中考数学二轮压轴培优专题31三角形与新定义综合问题（教师版）

专题31三角形与新定义综合问题

【例1】(2022•淮安区模拟)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝，若canB＝1，则∠B＝60°．(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．【分析】(1)根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出BC即可解答，根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠B＝60°；(2)根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，canB＝，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC＝48，列出关于x的方程即可解答．【解答】解：(1)如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝ABcos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为：，60；(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴＝，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2(负值舍去)，∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36，答：△ABC的周长为36．【例2】(2022•柯城区校级三模)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．(1)等腰直角三角形是标准三角形．√(2)顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．×【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：或：：2．【概念应用】(1)如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．(2)若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．【分析】【概念感知】(1)根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；(2)作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；【概念理解】当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，设BE＝x，则AE＝2x，求出AB＝x，则AB：AC：BC＝：：2；【概念应用】(1)过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，求出A'B即可；(2)分两种情况讨论：①当AC＝AB时，AC＝CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC＝a，由等积法求出BE＝a，用勾股定理分别求出AD＝2a，BD＝a，BC＝a，则可求sin∠BCE＝；②当BC＝AB时，BC＝DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC＝a，由勾股定理分别求出BD＝2a，AD＝3a，AC＝a，再由等积法求出BE＝a，即可求sin∠BCE＝．【解答】解：【概念感知】(1)如图1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，∵AB＝AC，∴等腰直角三角形是标准三角形，故答案为：√；(2)如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，∵∠A＝30°，∴CD＝AC，∵CA＝AB，∴CD＝AB，∴△ABC不是标准三角形；如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，此时AE＞BC，∴△ABC不是标准三角形；故答案为：×；【概念理解】如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；如图4，当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，∴BE＝EC＝BC＝AE，设BE＝x，则AE＝2x，在Rt△ABE中，AB＝x，∴AB：AC：BC＝：：2；故答案为：1：1：或：：2；【概念应用】(1)如图5，过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，∵AB＝CD＝1，∴AA'＝2，在Rt△ABA'中，A'B＝，∴AC+BC的最小值为；(2)在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，∴AC＞CD，BC＞CD，∴AC＞AB，BC＞AB，∴△ABC的最小角为∠ACB，①如图6，当AC＝AB时，AC＝CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC＝a，∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，∴BE＝a，在Rt△ACD中，AD＝2a，∴BD＝AD﹣AB＝a，在Rt△BCD中，BC＝a，在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；②如图7，当BC＝AB时，BC＝DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC＝a，在Rt△BCD中，BD＝2a，∴AD＝3a，在Rt△ACD中，AC＝a，∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，∴BE＝a，在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；综上所述：最小角的正弦值为或.【例3】(2020•五华区校级三模)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】(1)如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝4，b＝4；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a2+b2＝20；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】(3)如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质分别求出PA、PB，根据三角形中位线定理得到MN∥AB，根据相似三角形的性质分别求出PM、PN，根据勾股定理计算即可；(2)连接MN，设PN＝x，PM＝y，利用勾股定理分别用x、y表示出a、b、c，得到答案；(3)取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，证明△ABF为“中垂三角形”，根据(2)中结论计算即可．