2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题理

#高三数学上学期第一次模拟考试试题理B.JI24C.4尸16D.二。注意事项：.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.8.直线去I与曲线，；有且仅有2个公共点，则实数人的取值范围是（）TOC\o"1-5"\h\z4 4 14 IA.；0.J B.HLr C.I_.I-J D.：、.：3 J 3 3 J9.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布NG05,O2）（o>0）,试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的5，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A.1?0 B.?：：<' C..⑴“ D.3。1.已知集合A=X2一Xx-4>o}Inx>0上则(dA)IB=( )RA. B."：：.<| C.：l D.-i2.下列命题中正确的是（）A.若八•八，则”•久,C.若"力--,,r；，，则JB.若〃，•八，厂J,则c''BD.若〃，•八,l.-J,则巴丁一10.已知椭圆■ ,：：,■「w的右焦点为『，短轴的一个端点为广，直线『：4「a~b~与椭圆C相交于；，.4两点，若了‘出‘”点『■到直线/的距离不小于:，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A，1",y B.：1）.； C11上：」 D1.：IC.C.；.设方程：「♦1八『；"的根为与，屈I表示不超过一「的最大整数，则|二I（ ）A.1 B.2 C.3 D.4.在\：加’中，已知.！印）,（/J3，”、，则©等于（ ）A.4丁•.或131 B."'， C.4?1; D..下列四个结论：.若函数不• ］与…「】都在区间……：」・「上单调递减，5斤D.—：2.已知关于.一「的方程|仃［门•In恰有四个不同的实数根，则当函数=.「•・时，实数4•实数4•的取值范围是（ ）A.：.■.\J」i、B.1, ..，，）①命题“ 七八'；1：|工■cos一:"的否定是“.''''「□・；・ I”；②若，•・‘，,'q是真命题，则君可能是真命题；③“心:皿":"是"•，‘,」”的充要条件；④当心.（〕时，幂函数■」.「在区间”L-房上单调递减.其中正确的是（）A.①④ B.②③ C.①③ D.②④6.已知正项等比数列"，的前F项和为\,若...一、J一一：，则\一（ ）A.313231B.16r51C.1831D.47.（x-1）（2x+1）0的展开式中x10的系数为（ ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分..若平面向量a,b满足|a+b=1,a+b平行于x轴，b=（2,-1），则a=卜>1.实数乙丁满足约束条件：，则二二士的取值范围为 .［jr'i'^-3<0 ”15.半径为2的球面上有月，,，C,。四点，且48,心』力两两垂直，则MBC,MCD与MDB面积之和的最大值为.16.与MDB面积之和的最大值为.16.如图，4,4分别是椭圆二+V=1的左、右顶点，圆八的半径为2,过点应作圆4的切线,\PQ\

1£?4118.（12分）如图所示的三棱柱」以■-「冏（‘中，.口—平面“「，,■•白电、耳，片「的中点为口，若线段.40上存在点八使得平面.44匚（1）求.;*;（2）求二面角,4月「一4的余弦值.切点为P,在尤轴的上方交椭圆于点。，则三、解答题：本大题共6大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（12分）在数列"，■;中，〃 .，当」.，■「时，其前项和、满足”“' '：.（1）求8:的表达式；（2）设三-二一，求出:的前一项和，.19.（12分）部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了.虫1名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过J）分钟）.将统计数据按|、1。：，，|1注不|,|尸「山，…，/.4C分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取I人，记为，1;从乙站的乘客中随机抽取I人，记为8.用频率估计概率，求“乘客,3B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；(2)从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，■¥表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量.【的分布列与数学期望.21.(12分)已知函数；,■I■.■： ,；1-Ji,：：■，•_/..'.2 220.(12分)已知。为坐标原点，椭圆J+5= 的左、右焦点分别为人，尺，离 (1)若门口存在极小值，求实数仃的取值范围；a-b(2)设工是"口的极小值点，且〕■「■」,证明： V：1.心率「「'，椭圆「上的点到焦点上的最短距离为、3(1)求椭圆厂的标准方程;（2）已知直线g的极坐标方程为6=优（0<b式双用），胃是J与G的交点，B是3与3的交点，且；，6均异于原点。，.H4、），求"的值.23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数门.口、、:•・■1.（1）当。2,求不等式门门「：门的解集；（2）设H,.i' ，；：口对-.|'<」恒成立，求"的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】fx=2+在平面直角坐标系上中，曲线g的参数方程为1r. ’（肝为参数）.以坐标原点。为极[y=2srn<p点，、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线g的极坐标方程为尸=4sind.（1）求一的普通方程和「的直角坐标方程;理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1【答案】C【解析】由题意，集合I:」；：，■ :，■.，或.7I:,门；..：：1..■ ，： :：'：I：,'： ，I4],则I：4:二：‘。「.2【答案】C【解析】A.「“时不成立；B.r；,••八，口.-：，，则「「人-」,因此不正确；C.di.'■■1J, •小，则—」，正确；abD.取"2, .；,13,/ 3,满足条件白「£",「，小但是一：.,三不成立，ca故选C.3【答案】B【解析】构造函数「：]："：I：>."由于函数J i与J :在定义域上都是单调递增函数，故".•・[ 工丁I： 在定义域上单调递增，由"「I,"：-.」•二；I-'：1,..■'I'-lI小। ': I：'."'：!,则函数/F的零点在之间，故・、••「，3,|一：\4【答案】C2义—耳bsinA2v2【解析】由正弦定理知sinB= =一」=上丁.a 33 2,?!：'■，,,：.!： •-•或二J,又•.，11二，...L.♦.门 、，...」:r.5【答案】A【解析】①命题“—L七八III上；■ :"的否定是“J'jT；•口-z-I”，特称命题的否定是换量词,否结论,不变条件,故选项正确；②若/一守是真命题，则「和||均为真命题，则『一定是假命题，故选项不正确；③“『，」工且"一5”，则一定有“”—•."）”，反之“「。•川”，3：./, 也可以满足”“。,即』L八的范围不唯一，“心心且f-T"是“"•「」”的充分不必要条件，故选项不正确；④当。-（）时，幂函数；丁在区间总门上单调递减，是正确的，幂函数在第一象限的单调性只和指数”有关，〃.：・。函数单调递增，】<（J函数单调递减.故选项正确．6【答案】B【解析】正项等比数列"，的前f项和为5, -％・，_],、；。，一_1aq3—TOC\o"1-5"\h\zi：8 1，I（ ），解得a=1,q=—,aU—q37 3 1 2-J a=-、1-q14._蛆42上3工_2!।「.7【答案】C【解析】：（x-1）（2x+1）0=x（2x+1）0-（2x+1）0,二项展开式3二i--广的通项为北।二.：f< ■,1二项展开式（3I『的通项为〔 ,11-尸=1。■」“，解得1」。，所以，展开式中」’■的系数为C 5©）10244什%.8【答案】C【解析】如图所示，直线・'.】•底I过点"。-I:',圆不•.1 7.」U的圆心坐标；I,直线n与曲线”有且仅有2个公共点，

