全国高中数学联赛模拟试题

aa全国高数学联赛拟试题第一一、择(共36分)1.在复面，零数z，z在以z=i对的为心1为径圆，

1

2

的实π部为，argz＝，z＝()6A.－

33＋i22

B.

33－i22

33C.－＋i22

33D.－2212.已知数f(x)＝log(ax－x)[1，2]上恒，实a取范是)21531531A.(，)B.(，＋C.(，∪(，＋∞)D.(，∞)28228223.已知曲过M(－2，4)，4)，的个点F(1，0)，另个点F的轨方是()(x(y－4)A.＋＝1(y或＝1(y≠0)2516(x(y－4)B.＋＝1(x或＝1(y≠0)1625(x(y－1)C.＋＝1(y或＝1(x≠0)2516(x(y－1)D.＋＝1(x或＝1(x≠0)16254.已知实a，b满足a＋b，M1＋a＋1＋2b整部是()A.1B.2C.3D.45.一条直大宽为40米，条行道穿这街并街成定角，行横长为50，大边结部宽为15米则行道宽()A.9米B.10C.12米米6.一条路有m个站为适应运要增n(n＞1)车结果运票加58种注从站乙和乙到站要种同车)那原车的数为A.12B.13C.14D.15()二、空(共54分)7.长方ABCD长AB是BC的23，它成底正三柱使AD与BC重合折痕EF，GH分交先方对线AC于M，折截AMN与面AFH所成的角_____.8.在△中是A的对满a＋b＝2c角的大是____.

666366639.从盛a升(＞1)酒的器倒1升，后水满在出升合液又加填，此续去则n操后液浓为_________________.已知数f(x)和g(x)的定义域为负数，任的≥0规f(x)*g(x)min{f(x)f(x)＝3＝2x＋5f(x)*g(x)最值_________.从1到100的然中次取不的个它们的和于100可有______种不的法若实a＞0满a＋a＝2的a值属于间①(03)23)3，＋∞)；④(0，2).其正的_________________.三、答(共计60分(20分求：过方中的意面面不于方一侧的.(20分直Ax＋C＝0(ABC≠0)椭bx＋ay＝aaba＋b标原，OP⊥OQ，证＝.c＋B

相交P和Q两，O为坐(20分某建场有货、装和电三经部共190名货，算全场日业(日出品收的金为60万元依体，部品每1万元营额要货人及万元业所利情如所，场打算日业分给个营，时当排部营员数若场量日总利为c万，19≤c，已商分给营的业均整万，问那商如样配业给个？部别排少营员部门每万营额要货人每万营额得润(万百货50.3服装40.5家电20.2

an3an3nk第二一(50分)形ABCD的边AD＝λ·AB，以AB为径在形作圆在圆任不于A、B的一P连PC、PD交AB于、F，AE＋BF＝AB，正数λ的.二、(50分若a∈R

(i＝，，…，，＝

n

a

i

，且2≤n∈N，证：ik2Skk

.三、(50分)无穷列c}由列则义c＝|1－|1－2c||，而≤c≤1(1)明仅c是有数，列某项始为期列(2)在少不的值数列某之以为期关每T＝2

一、择1.A

全高数联模试(一)参考案第一

y2如图示设数z对应点，

1π31|OZ|＝2sin＝1，∴z＝＋i622

0

Z

x再设＝x，y∈R)由|－i|＝1得＋(y－1)＝1……①∵(

31－＋yi)实等022∴3x＋y＝0……②联立②得y2

或

x0y0

(舍故z＝－2.C

33＋i221设g(x)－x＋，一g(x)＞0得21x－211a＞＝－＋x2xx11当1≤x≤2时(＋)＝2xx2111从而a＞，此提，知数g(x)＝ax－x＋的对称x在区间1，2]的222a边，从而g(x)在1上增数当a＞1时，在1，2]上是函，13f(1)＝log(a－1＋)，a＞221当＜a＜1时，f(x)在1，2]上减数有2

MM115f(2)＝log(4a－2)＞0＜a228153综上＜a＜或＞2823.A易知MF|＝|NF|＝5而||MF|－|MF|－|NF||即5－|MF||＝|5－|NF||当5－|MF||，|MF＝|NF|时点F的迹线MN的中垂线其方为x＝1(y≠0)当5－|MF|＝|NF－5时，|MF＝10时点的迹以M、N为点长(x(y－4)轴长10的椭圆其程＋＝1(y≠0)25164.B一方，＞1＋0＋1＋0＝2另一面M＜1＋2a＋a＋1＋2b＋b＝1＋a＋1＋b＝2＋(a＋b)＝3因此2＜M＜3

155.C

405050如图人横的积＝15×14＝600∴S＝50x＝600x＝1215x6.C新增n个站间要P种票新的n个站原的个站间要2mn种车，而P＋2mn＝58，即－1＝58注意n和n－1差不上数而58只分为1×58和2×29两种情又＞1因此n，n－1＋2m＝29或n＝29，n－1＋2m，＝58－1＝1只有一有足意解n＝2，m＝14二、空π7.；6折叠，旧AF＝FH＝HB(或HA折叠后点和B重)AM＝MN＝NC且们的度有，

DEGCEGDNN旧等折前长对线AC由直线段成折段A、M、N点原先共变了三点成角.

