1999-数一真题、标准答案及解析

1999年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题lim⎛1

1 ⎞ .x0⎜

xtanx⎟⎝ ⎠1【答】31】

lim⎛1

1 ⎞limtanxxlimtanxxx0⎜x2

xtanx

x0

x2tanx

x0 x3⎝ ⎠x0x0

sec2x13x2tan2x3x22】

lim⎛1

131 ⎞limsinxxcosxlimsinxxcosxx0⎜x2

xtanx

x0

x2sinx

x0 x3⎝ ⎠limcosxcosxxsinxx0

3x2limsinx1x03x 3d x 2x0sinxtt .【答】【详解】

sinx2.

dxsinxt2txtud0inu2udx0 dxxdxsinu2dudx0sinx2故本题应填sinx2(3)y''4ye2x的通解为 .【答】

yCe2x⎛C1x⎞e2x其中CC为任意常数.1 ⎜2 4⎟ 1 2⎝ ⎠【详解】 特征方程为：240,解得2,21 2y''4y0yCe2xCe2xfxe2xa2为特征方程1 1 2的单根，因此原方程的特解可设为y*Axe2x,代入原方程可求得A1，4故所求通解为

yyy*Ce2xCe2x1xe2x故本题应填

1 1 2 4yCe2x⎛C1x⎞e2x,1 ⎜2 4⎟⎝ ⎠设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 .n˛【答】

n,0,…,0【详解】 因为1

1 … 1

n

1 … 1EA

1

1n

1… 1# # # # # # # #1 1 …1 1

11

1

1n0 … 0# # # #0 0 … Ann0（n1重）n˛n0,…0.B和CABCPAPBPC1,2PABC1

9,则PA.16【答】 .4【详解】 根据加法公式有PABCPAPBPCPACPABPBCPABC1B和CABCPAPBPC

,因此有2PABPACPBCP2A,PABCP0,PABC3PA3P2A9163 1解得 PA

,PA4 41 1又根据题设

PA 2

PA4二、选择题fxFx是其原函数，则fxFx必是偶函数.fxFx必是奇函数.fxFx必是周期函数.fxFx必是单调增函数.【】【答】 应选（A）x【详解】 fx的原函数Fx可以表示为Fx0ftdtC,于是x xFx0 ftdtCut0fuduC.fxfufu，从而有即 Fx为偶函数.

Fx0xx0xx

fuCftCFx故（）为正确选项.至于（BC（）可分别举反例如下：fxx2Fx1x31不是奇函数，可排除（B；3fxs2xFx1x1sin2x不是周期函数，可排除（C；2 4fxx在区间Fx1x2在区间内非2单调增函数，可排除（D）.⎪⎧1cosx,x0⎪设fx⎨ x 其中gx是有界函数，则fx在x0处⎩x2gx,x0（A）极限不存在. （B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导 （D）可导.【】【答】 应选（D）【详解】因为f'00limfxf0lim1cosx0,x0

xfxf0

x0

3x2x2gxf'00lim lim limgxx0,x0

x0

x x0fxx0fxx0处可导，故正确选项为(D).⎧⎨(3)fx⎨

x,0x121

，Sx2

ancosx,x,⎪22x,⎩ ⎝ 1⎝ 1

x1

n1⎛ 5⎞

20fxosdx,n,,,…,S⎜2⎟等于1(A)2

(B) (C)312 41

(D)34【】【答】 应选（C）.fx从0,12）延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有S⎛5⎞S⎛21⎞S⎛1⎞⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠f⎛10⎞f⎛10⎞⎛1⎞

⎜2 ⎟ ⎜2 ⎟S⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝2⎠3.4AmnB是nm矩阵，则mnAB0

2mnAB0（C当nm时必有行列式AB0 （当nm时必有行列式AB0【】【答】 应选（B）.【详解】 因为AB为m阶方阵，且rBin⎣rA,rB⎦in,n当mn时，由上式可知，rABnm,即AB不是满秩的，故有行列式AB0.因此，正确选项为（B）.X和YN0,1N，则（A）PXY1.2

(B)PXY11.2（C）PXY1.2【答】 应选（B）.

PXY11.2【】【详解】 根据正态分布的性质，服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布.因此XY~N1,2,XY~N1,21利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为2

B）为正确选项.yyxzzxzxfxyFxyz0f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz.dx【详解】分别在zxfxy和Fx,y,z0的两端对x求导，得⎧dz

fx⎛1dy⎞f'⎪dx

⎜ dx⎟⎨ ⎝ ⎠⎪F'xF'ydy

'dz0⎩整理后得

Fzdx dx⎧xf'dydz

fxf'⎪ dx dx⎨ dy dz⎪F'y F'

F'x⎩解此方程组，得

dx dxdz

fxf'F'yxf'F'

,F'yxf'F'z0四、求I

dx F'yxf'F'zexsinybxydxexosyaxdy,a,b为正常数，L为从点axx2A2a,0沿曲线y 到点O0,0axx2【详解】添加从点O0,0沿y0到点A2a,0的有向直线段L1,则IL