【解答】解：(1)在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，则PA＝PB＝c＝4，∵M、N分别为CB、CA的中点，∴MN＝AB＝2，MN∥AB，∴△APB∽△MPN，∴＝＝＝，∴PM＝PN＝2，∴BM＝＝2，∴a＝2BM＝4，同理：b＝2AN＝4，如图2，连接MN，在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，∴PB＝c＝1，∴PA＝＝，∴PN＝，PM＝，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝，b＝，∴a2+b2＝20，故答案为：4；4；20；(2)a2+b2＝5c2，理由如下：如图3，连接MN，设PN＝x，PM＝y，则PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝2，b＝2，∴a2+b2＝20(x2+y2)，∵c2＝PA2+PB2＝4(x2+y2)，∴a2+b2＝5c2；(3)取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AHP∽△BHF，∴＝＝1，∴AP＝BF，∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，∴AE＝BF＝，∴PE＝FC，∴四边形PFCE为平行四边形，∵BE⊥CE，∴BG⊥FH，∵AE∥BF，AE＝BF，∴AG＝GF，∴△ABF为“中垂三角形”，∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×()2，解得：AF＝4．【例4】(2020•岳麓区校级二模)定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．(1)如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；(2)如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．①求证：△ABC是中垂三角形；②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．【分析】(1)先利用“SAS“证明△BAD≌△ABE，然后根据△ABC是中垂三角形即可证明；(2)先判断出AC＝2AD，BC＝2BE，再利用勾股定理，即可得出结论；(3)①利用二次函数先求出点B、点A和点C的坐标，然后根据点A和点C的坐标确定E是AC的中点，最后根据中垂三角形的定义即可证明；②先由点A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)的坐标得到kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，然后分情况讨论即可求解；或结合射影定理分情况讨论进行求解即可．【解答】(1)证明：AC＝BC，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，∴△BAD≌△ABE(SAS)，∴∠ABD＝∠BAE，∴OA＝OB．∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，∴∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．(2)L＝6AB2．证明：如图，连接DE．∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝AB，∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝AB2．在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，∴AC2+BC2＝4(AD2+BE2)＝4(OA2+OD2+OB2+OE2)＝4(AB2+DE2)＝4(AB2+AB2)＝5AB2，∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．(3)①证明：在y＝中，当x＝0时，y＝﹣2a，∴点B(0，﹣2a)．y＝0时，＝0，整理得3x2﹣4x﹣32＝0，解得x1＝﹣(舍)，x2＝4，∴点A(4，0)．∵BD＝CD，yC＝﹣yB＝2a，将y＝2a代人y＝，解得x1＝(舍)，x2＝﹣4，∴C(﹣4，2a)．由点A(4，0)，C(﹣4，2a)可知，E是AC的中点．又∵BD＝CD，∴AD，BE都是△ABC的中线．又∵∠AOB＝90°，∴AD⊥BE，∴△ABC是中垂三角形．②解法一：由点A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)可得kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．当∠ABC＝90°时，kAB•kBC＝﹣1，解得a＝(负值舍去)，∴点B(0，﹣2)，∴L＝6AB2＝6×24＝144．当∠BAC＝90°时，kAB•kCA＝﹣1，解得a＝2(负值舍去)，∴点B(0，﹣4)，∴L＝6AB2＝6×48＝288．综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．解法二：由点A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)，∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，∴点D(﹣2，0)，E(0，a)．∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．当∠ABC＝90°时，在△ABD中，由射影定理得OB2＝OA•OD，∴4a2＝8，解得α＝(负值舍去)，∴点B(0，﹣2)，∴L＝6AB2＝6×24＝144．当∠BAC＝90°时，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB•OE，∴16＝2a2，解得a＝2(负值舍去)，∴点B(0，﹣4)，∴L＝6AB2＝6×48＝288．综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．【例5】(2020•安徽模拟)通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图(1)在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝；(2)如图(2)，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．【分析】(1)过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B＝30°，可得出BD＝AB，结合等腰三角形的性质可得出BC＝AB，继而得出canB；(2)过点A作AE⊥BC于点E，根据canB＝，设BC＝8x，AB＝5x，再由S△ABC＝24，可得出x的值，继而求出周长．【解答】解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，∴cos∠B＝＝，∴BD＝AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC＝2BD＝AB，故can30°＝＝；(2)过点A作AE⊥BC于点E，∵canB＝，则可设BC＝8x，AB＝5x，∴AE＝＝3x，∵S△ABC＝24，∴BC×AE＝12x2＝24，解得：x＝，故AB＝AC＝5，BC＝8，从而可得△ABC的周长为18．一．解答题(共20题)1．(2022秋•如皋市期中)定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③(只填写序号)．①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．