简明航测原理

简明航测原理18.1.1共线方程18.1.1.1坐标系统(1)、像平面坐标系o-xy像平面坐标系是定义在像平面内的右手直角坐标系，用来表示像点在像平面内的位置。其坐标原点定义为像主点o，一般以航线方向的一对框标连线为x轴，记为o-xy。图3.1像平面坐标系o-xy(2)、像空间坐标系S-xyz像空间坐标系是表示点在像空间的位置的右手空间直角坐标系统。其坐标系原点定义在投影中心S，其x，y轴分别平行与像平面坐标系的相应轴，z轴与摄影方向线So重合，正方向按右手规则确定，向上为正。图3.2像空间坐标系S-xyz(3)、像空间辅助坐标系S-XYZ像空间坐标系用来表示像点在像方空间上的位置。该坐标系的原点在摄影中心S上，其主光轴So为z轴，向上为正；x，y轴分别平行与像平面坐标系（o–xy）的x，y轴且方向一致。图3.3像空间辅助坐标系S-XYZ(4)、摄影测量坐标系A-XpYpZp该坐标系的原点和坐标轴方向的选择根据实际讨论问题的不同而不同，但在一般情况下，原点选在某一摄影站或某一已知点上，坐标系横轴（X轴）大体与航线方向一致，竖坐标轴（Z轴）向上为正。(5)、物空间坐标系O-XtYtZt之前叙述的4种坐标系都是满足右手定则，然而地面测量坐标系满足左手定则的坐标系，该坐标系为，它的X轴的指向为正北，Z轴是以国家黄海高程基准为标准系统测量出的高程值。图3.4地面测量坐标系和地面摄影测量坐标系18.1.1.2航摄像片的方位元素航摄像片的内、外方位元素是建立物与像之间数学关系的重要基础。在航测中，将摄影瞬间摄影中心S、像片P与地面（物面）E的相关位置数据称为航摄像片的方位元素。依据作用不同，航摄像片的方位元素又分为内方位元素和外方位元素。(1)、内方位元素投影中心对像片的相对位置叫做像片的内方位，它们是：像片的主距f，像主点在像片标框坐标系中坐标x0，y0图3.6外方位元素(2)、空间直角坐标系旋转的基本关系像空间坐标与像空间辅助坐标之间的变换是正交变换，即一个坐标按照某种次序有规律的旋转三个角度即可变换为另一个原点的坐标系。假设像点α在像空间坐标系中的坐标为（x，y，-f），而同时像空间辅助坐标系中的坐标为（X，Y，Z），两者的正交关系为：式中R是一个3*3的正交矩阵，得到9个方向矩阵的元素为：18.1.1.3共线方程共线方程是描述像点a，投影中心S和对应地面点A三点共线的方程。图3.7图像点与相应地面上坐标关系假定，S为摄影中心点，主距为f，在地面摄影测量坐标系中，它的坐标为（XS,YS,ZS），物点A是坐标为（XA,YA,ZA）在地面摄影测量坐标系中的空间点，a是A在影像上的构像，它对应的像空间坐标系中的坐标为（x,y,f），像空间辅助坐标系的坐标为（X,Y,Z）。此时a、A、S三点位于一条直线上，像点的像空间辅助坐标（X,Y,Z）与地面摄影测量坐标（XA,YA,ZA）之间的关系如下：式中：λ为比例因子。则由像点的像空间坐标与像空间辅助坐标的关系可知，式中：ai,bi,ci（i1,2,3）为方向余弦分别是像空间辅助坐标系各轴与相应的像空间坐标系各轴夹角的余弦。像主点坐标为（x0,y0），带入（3.4）得就是常见的共线条件方程式，式中：x,y为像点的平面坐标；x0,y0,f为影像的内方位元素；XS,YS,ZS为摄站点的地面摄影测量坐标；XA,YA,ZA为物方点的地面摄影测量坐标。18.1.2相对定向18.1.2.1内定向内定向是数字摄影测量的第一步，这是因为数字化影像的像素位置是由它所在的行号I和列号J来确定。它是以“扫描坐标系”为准的，与像片本身的像坐标系o-x-y是不一致的，一般来说，内定向的目的就是确定扫描坐标系和像片坐标系以及数字影像可能存在的变形。因此，数字影像扫描方向应大致平行于像片的x轴，这对于后续处理时十分有利的。18.1.2.2相对定向共面条件下的相对定向不同摄站对同一地面地物摄取立体相对时，同名射线对对相交于地面点。像片在完成相对定向时同名射线对对相交，能够建立立体相对模型。