⎣exnybxy⎦xexsyxy11L11利用格林公式，前一积分

⎣exnybxy⎦xexsyxyI⎛QP

badxdy1 ⎜

y⎟dxdyD⎝ ⎠ Da2ba2其中D为LL1所围成的半圆域，后一积分选择x为参数，得L1:⎨y⎧xx,0⎨y⎩可直接积分I2

2abxdx2a2b0故 III⎛2⎞a2ba3.01 2 ⎜2 ⎟ 2⎝ ⎠五、设函数yxx0二阶可导且y'x0y0yyx上任意一点PxyxxS1区间0xyyx为曲边的曲边梯形面积记为S22S1S2恒为1，求此曲线yyx的方程.【详解】 曲线yyx上点Px,y处的切线方程为Yyxy'xXx⎛ y ⎞ 'y'它与x轴的交点为⎜x ,0⎟由于yx0,y0因此yxx0y'⎝ ⎠1 ⎛ y⎞ y2⎝ 于是S12yx⎜xy'⎟2y'.⎝ x又 S20ytdtx

y2 x根据题设 2S1S21，有

2y'0ytdt并且 y'01，两边对x求导并化简得y'y'2这是可降阶得二阶常微分方程，令ypdpp2，分离变量得dy

py'，则上述方程可化为dpp ydy解得pC1y，即

dxC1y,从而有

yCexC1 y0y'01

C

0,1 2故所求曲线得方程为

yex.x0x2nxx2.【详解1】fxx2nxx2.又

易知f10f'x2xlnxx21,f'0xfx2lnx12x2

1,f''120x2fxx3可见，当0x1fx当1xfx因此，有当1x时，fxf20f'0f'x是单调增函数推知，当0x1f'x当1x时，f'xfxf00x，即证之：x0x2nxx2.【详解2】x0x2nxx2等价于当0x1时，lnxx1;当1x时，lnxx1;于是令x1

fxlnxx1x1

x1则 f'x1 2 22

x21

20x0xf0

x1

xx1当0x1fx0，当1xfx0x0时，有x2fxx2nxx2,即当 x0时，x2nxx2.30m,抓斗400N500N2000N3m/s,在提升过程中，20N/s说明：①1NmNsJ【详解1】建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功WW1W2W3其中W1是克服抓斗自重所作的功；W2是克服缆绳重力作的功；W3为提出污泥所作的功.由题意知W14003012000.xxdx5030xdx,30从而 20500xdx22500.30在时间间隔ttdt3200020tdt.30将污泥从井底提升至井口共需时间310

10，所以30320002tdt57000.因此，共需作功W12000225005700091500J【详解2】作x轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为W，当抓斗运动到x处时，作用力fx1

包括抓斗的自重400N,缆绳的重力5030xN

，污泥的重力20003于是

x20N，即fx4005030x200020x3900170x,3 3W30⎛00xx0x5x230000J0⎜ 3 ⎟ 3 0⎝ ⎠222zSxy21PxyzS,SP处的切平面，z2 2x,y,z为点O0,0,0到平面的距离，求z dS.Sx,y,zFxyzx2y2z2设X,YZ为上任意一点，则的方程为2 2x y F'XxF'YyF'Zzx y xX yY即从而知

zZ2 2AxByCzA2B2C2AxByCzA2B2C2

x2y2

1z2⎞2⎜4 4 ⎟这里 A

x,B2

,Cz,⎛

⎝ ⎠y2⎞由曲面方程知

z1⎜22⎟,于是zx

⎝ ⎠21⎜2221⎜22⎛x2 y2⎝⎠21⎜22⎛x2 y2⎝⎠y

y ,因此dS

d d11⎜x⎟⎜⎛z⎛z⎝ ⎝ 4x2y221⎜22⎛x2 y2⎝⎠x2yx2y24 4z2dS Sx,y,z S14x2y2d12

24r2rdr432

40 000九、设an4tannxdx,1n（1）求 nn2的值；nn1an（2）试证：对任意的常数级数收敛nn1n【详解】（1）因为1 1 1aa 4tannx1tan2xdx 4tannxsec2n n n2

n0

n0tnxt11tnt 1 n0n又由部分和数列n

nn1nS1aannn

1 11,i1i

i i2

i1

ii1 n1n有 limSnn1n因此 nn2nn1（2）先估计an的值，因为 an4tannxdxtanxt

t dt1tndt 1,2 n10 01t 2 n1

n1所以

nn

1,n1 1由11知

1收敛nn1nan从而 也收敛.nn1n⎡aA⎢

1 c⎤b 3⎥AA有一个特征值，⎢ ⎥ 01c 0 a⎦属于的一个特征向量为,,Ta,,c和的值.0 0【详解】根据题设有

A*,0又 0

AEE,于是

AA*AA,0 即 0 ⎡a也即 ⎢

1 c⎤⎡1⎤ ⎡1⎤b 3⎥⎢1⎥⎢1⎥0⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥由此，可得

1c 0 a⎦⎣1⎦ ⎣1⎦⎧0a1c1⎪5b31⎩⎨ 0⎩解此方程组，得

⎪01ca1bac又由 A1和ac，有a

1 a5 3 3a31故 ac

1a

0 a因此 a2,bc2,1.AmB为mnBT