(2)如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．【分析】(1)利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；(2)①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠E，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．【解答】(1)解：若顶角是30°的等腰三角形，∴两个底角分别为75°，75°，∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，∴三个角分别为45°，45°，90°，∵90°＝2×45°，∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一个是30°的直角三角形，∴另两个角分别为60°，90°，∵60°＝2×30°，∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，故答案为：②③；(2)①证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，∴∠BAE＝2∠ADB，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠E＝∠ADB，∴∠BAE＝2∠E，∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，如图，若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，∴△ABP是等边三角形，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝120°，∵△BPE是“倍角三角形”，∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，∴∠BEP＝20°或40°；若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，∵△BPE是等腰三角形，∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°．2．(2022秋•义乌市校级月考)【概念认识】如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】(1)如图②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分线BD交AC于点D．求∠BDC的度数．(2)如图③所示，在△ABC中．BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC三分线，且∠BPC＝140°．求∠A的度数．【延伸推广】(3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P，若∠A＝m°(m＞54)，∠ABC＝54°．求出∠BPC的度数．(用含m的式子表示)【分析】(1)分BD是邻AB的三分线和BD是邻BC的三分线两种情况解答即可；(2)由∠BPC＝140°，得∠PBC+∠PCB＝40°，故∠ABC+∠ACB＝40°，可得∠ABC+∠ACB＝120°，从而∠A＝60°；(3)分四种情况分别解答即可．【解答】解：(1)当BD是“邻AB三分线”时，∠ABD＝∠ABC＝15°，则∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，当BD′是“邻BC三分线”时，∠ABD′＝∠ABC＝30°，则∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，综上所述，∠BDC的度数为95°或110°；(2)∵∠BPC＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝40°，∵BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC三分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠A＝60°；(3)如图：∵∠A＝m°，∠ABC＝54°，∴∠ACD＝(m+54)°，①当BP是邻AB的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝(m+36)°，∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；②当BP是邻AB的三等分线，AP是邻CD的三等分线时，∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝(m+18)°，∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝(m﹣18)°；③当BP是邻BC的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝(m+36)°，∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝(m+18)°；④当BP是邻BC的三等分线，AP是邻CD的三等分线时，∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝(m+18)°，∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；综上所述，∠BPC度数为m或m﹣18或m+18或m．3．(2022春•石嘴山校级期末)[问题情境]我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|．[拓展]现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1，y1)、N(x2，y2)之间的折线距离为d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图中，点M(﹣1，1)与点N(1，﹣2)．之间的折线距离d(M，N)＝|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|＝2+3＝5，[应用]解决下列问题：(1)已知点E(3，2)，点F(1．﹣2)，求d(E，F)的值；(2)已知点E(3，1)，H(﹣1，n)，若d(E，H)＝6，求n的值；(3)已知点P(3，4)，点Q在y轴上，O为坐标系原点，且△OPQ的面积是4.5，求d(P，Q)的值．【分析】(1)根据折线距离为d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|计算即可；(2)根据折线距离为d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，构建方程求解即可；(3)设Q(0，m)，利用三角形的面积公式求出m的值，再根据折线距离为d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|计算即可求解．【解答】解：(1)∵点E(3，2)，点F(1，﹣2)，∴d(E，F)＝|3﹣1|+|2﹣(﹣2)|＝6；(2)∵E(3，1)，H(﹣1，n)，d(E，H)＝6，∴d(E，H)＝|3﹣(﹣1)|+|1﹣n|＝6，解得：n＝﹣1或3；(3)如图，设Q(0，m)．由题意，•|m|•2＝4.5，解得m＝±3，∴Q(0，3)或(0，﹣3)，当Q(0，3)时，d(P，Q)＝|3﹣0|+|4﹣3|＝4，当Q(0，﹣3)时，d(P，Q)＝|3﹣0|+|4﹣(﹣3)|＝10，∴d(P，Q)＝4或10．