射线S1a1，S2a2和摄影基线在同一平面内，三矢量共面，混合积为零。共面方程式的矩阵表达为：（2）连续像对相对定向在连续像对相对定向中，认为左方影像是水平的或者各方位元素是已知的，即式中X1,Y1,Z1为已知，，此时,右影像的3个角元素,以及与基线分量相关的2个角元素,是连续像对的相对定向元素。将式中按多元函数泰勒公式展开，得由于连续像对相对定向的解算公式中存在5个未知数，因此至少要求量测5对同名像点的像点坐标。当有多余观测值时，也将Q视为观测值，可以得到误差方程式：连续像对相对定向的计算机程序框图18.1.2.3绝对定向相对定向仅仅是还原了摄影时像片之间的相对位置，建立三维模型之间的相对位置是作为辅助空间坐标系的基准模型的选定的相对方向。还要把该模型空间中的点到地面的辅助坐标系统在摄影测量的坐标（X，Y，Z）的坐标求解出来。按照绝对定向的基本关系式求解模型点的地面摄影测量坐标。这种变换前后图形的几何形状相似，所以又称为空间相似变换。上式包括七个绝对定向元素，即模型比例尺的缩放系数,两坐标轴系的三个旋转角;坐标原点的平移量;。解析法绝对定向就是利用地面的已知控制点，根据绝对定向的关系式出发，来解求七个绝对定向元素。由于绝对定向公式是一个多元的非线性函数，引入七个绝对定向元素的初始值和改正数，使其线性化。将该式代入绝对定向的基本关系式，按照泰勒级数展开，取一次项得：其中，是用绝对定向元素的值代入绝对定向的基本关系式来求得的近似值。在考虑小角的情况下，绝对定向的基本关系可以表示为：对上式微分后代入，取小值一次项得：绝对定向的具体解算过程归纳为：确定待定参数的初始值，(2)计算控制点的地面摄影坐标系重心的坐标和重心化坐标；(3)计算控制点的空间辅助坐标系重心的坐标和重心化坐标；(4)计算常数项；(5)计算误差方程式系数；(6)逐点法化及法方程求解；(7)计算待定参数的新值：(8)判断是否小于给定的限值,若大于限值，将求得的所有未知参数的改正数加到近似值作为新的近似值，重复上述计算过程，逐步趋近，直到满足要求。18.1.3空三加密的原理解析空中三角测量是指利用摄影测量分析方法来确定在该地区的所有影像外方位元素。在传统的摄影测量，这是通过对点位进行测定来实现的，即根据影像的测量像点坐标和少量控制点大地坐标的，来求解未知点大地坐标，每个模型中已知点位不低于4个，然后用已知点解决外方位元素，所以也称解析空中三角测量为摄影测量加密。随着与摄影测量相关的遥感技术和电子计算机技术的不断进步，用摄影测量方法来测定点位的精度也有了显著的提升。其应用领域不断扩大。摄影测量方法加密点位坐标的意义在于：（1）不需要直接接触测定对象或地物，凡是影像中的对象，不受地面通视条、件限制，均可测定的其位置和几何形状；（2）可以实现大范围内点位测定的时效性，从而可节省大量的实测调查工作；（3）摄影测量平差计算时，加密内部区域精度均匀，且很少受区域大小的影响。18.1.4数字影像匹配18.1.4.1与核线相关利用空间成像的一些性质，在将二维相关转化为一维相关过程中，使得影像匹配的效率与可靠性都得到提高。利用同名核线的一维相关，能够节省大量搜索同名点的计算工作量。即以待相关的核线为中心，上下各取若干条相邻的核线，组成一个矩形目标区，进行计算。（1）基本概念核面：左、右摄影中心S和S’与某一地面点P所构成的平面．即点P与基线B构成的平面。核线：过某点P的核面与左、右影像的交线，分别称为左核线和右核平线。主核面：左、右像主点分别与基线构成的平面，分别称为左主核面和右主核面。主核线：左、右主核面分别与左、右影像平面的交线分别称为左主核线和右主核线。垂核面：由基线与像底点构成的核面，因为左、右影像的底点与摄影基线位于同一铅垂面内，所以，一个像对只有一个垂核面。垂核线：垂核面与左、右影像面的交线，分别称为左垂核线和右垂核线。核点：在计算机视觉领域被称为极点，是指摄影中心连线SS’延长线与左、右影像的交点，并分别称为左、右核点（极点）。