BE,得故（D）成立

PAW1PAQ 记W1设两个随量X和Y相互独立且同分布PX1PY11PX1PY11，则下列各式中成 (A)PXY 2(C)PXY0 4

PXYPXY14因X和Y相互独立，由独立PABPA PX1PY1

,PX1PY1 PX1,Y1PX1PY1111 PX1,Y1PX1PY1111 PX1,Y1PX1PY1111 PX1,Y1PX1PY1111 PXYPX1,Y1PX1,Y1A正确，B

11 PXY0PX1,Y1PX1,Y111 CPXY1PX1,Y1PX1,Y111 DQ(x)A[Kx(1)Lx]QAKlimQ(x)Q

要证明limQ(x)Q，只须证明limlnQ(x)lnQ，即可因为Q(x lnQ(xlnA1ln[Kx1)Lx]xlimln[Kx(1)Lx KxlnK(1)Lxln Kx(1lnK(1)lnln(KL1所以limlnQ(xlnAln(KL1lnAKL1于是limQ(x)

设uf(xyzyy(xzz(x分别由方程exyy0和exxz0duduffdyf 由exyy0

y z e(yx )

1xexy 1xy由ezxzezdzzxdz

dz ez xy将（1）（2）两式代入式duf f 1xy xyx（万元确写出(x后，满足(x00x0x0t是t的函数，当商家获得最大利润时，政府总额Ttx(t)，再由导数知识即可求出既保证商家获利最多，又保证总额达到最大的税值t。设T为总税额，则TtxRpx(70.2x)x7x利润函数为RC7x0.2x23x10.2x2(4t)x令(x0，即0.4x4t04 得x (4 由于(x0.405因此x (42

x5(4t代入Ttx，得Tt5(4t)10t5t 由T(t105t0，得惟一驻点t2由于T(t)50，可见当t2时T有极大值，这时也是最大值，此时总额最大。六、（本题满分6分）f(x在[0f(001xtnf xF(x)x x在[0,上连续且单调不减（n0x0F(xlimF(xF(0)x0F(x0xtnfxlimF(x)lim limxnf(x)0F(0) 所以F(x)在0, 上连续。当x0, 时，xn1f(x) xtnf F(x) x f(x)f()x, 0x f(xf(xf(xnn从而xnf(xnf(于是有F(x) 0x

故F(x)在 上单调不减xn1f(x)xtnfF(x) xxnf(x)dtxtnf x[xnf(x)tnf F(x在0,上单调不减。七、（本题满分7分.） P2x轴的垂线，交抛物线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点P1Q1P2Q2PnQn;（1）求OPn（2）求级数Q1P1Q2P2QnPn的和，其中n(n1)为自然数，而M1M2M1M2之间的距离（1）yx2y2x对于任意a(0a1)，抛物线yx2在点 a2处的切线方程ya22a(x 且该切线与x轴的交点为20)，故由OP11可OP1OP 1 1 1 OP OP 2 2

OPOP21 n

21

On

4n1

xn (1

1 OnPn 1

n1 4设函ft在[0)上连续，且满足方程f(t)

f12x2y212

x2y2)dxdyf(t12 f2

x2y2

fr(r r ( f(t)e4t222trf(r

sr2 0rf(2)dr40sff(tf(t)8tsf(s)ds0在上式中令t0得f(0)1，将上式两端对t求导，得（利用变上限积分的求导f(t)8tf(t)8（利用一阶线性微分方程的解的yp(x)yyep(x)dx[Cq(x)ep(f(t)(4t2其中常数Cf(0)1可确定常数C1f(t)(4t2.P 0,Q T A

b其中A是矩阵A的伴En阶单位矩阵证明矩阵Q可逆的充分必要条件是TA1

AEPQ

0 T A b TAAA aTA*abA

Ab

PQPQ

A2baTA1a其 P

A QAbaTAA0，要使只有baTA1a因此我们得到Q可逆Q0baT 【解析】（1）A的属于3的特征向量为x,xxT.A是实对称阵，其不同特征值对应的特征向量相互正交，于是有T0,T0即x,x 的非零向量

x1x2x3x2xx 1 1211 1 解上述方程组设方程组得系数矩阵为B 2对B进行行初等变换 3系数矩阵 03特征向量为k1,0,1Tk是非零常熟.3（2）1P,,

AP

0 APP1，其中P1计算如下 10100110100

023 1 1 2 2 3231 131 1121 1 0 0 6 1 1 1 1 0

2 2P1

1 2 6 3得APP1

1 1 0 2 3 51 26 方法2：因A是对称矩阵，不同特征值对应的特征向量互相正123故存在正交阵Q 1 2Q1AQQTAQAQQT其中Q

0 1 1 11 2 1166A66

0

63 3

3 1212 121262622 123 346 54660 21 26036 366 6

6 6 1 22 22 {1x1}出现的条件下，X在 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.XF(xP{XF(xP{Xx实质上是求{Xx的概率。由X的绝对值不大于1则x1F(xPXx当x1 F(x)PXx又P{X1}1,P{X1} P{1x1}1P{X1}P{X1}111 1XxP1Xx|1X1kx1)kx1（k为比例正常数1 P1X1|1X1

P1X1,1X1

P1X1P1X11(1) 而P1X1|1X1 1 k

P1XP1Xx|1X1

当1x11Xx1Xx1XP1XxP1Xx1X由条件概 ：PABPBPA|BP1XxP1Xx,1XP1Xx|1X1P{1x1}x155x F(x)PXxPX1P1XPX1PX1PX110 5x 5x所以F(x)PXxPX1P1Xx x5xF(x

1xx.晨八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[060]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.【解析】已知X在[060上均匀分布,f(x) f(x) 当0X5时，游客需等候时间当5X25时，游客需等候时间当55X60所以是60X5故YX5 0X

Y5X；Y25X；Y55XY60X565X（ 25XYg(X

5X25X55X由随量函数期望的定义：若随量Yg(X)，且EY存在，则EYg(x)f EYg(x)f(x)dx60g(x)dx605(5x)dx25(25x)dx55(55x)dx60(65 1(12.520045037.5)试求两台记录仪无故障工