设为。0),QI.Qi,则「1h「 "I,J—0 3 1—(J4直线,.丁门：।与曲线「二.•j相-3”相切时，A、或A-u(舍去)，直线'T-VI与曲线Jr有且「有且仅有」个公共点，9【答案】C【解析】；"一-引H，「ui_,- 「I5!I二；,所以“J所以此次数学考试成绩在如■分到1。5分之间的人数约为：门：川•；3”计.故选C.10【答案】C如图所示，设F'为椭圆的左焦点，连接.i厂，B厂,则四边形.厅.阳「是平行四边形，h号 ；/■'■叮I,.一』"取尸山.5•・•点尸到直线的距离不小于9・•・、：“：，解得」「,11【答案】Bvr ■jr ■!■50-【解析】对于函数m,令；［•・•・；二••・;二二/:,TOC\o"1-5"\h\z解得二一L::、: 「 /1,当：,।二.二）时，令；，（J,则—-；• 「；对于函数、门,），令”：:'、： '一'；.「.；，八，解得•匚二.二■, ,：・，・；•.・：.；・〃，当J：「「工）时，令力口，则” 「：——易得当函数，「门与.「.\:均在区间：，-」7。”」一一1单调递减时，广的最大值为——,4口的最小值为工，所以上。的最大值为二••二-12 4 12 312【答案】B，；.：7=:.….4'-'= 41一，令；‘［门,」，解得二（.）或: 2,•・当-2或：川时，门门・。；当一•）时，门口•。，•・门门在：」.二:上单调递增，在；Vii-i上单调递减，在（。.丁i上单调递增，4•・当二2时，函数fig取得极大值口1 ,e~当、口时，函数小以取得极小值C5当作出，门门的大致函数图象如图所示，4令"贝I当f口或心一时，关于汇的方程只有一个解；e~当，4时，关于二的方程”"-；有两个解；当:；一一时，关于丁的方程"，.：-’有三个解，・•:「一「门•I恰有四个零点，.--I 4•・关于『的方程用』），■：i•I"在HL—）上有一个解，在：..，：U：W上有一个解，<<' e~显然『口不是方程.，I—n的解，4•・关于】的方程,；..■|_。在1。.一）和1一"上各有一个解，se

4、164k、 …I4e2/•h()=-+1<0,解得k> +—-,e2 e4e2 e24、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13【答案】1IC或1Vli【解析】a+b=(1,0)或(-1,0),则a=(1,0)—(2,—1)=(—1,1)或a=(—1,0)—(2,—1)=(—3,1).14【答案】1-<1因为一1表示Lt.门与点。山连线斜率，x-11-0由图可得：当点L't.门在点B处时，它与点门,0)连线斜率最小为亡;I.Z~1所以一J，的取值范围为一丁).15【答案】8【解析】将四面体.11夬。置于长方体模型中，则长方体外接球半径为2,不妨设月B=/■, ， ,AC—.