核线（2）核线的基本性质可以归纳如下：①在倾斜影像上的所有核线相互不平行，旦交于核点（极点）。②在理想影像平面上，所有核线相互平行，不仅同一影像面上的核线平行，而且影像对上的相应的核线也平行，上下视差为零，这一特性对于立体观测是十分有用的。③左（右）影像上的某一点，其同名点必定在其右（左）影像上的同名核线上，这一特性是实现核线相关的基本依据。影像上的所有核线是互相不平行的，它们交于核点；但是，如果将核线投影到一对“理想像对”上，则在理想像对上的所有核线相互平行，如图所示。核线几何关系可以看出影像上的核线以及影像对之间的核线均相互平行，因此利用这一特性我们就有可能在相对水平像片上建立规则的格网，它的行就是核线，核线上像元素的灰度可由它对应的实际像片上的灰度求得。式中的外方位元素可以由单独像对相对定向求得，显然在理想影像像对上，v可视为常数，同时将属于外方位元素的项合并整理，得：其中：（3）核线影像生成在以上讨论的基础上，可得核线影像生成过程如下：①在内定向的基础上．按照单独像对相对定向的方法进行相对定向，求得五个相对定向元素。②根据相对定向的结果，将原始影像的四个角点投影到核线影像平面上，以确定核线影像的范围。③在确定某一行核线影像的坐标v之后，以等间隔Δ取一系列u值：Δ,2Δ,3Δ…按(a)式解求的一系列的像点坐标(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)…并内定向出这些点的原始影像坐标。④得到原始影像坐标后，并不一定处于某一个像素的整数位置上，需要进行重采样，将这些像点经重采样后的灰度直接赋子核线影像。18.1.4.2金字塔影像无人机航拍所产生的数据像幅小，数据量大，因此一般采用对影像进行多级重采样、切割分块、建立金字塔模型。金字塔影像是指：当信号中存在高频、中频、低频信号时，对于二维影像逐次进行低通滤波，为得到一个像素总级数逐渐变小的影像序列依次增大采样间隔，在这些影像对中相关，即对影像的分频道相关。将这些影像叠置起来颇像一座金字塔，因而称之为金字塔影像结构。是一种典型的分层数据结构形式，适合于栅格数据和影像数据的多分辨率组织，也是一种栅格数据或影像数据的有损压缩方法。在金字塔结构里，图像被分层表示。在金字塔结构的最顶层，存储最低分辨率的数据；随着金字塔层数的增加，数据的分辨率依次降低；在金字塔的底层，则存储能满足用户需要的最高分辨率的数据。每一层相当于降低分辨率的图像估计。影像金字塔有多种结构，其中最简单是M-金字塔结构。影像金字塔结构18.1.4.3特征匹配影像匹配算法，都在一个特定点的窗口中心（或区域）内，基于影像的灰度分布为影像匹配的基础，故他们被称为灰度匹配，在很多情况下，影像匹配主要是用于配准那些特征点、线或面。为有别于基于灰度的匹配，这一类算法被称为特征匹配或基于特征的匹配。无论是基于灰度还是基于特征的匹配，大多为单点或局部匹配，他们不考虑与相邻点（或要素）之间的相关性。例如，对于地形而言，一般情况下，地形可认为是连续的。因此，邻近点的高程就有很强的相关性。如何考虑它们之间的相关性，生成最佳的整体匹配的效果，这是提高影像匹配可靠性，匹配结果之间一致性的重要途径。根据所选的特征，基于特征的匹配可分为点、线、面的特征匹配。一般来说，特征匹配分三步：（1）特征提取（2）利用一组参数对特征作描述（3）利用参数进行特征匹配多数基于特征的匹配方法也使用金字塔影像结构，将上一层影像的特征匹配结果作为初始值传到下一层，并考虑对粗差的剔除或改正。最后以特征匹配结果为“控制”对其他点进行匹配或者内插，由于基于特征的匹配是以整像素精度定位，因而对需要高精度的情况，将其结果作为近似值，再利用最小二乘影像匹配进行精度匹配，取得“子像素”级的精度。18.1.4.4基于特征的影像匹配的策略（1）建立金字塔分层影像许多特征匹配方案应用了金字塔分层影像数据，也只用原始影像的方案（可以看作只有一层的“金字塔”影像）金字塔影像的建立可按l×l像元变成一个像元逐层的形式，一般取l=2的较多，但取l=3时上一层的结果传递到下一层时正好与3×3个像元的中心像元相对应。