AFHB(1)

M

F

PH设AD＝a则AB＝23a，(1)为叠

(2)前的方，AC＝13a，AM＝MN＝

133a2aa＝FH＝HB＝a，MF，HN.3333

eq\o\ac(△,S)aeq\o\ac(△,S)a123233设平与面的夹为θ(图2))＝×a×a×sin60ºa.23在eq\o\ac(△,Rt)NHA中AN＝

(

2324aa)＋(a)＝333取AN的点，AM＝MNMP⊥AN在eq\o\ac(△,Rt)MPA中MP＝a4a2a∴S×＝233

(

132a)－(a)＝a33S3π∴cosθ＝，θ＝S26π8.；3a＋ba＋b－a＋b－c2a＋b∵a＋b＝2c，＝＝＝2ab2ab4ab∴a－4abcosθ＋b＝0aa即(－(4cosC)＋1＝0(∵b≠0)bba因为是实，此4cosC＞0且△b1π解得cosC≥，因此C≤2319.(1－)；a1开始度1操一后液度a＝1－，a1设操n后溶浓为，则操n＋1次后液浓为a＝a(1)11∴}首、比为－的比数，a＝aq＝(1－)aa

10.23－1；∵x≥0令3－x2x＋5解0≤x≤4－23因此f(x)*g(x)＝

04x4

6363∵3－x单递，当x≥4－23时f(x)*g(x)≤f(4－23)*g(4－23)＝3－23)3－1当0≤x＜4－23时，2x单递，当x∈[0，4－23)，f(x)*g(x)＜2·(43＋5)＝23－1综上知f(x)*g(x)最值23－111.2500以1被数则＋100＞100有1种法以2被数则＋100＞100，2＋99＞100有种取法依次得被数n(n∈N≤50)时有n种法，但51为加时要除面取的形只取52，53，…，100，49取法同理被数52时，有48种取法，依次得当加为n(n∈N，51≤n≤100)，别－n取，因此不的法有1＋2＋3＋…＋50)＋(49＋48…＋1)＝250012.④a＋11∵a＋1＋1)(a－a＋1)＝(a－a＋a)＝2(a)，(a≠0)aa∵a＞0且a≠1，∴＋1，∴a＞3即＞3又a－a＋a＝2，∴

21＋1＋＞2aa∴a＜2即a＜2，合知应③三、13．显所截是个心称凸边，是个边或边.假如面一四形那它定有到方的一对，面不于组对中一，题立假如面一六形么它一定到正体六面方体展在个面图设界面周为l正体棱为a，则l≥|AB|＝(3a)＋(3a)＝32aa由于方的心内球球，此面含半为的，2从而1a32S≥la＞a224

Ax＋By14．Ax＋By＋C＝0形1－，入圆方，CAx＋Bybx＋ay＝ab(－)C

整理：bB－aC)y＋2ABabxy＋(aA－bC)x＝0当x＝0时，显立当x≠0时，除x

得：yy(abB－aC)(＋2ABab()＋(abA－bC)xx该方的根，OQ的率abA－bCaba＋b∵OP⊥OQ，此＝，＝abB－aCcA＋B15．分给货服、电业分为，y，z(万元，(x，y，z正数，y600.3x0.5y1919.7

①②③④

由①②得

yxx3xx因此c＝0.3＋0.5(35)＋0.2(25＝22.5－0.35x22代入得8≤x，x，y必正数

xy23或

xy20或

80zz2z60第二一、图过P点作PG⊥AB，垂足G，失样，AB＝2则＝2再设PG，∠PDA＝α，PCB＝β，则AE＝AB－BE＝2－2λtanβBF＝AB－AF＝2－2λtanα∵(2λ＋h)tanαλ＋h)tanβ＝22∴tanα＋tanβ＝……①2λ＋h又(λ＋h)tanα(2λβ＝hh∴tanαtanβ＝……②(2λ＋h)

DCAFGEBP∵＋BF＝(2－2λtan＋(2－2λtan＝AB∴8－8λ(tanβ)＋4λ(tanα＋tanβ)＝4即(tanα＋tanβ)－2tanαtanβ－2λ(tanα＋tanβ)将①②入上，4λh4－＋1＝0(2λ＋h)2λ＋4

∴h(1－2λ)＝0∵h≠0∴－2＝0即λ＝

22解法：如图不一性设AB＝2，则AD＝2λ，AF＝x，BE，PGGEPGGE因为eq\o\ac(△,△)，因＝，即＝BCBE2λyPG·y因此GE＝2λPG·x同理GF＝2λ

……①……②PG①＋②得EF＝(x＋y)2λ2λ(2－x－y)即PG＝＝……x＋yx＋yPG·y2－x12－y由①③：＝＝·y·＝·y2λx＋y2λx＋yPG·x2－x－yGF＝＝·x2λx＋y2y∴BG＝GE＋y＝…x＋y同理AG

2xx＋y

………………⑤又PG＝AG·BG，合④得2－x4xy4λ(＝x＋y(x＋y)化简：(2－y)＝xy………………⑥又∵AE＋BF＝AB∴(2－x)＋(2＝4即4－4(x＋y)＋x＋y＝0∴2－2(x＋y)＋(x＋y)＝2xy……………⑦将⑥入得4－4(x＋y)＋(x＋y)＝2λ－x－y)即(2－xλ(2－x∵x＋y≠2，λ＝1∴λ＝二、柯不式得

22(S－a)≤(n－1)(

a

)kk

knnnnknnnn3kkSk

k

(S)2(S)k(k)k(n3(nk

3ak

22a2)3a2kkkkkkknn(n2k3即k

k

3(nkkkk2(n

(3n2kk2(n

k

N)则kkk

(3n2)2kkk2(n

k

k原不式证三、知题的推系即c＝

1若02122c若2

…………①p(1)为有数即c＝，其(，q)＝1，q