记仃=:、' .'J' 、:二,2Q2+y2+z2)—4S=(x—)»+()—z»+(%—z»>0，即4S<32nS<8,当且仅当工一1一二时"”成立.16【答案】—连结「口、『」，可得'的".是边长为二的等边三角形，所以mro1川1可得直线的斜率■■: 直线户口的斜率为； 「，因此，直线尸』的方程为1、4、\1,直线广口的方程为J 、；•『，设Pl「设Pl「I，由《一户色门2），解得m=」y=一J3H因为圆《与直线.相切于点广，所以『।L，TOC\o"1-5"\h\z因此「.S1■.小 「93H故直线广」.的斜率A.hrIni、：，因此直线P.l.的方程为「 21，f 2代入椭圆方程। ［，消去〕.得女 旧］40,解得二-2或丫二4 72因为直线北I.交椭圆于।仁川：与Q点，设3口I，可得、;，三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1 nn17【答案】（1）S=；（2）T=—n2n—1n2n+1【解析（1）・.、 ,i.\ '：, ，:「、，・•・「|、 ，•八，,即个％ 、：〈①，I1一由题意得＜ 、♦。，①式两边同除以.\"£，得?一——，4-I・•・数列—是首项为一一 ，公差为2的等差数列，3目马、:■"MI，小—嘉二砺，斗打备．18【答案（1）J6;（2）\6.【解析（1）如图，在平面以"（方.内过点口作可厂的垂线分别交灯,和平;于外，工，连接北\，在平面一跖一内过点W作取的垂线交.！「于/V，连接S?，依题意易得，R."All"-＞】'«，、，/'，口五点共面，

因为平面所以二①,在V"中3 „ :八::不，因此'为线段6Q靠近（'的三等分点，由对称性知，，】/为线段"「靠近6的三等分点，因此北「"：，/1V।"，,'，代入①，得［.月 \。！［。\因此北「"：，（2（2）由（1）可知，t*「1，/）是平面.4仪.的一个法向量且牛；i\3.I.5，626uuurn.BC=0 （月）设平面。Be的法向量为〃，则\uur nn可以为设平面。Be的法向量为〃，2；3=工=交n2；3=工=交uuuruurOP-ncos〈OP,n〉=uur OP•n因为二面角,48「一4为锐角，故所求二面角,4门「一4的余弦值为:-.31619【答案（1）5；（2）分布列见解析，E（X）=5.【解析（1）设.1/表示事件“乘客.1/乘车等待时间小于20分钟”，A表示事件“乘客乘乘车等待时间小于二。分钟”，匚表示事件“乘客；，6乘车等待时间都小于21分钟”.由题意知，乘客？乘车等待时间小于R分钟的频率为：MU'I"）一"口"；音」口产，

故WUi的估计值为1I.、.乘客.4乘车等待时间小于」口分钟的频率为3「；・旧|“「下|：，川5「工吐I,故「'）的估计值为0.4.又一「 凸心小:一、； \故事件「的概率为;.（2）由（1）可知，乙站乘客乘车等待时间小于二U分钟的频率为0,斗，所以乙站乘客乘车等待时间小于2n分钟的概率为■.2、显然，的可能取值为0,1,2,3且X~B（3,5）,所以门'：h外片=所以门'：h外片=2）=窗（|卢|='一’【解析⑴一一,而—'又：；：、’「，得"cJ二，故椭圆匚的标准方程为二1I.6 2（2）由（1）知/」--：：；,uuuruuuruuuruuur•・•TF•PQ=0，故TF1PQ,11设「（-3,川），,•.|巧|二历:!，直线巧的斜率为一掰，当同一」时，直线的方程为丫-2,也符合方程「-：，门当"，-"时，直线/工，的斜率为।,直线『3的方程为■门、；m设/ij.」i,。设/ij.」i,。i 将直线i'Q的方程与椭圆「的方程联立，,当且仅当消去犯得16 ，即同T时，等号成立，i+1,uuu,T^f・•・/叫的最小值为因21【答案】（1） 1丁）；（2）证明见解析.【解析（1）一门['，」】「1，令। ，则，”Ui1,-11：- 。,所以;.S-1在HL+U上是增函数，又因为当■，.，1；-时，；；门>：，；当.、>-，.时，，,所以，当...■・n时，"⑺•。，「（.门.；〕，函数在区间（Q.上是增函数，不存在极值点；当u时，可E的值域为।；：.--，必存在；II使。,所以当「）时，不31 -。，£【：门单调递减；当‘一㈠--,一时，.“，门.”••"，，“门单调递增，所以，门门存在极小值点，综上可知实数"的取值范围是加「m.（2）由（1）知，.'Jli1）,即:，，所以n-；I：1 ::.L

由一匕得1 11.V.。，令■ 、:II：,显然,■.心I在区间HL+Ji上单调递减，又；;n又所以由「什，得"•二1,TOC\o"1-5"\h\z令建「7丫1：1''1'： 1-,।,匚,II। ' 1 1,当x>l时，斤'（工）>0,