而l=2时上一层的结果与下一层2×2个像元的公共角点相对应。将原始影像定义为为第零层，则第一层影像的每一像素为零层的个像素，第k层影像的每一像素为零层的个像素，金字塔影像的层数可由两种方法确定。①由影像匹配窗口大小确定金字塔影像层数当影像的先验视差未知时，可建立一个较完整的金字塔，其塔尖（最上一层）的像元个数在列方向上介于匹配窗口像素列数的1倍与l倍之间。若影像长为n个像素，匹配窗口长为w个像素，则金字塔影像的层数k满足当原始影像列方向较长时，则以行方向为准来确定金字塔的层数。②由先验视差确定金字塔影像层数，若已知或可估计出影像的最大的视差为，也可由人工测量一个点计算出其视差并进一步估计出最大左右视差。若在最上层影像匹配时左右搜索S个像素，则金字塔影像的层数k满足其中为像素大小。（2）特征提取通过目标的特征提取算法做图像的特征提取，并可以根据每个特征点的特征点的兴趣值可以被分为几个等级，匹配时可按等级次序依次进行处理。用于不同的目的，提取特征点应该是不同的，当用于计算相对定向参数影像的特征匹配的目的时，提取梯度应主要方向和y轴接近一致的特性，对一维影像匹配，提取梯度的方向应是x轴的一致特征。特征的方向还可用于匹配的辅助判别，特征点的分布可有两种方式：①随机分布特征提取按顺序进行，并控制特征点的密度。按一定比例在整幅影像中选取特征点，并将极值点周围的其他点去掉，使得选取的点集中在信息丰富的区域，而信息贫乏区域则没有点或者点很少。②均匀分布影像被划分为规则矩形网格，每一栅格内提取一个或几个特征点。当匹配结果被用于影像参数求解时（如相对定向），栅格边长较大，就需要根据所需的点来确定。当用f建立数字表面模型中，特征提取网格时，可以用相应的图片网格DTM。此方法的选择点均匀分布整个影像，但如果在每个网格特征点提取根据兴趣价值最大的原则，当栅格完全落在信息贫乏区域时，所提取的特征并不是真的，如果阈值条件也用于特征提取，则不会有网格中的特征点。3）特征点匹配①二维匹配与一维匹配在影像方位参数未知的条件下，必须进行二维的影像匹配，此时匹配的主要目的是利用明显点对解求影像的方位参数，以建立立体影像模型，形成核线影像以便进行一维匹配。二维匹配的搜索范围在最上一层影像由先验视差来确定，在其后各层，只需要小范围内搜索。在影像方位已知的条件下，可直接进行带核线约束条件的一维匹配，但在上下方向可能各搜索一个像素，也可以沿核线重采样，形成核线影像，进行一维影像匹配，但当影像方位参数不精确或采用核线的概念时，也可能有必要再上下方向各搜索一个像素。②匹配的备选点可采用如下方法选择：Ⅰ对右影像也进行相应的特征提取，选择预测区域内的特征点作为可能的匹配点。Ⅱ右影像不进行特征提取，将预测区内的特征点作为可能的匹配点。Ⅲ右影像不进行特征提取，但也不将所有的点作为可能的匹配点，而用“爬山法”搜索，动态地确定备选点。爬山法主要用于二维匹配，对一维匹配仅用在搜索区边沿取得匹配测度最大的情况。③特征点的提取与匹配的顺序Ⅰ“深度优先”对最上一层左影像每提到一个特征点，即对其进行匹配。然后将结果换算到下一层影像进行匹配，直至原始影像，并以该匹配好的点对为中心，将其邻域的点进行匹配，将结果换算到原始影像，重复前一点的过程，直至第一层最先匹配的点的邻域的点处理完，再回朔到第二层，如此进行，这种处理顺序类似人工智能中的深度优先搜索法。Ⅱ“广度优先”这是一种按层处理的方法，即首先对最上一层影像进行特征提取与匹配，将全部的点处理完以后，将结果换算到下一层，并加密，进行匹配。重复以上过程直至原始影像。这种处理顺序类似人工智能中的广度优先搜索法。④匹配准则除了使用一个相似性度量外，一般也可以考虑的特征的方向，周围已匹配点是结果的，如核线已匹配的特征点的边界线被传递给目前的核线的边缘上的相同点。由于特征点的信号对噪声比要大一些，因此相关系数应该更大些，所以可以设置一个阈值，当相关系数高于阈值时，只考虑匹配点，否则，需要进一步使用其他的条件。