人教a版高中数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质教学设计

第二章一元二次函数、方程和不等式等式性质与不等式性质（共2课时）（第1课时）本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修5第三章第一节不等关系与不等式第2课时的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。因此，不等式的性质是学习本章后续内容和选修4-5不等式选讲的重要保障；本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．课程目标学科素养A.通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；B.能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；C.培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；1.数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；2.逻辑推理：作差法的原理；3.数学运算：用作差法比较大小；4.直观想象：在几何图形中发现不等式；5.数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；1.教学重点：将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2.教学难点：在实际情景中建立不等式(组)，准确用作差法比较大小；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标四、小结1.不等式与不等关系(1)不等式的定义所含的两个要点.①不等符号>,<,≥,≤或≠.②所表示的关系是不等关系.(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.2．比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果a>b，那么a－b是；如果a<b，那么a－b是；如果a＝b，那么a－b，反之亦然a>b⇔________a<b⇔________a＝b⇔_________五、作业1.习题1,2,3,4题2.预习下节课内容生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；巩固今天所学内容题培养学生的自学能力，也为下一节学习不等式性质做准备等式性质与不等式性质（第2课时）教学过程教学设计意图核心素养目标证明:∵a>b,∴a-b>0.由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0.即b-a<0,∴b<a.同理可证,如果b<a,那么a>b.跟踪训练.1.与m≥(n-2)2等价的是().<(n-2)2 B.(n-2)2≥mC.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m答案:C(2)传递性你能证明吗？(3)加法法则证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c.(4)乘法法则证明:ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc;当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc.归纳总结：1.该性质不能逆推,如ac>bca>b.>bc⇒a>b,c>0或a<b,c<0.3.不等式两边仅能同乘(或除以)一个符号确定的非零实数.(5)加法单调性证明:a>归纳总结：1.此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.2.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时分别相减.3.该性质不能逆推,如a+c>b+da>b,c>d.(6)乘法单调性证明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc.∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd.归纳总结：1.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.>b>0,c<d<0⇒ac<bd;a<b<0,c<d<0⇒ac>bd.3.该性质不能逆推,如ac>bda>b,c>d.(7)正值不等式可乘方性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由a>b可得an>bn.跟踪训练：1.给出下列结论：①若ac>bc，则a>b；②若a<b，则ac2<bc2；③若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则a>b；④若a>b，c>d，则a－c>b－d；⑤若a>b，c>d，则ac>bd.其中正确结论的序号是___③_.解析①当c>0时，由ac>bc⇒a>b，当c<0时，由ac>bc⇒a<b，故①错．②当c≠0时，由a<b⇒ac2<bc2，当c＝0时，由a<beq\o(⇒,/)ac2<bc2，故②错．③∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴eq\f(1,a)·ab<eq\f(1,b)·ab，即b<a，∴a>b，故③正确．④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，两不等式不等号的方向不同，不能相加，∴a－c>b－d错误．⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,0>c>d))⇒ac<bd，但eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,0>c>d))eq\o(⇒,/)ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,c>d>0))eq\o(⇒,/)ac>bd.反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法:(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.(2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.典例解析：用不等式的性质证明不等式例1已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).解析∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)，又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).跟踪训练：1．若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴eq\f(1,bd)>0，∴eq\f(ad＋bd,bd)≤eq\f(bc＋bd,bd)，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).归纳总结：利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．典例解析：利用不等式的性质求取值范围例2已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范围．解析∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).两式相加，得－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2).又∵α<β，∴eq\f(α－β,2)<0.∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<0.规律总结：求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．跟踪训练1.已知1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范围：(1)2a＋b；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).解析(1)∵1<a<2，∴2<2a<4，∵3<b<4，∴5<2a＋b<8；(2)∵3<b<4，∴－4<－b<－3，又∵1<a<2，∴－3<a－b<－1；(3)∵3<b<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3)，又1<a<2，∴eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<eq\f(2,3).通过学生熟悉的等式性质出发，设问，引导学生类比发现不等的性质，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养；用数学语言表示不等式的性质。由不等式七个性质的分析与证明，体会证明不等式的基本方法；培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养及时归纳总结，引导学生准确理解和运用不等式的性质，培养思维的严谨性；通过练习巩固不等式的性质，发展学生逻辑推理，提高思维的灵活性和速度。通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确问题模型，发展数学建模核心素养。四、小结不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔____⇔2传递性a>b，b>c⇒_____⇒3可加性a>b⇔a＋cb＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒acbcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒acbc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c