经验表明，特征的相关系数的一般是大到0.9以上的。⑤粗差的剔除在小范围内利用倾斜平面或二次曲面为模型进行视差拟合，将残差大于某一阈值的点剔除。也可以使用最小二乘法，最大似然估计法来求解参数的平面或曲面拟合。在使用最大似然估计时，视差的分布可假设服从一种长尾分布，其合理的假设可能是粗差模型。18.1.4.5特征提取特征提取是基于影像分析和影像匹配的，也是单幅影像处理的最重要任务。主要是用特征提取的各种算子来进行。特征可分为点、线、面状特征。因此特征提取算子由点特征算子，线特征算子和通过区域分割来获取的面状特征算子组成。（1）点特征提取算子①Moravec算子Moravec算子是1977年提出利用灰度方差提取点特征的算子，它的步骤为：为计算窗口图像内各点的兴趣值IV(interestvalue)。在以像素(c，r)中心的W×W的图像窗口中(如5×5的窗口)，计算四个方向相邻像素灰度差的平方和：其中k=INT(w/2)。取其中最小者作为该像素（c,r）的兴趣值：Moravec算子给定经验阈值，将兴趣值大于该阈值的点(即兴趣值计算窗口的中心点)作为候选点。阈值的选择应以候选点中包括所需要的特征点，而又不含过多的非特征点为原则。选取候选点中的极值点作为特征点。在一定大小的窗口内(例如5×5，7×7或9×9等)，将候选点中兴趣位不是最大者均去掉，仅留下一个兴趣值最大者，该像素即为一个特征点。综上所述，Moravec算子是在四个主要方向上，选择具有最大最小灰度方差的点作为特征点。②Forstner算子该算子通过计算各像素的Robert梯度和像素（c,r）为中心的窗口（如5×5）的灰度协方差矩阵，在影像中寻找具有尽可能小而接近圆的误差椭圆的点作为特征点。其步骤为：计算各像素的Robert梯度Forstner算子计算l×l（如5×5或更大）窗口中灰度的协方差矩阵:计算兴趣值q与w其中，DetN代表矩阵N的行列式；trN代表矩阵N的迹。可以证明，q即像素（c,r）对应误差椭圆的圆度。其中，a与b为椭圆的长、短半轴。如果a,b中任意一个为零，则q=0，表明该点可能位于边缘上；如果a=b，则q=1，表明为一个圆。w为该像元的权。确定待选点如果兴趣值大于给定的阈值，则该像元为待选点。阈值为经验值，可参考下列值：选取极值点以权值w为依据选择极值点，即在一个适当窗口中选择最大的待选点，而去掉其余的点。由于Forstner算子比较复杂，可首先用一简单的差分算子提取初选点，然后采用Forstner算子在3×3窗口计算兴趣值，并选择备选点最后提取的极值为特征点。Moravec算子较简单，而Forstner算子较为复杂，但它能给出特征点的类型且精度也较高。（2）线特征提取算子影像边缘或线有变化的区域被称为线特征。影像中局部区域特征有变化的区域间的分界线是边缘，或者是宽度很小的有相同的影像特征的边缘对。这样距离很小的一对边缘构成一条线，因此线特征提取算子也称边缘检测算子。由于各种差分算子对于噪声比较敏感，因此一般先做低通滤波，排除噪声的影响，再利用差分算子提取边缘。①Roberts梯度算子Roberts梯度定义为如果仅对某一方向的边缘感兴趣，可以用下图所示的方向差分算子进行边缘检测。②拉普拉斯算子通常将上式乘以-1，拉普拉斯算子即成为原灰度函数与矩阵的卷积。然后取其符号变化的点，边缘点为通过零的点，因此通常也称其为零交叉点。（3）Forstner定位算子Forstner定位算子是摄影测量界著名的定位算子，其特点就是速度快，精度高。对角点定位分最佳窗口选择与在最佳窗口内加权重心化两步进行。最佳窗口由Forstner特征提取算子确定。以原点到窗口内边缘直线的距离为观测值，梯度模之平方为权，在点（x，y）处可列误差方程：由最小二乘法可解得角点坐标，其结果即窗口内像元的加权重心。该定位算子有很多优点，但定位精度仍不是很理想，当窗口为5×5像素时，对理想条件下的角点定位精度为0.6像元。18.1.5空中三角测量平差方法空中三角测量按平差时所采用的数学模型的不同，可分为航带法空中三角测量、独立模型空中三角测量和光束法空中三角测量三类。对于航带法其所解求的未知数少，计算方便快速，但是不如光束法和独立模型法严密，因此主要用于为光束法提供初始值和低精度的坐标加密；独立模型法理论较严密，精度较高，未知数，计算量和计算速度也是位于光束法和航带法之间；光束法理论最为严密，加密成果的精度较高，但需要解求的未知数多，计算量大，计算速度较慢。但是对于当前高精度空中三角测量的加密普遍都是采用光束法区域网平差。18.1.5.1航带网法空三测量（1）基本思想航带网法空中三角测量的研究对象为一条航带，首先，按连续法对立体相对建立单个模型，再将单个模型连接成航带模型，以构成航带自由网，最后将航带模型视为一个单模型进行航带网的绝对定向。在单个的模型构成航带模型的过程中，不可避免的存在有误差，它也受到误差积累，导致航带模型的非线性变形，因此，航带模型经过绝对定向后，还要进行非线性修正，最终求出加密点的地面坐标。每个单模型是整体航带模型中不可分割的一部分，要求将模型中的所有摄站点，模型点的坐标被包括在完整的全航带统一坐标系中。（2）作业流程航带法空中三角测量的主要工作流程为：航带法空中三角测量的主要工作流程（3）数学模型①航带模型的相对定向相对定向后，像空间辅助坐标中的三维模型是平行的。但坐标原点和比例尺不相同，因此，相邻模型之间的公共具有以下关系：模型连接①、②表示模型的编号，模型①中的2、4、6点与模型②中的1、3、5点事同名点，假设前后两个模型的比例尺是一致的，则点1在模型②中的高程与点2在模型①中的高程有如下关系：如果前后两个模型的比例尺不一致则：，其比例尺的归化系数为：，式中：Z2为模型①中2的坐标点；为模型②中点1的坐标；在模型①中求得的相对定向元素。为了提高模型连接的精度，模型不利吃归化系数k是取公共点2、4、6上求得的各k值的平均值，即求得模型比例尺归化系数以后，在后一模型中，每一模型点的空间辅助坐标以及基线分量Bx、By、Bz均乘以归化系数k，就可以获得与前一模型比例尺一致的坐标。由此可见模型连接的实质就是求出相邻模型之间的比例尺归化系数k。②航带模型的绝对定向航带模型的绝对定向是指将航带模型在航带辅助空间坐标系中的坐标（U、V、W）纳入到地面摄影测量坐标系中，取得模型点的地面摄影测量坐标值（X、Y、Z）。航带模型的绝对定向，吧航带模型视为一个整体，采用与单个模型定向完全相同的方法。其主要流程是：将控制点的地面坐标转换为地面摄影测量坐标；计算重心坐标和重心化坐标；建立绝对定向的误差方程，并进行法化求解，解算出绝对定向元素并把绝对定向元素再带入空间相似变换式，解算出所有模型点经过绝对定向后的地面摄影测量坐标。③航带模型的非线性改正航带网绝对定向后，所构成的航带模型人存在着残余系统误差和偶然误差在模型连接中传递累计的影响，使航带网产生模型的扭曲，所以绝对定向后的模型坐标只是地面摄影测量坐标的概略值。为此，还需要利用控制点的地面坐标和地面摄测坐标概略值之间的不符关系，进行网的非线性变形的改正。实际上航带模型的变形是非常复杂的，不能用一个简单的数学公式精确地表达出来，通常采用多项式曲面来逼近复杂的变形曲面，通过最小二乘法拟合，使控制点处拟合曲面上的变形值与实际相差最小。通常采用的多项式有两种形式：一种是对X、Y、Z坐标分别列出多项式；另一种是平面坐标采用正形变换多项式，而高程则采用一般多项式。以三次非完全多项式为例，非线性变形的改正公式为：对于常规的非完全三次多项式共有21个待定参数，必须至少有7个平面高程控制点才能解决问题。在控制点数量较少或航线长度较短时，一般可采用二次多项式，此时只需要把公式中所含的三次项略去即可，此时共有15个待定参数，必须至少有5个平面高程控制点才能解决问题。具体做法是：由于控制点上和相应控制点上重心化地面摄影测量坐标不符，将不符的值带入公式中求出待定参数；其次利用所求得的和待定点的重心化摄测坐标，带入公式，即可求得待定点