4．(2022春•镇江期末)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】(1)若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为12°；(2)若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为35或°；(3)已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．【分析】(1)设最小角为α，由题意可得α+2α＝＝36°，求出α即为所求；(2)当∠A是“开心角”，则最小角为35°；当∠A不是“开心角”，设最小角为α，α+2α＝110°，α＝()°；(3)三角形另一个开心角是2∠A，第三个内角是180°﹣3∠A，再由∠A≤180°﹣3∠A，可得∠A≤45°；【应用】由题意可得∠PAC＝180°﹣2∠α，设∠PCA＝x，则x＝2∠α﹣30°，∠AEB＝240°﹣3∠α，∠ABE＝2∠α﹣60°，分两种情况讨论：①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，求得∠α＝40°；②当∠BAE与∠AEB互为开心角，∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB(舍)，求得∠α＝48°．【解答】解：(1)设最小角为α，∵△ABC为开心三角形，∠A＝144°，∴α+2α＝180°﹣144°＝36°，∴α＝12°，故答案为：12；(2)当∠A是“开心角”，则最小角为35°；当∠A不是“开心角”，设最小角为α，∴α+2α＝180°﹣70°＝110°，∴α＝()°，故答案为：35或；(3)∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，∴另一个开心角是2∠A，∴第三个内角是180°﹣3∠A，∵∠A是最小内角，∴∠A≤180°﹣3∠A，∴∠A≤45°；【应用】∵AD平分△ABC的内角∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝∠α，∴∠PAC＝180°﹣2∠α，设∠PCA＝x，∵CD平分△ABC的外角∠DCF，∴∠BCD＝∠CDF＝x，∴∠ACB＝180°﹣2x，∵∠P＝30°，∴180°﹣2∠α+x＝150°，∴x＝2∠α﹣30°，∴∠AEB＝∠α+180°﹣2x＝240°﹣3∠α，∴∠ABE＝180°﹣∠α﹣(240°﹣3∠α)＝2∠α﹣60°，①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，∴∠α＝(2∠α﹣60°)或∠α＝2(2∠α﹣60°)，解得∠α＝40°；②当∠BAE与∠AEB互为开心角，∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE，∠EAC＝∠BAE，∴∠BAE＝2∠AEB舍去，∴∠α＝(240°﹣3∠α)，解得∠α＝48°，综上所述：40°或48°．5．(2022春•崇川区期末)定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．(1)如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”(2)若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；(3)如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．【分析】(1)根据“奇妙三角形”的定义，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即证明△ABD为“奇妙三角形”．(2)由三角形的内角和知，A+∠B＝100°，由△ABC为“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°两种情况，计算得∠B＝90°或∠A＝90°，从而证明△ABC是直角三角形．(3)由三角形的内角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC为“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°两种情况，求得∠C＝80°或100°．【解答】(1)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD为“奇妙三角形”．(2)证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此证得，△ABC是直角三角形．(3)解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD为“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝(100°﹣40°)÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；综上得出：∠C的度数为80°或100°．6．(2022春•亭湖区校级月考)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．(1)如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出(或在图中直接描出)AB边上的所有“好点”点D；(2)△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；(3)如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．【分析】(1)直角三角形的“好点”是斜边的中点，作斜边上的高，垂足也为“好点”，即可得答案；(2)作AE⊥BC，解斜△ABC，设BD＝a，根据AD2＝DE2+AE2＝BD•CD列方程求得；(3)①由△ACH∽△DBH得，CH•HD＝AH•BH，结合BH2＝CH•HD，得证；②先确定AD是直径，然后求出AH、BH、BD、BH、CH，从而求出比值．【解答】解：(1)如图1，斜边AB的中点D与斜边AB上的高CD'的垂足D'均为AB边长的“好点”．(2)如图2，作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，tanB＝，∴设AE＝3a，BE＝4a，tanC＝，∴CE＝AE＝3a，∴3a+4a＝7，∴a＝1，∴AE＝CE＝3，BE＝4，∴AB＝5，设BD＝x，∴DE＝|4﹣x|，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＝DE2+AE2＝(4﹣x)2+32，∵点D是BC边上的“好点”，∴AD2＝BD•CD＝x•(7﹣x)，∴x•(7﹣x)＝(4﹣x)2+32，∴x1＝5，x2＝，即BD＝5或．(3)如图3，①证明：∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，∴BH2＝CH•HD，∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∴△ACH∽△DBH，∴，∴CH•HD＝AH•BH，∴BH2＝AH•BH，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；②连接AD，设OH＝a，则OA＝3a，由①知，OH⊥AB，又∵OH∥BD，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∴OA＝OD＝3a，在Rt△AOH中，由勾股定理得，AH＝，∵AH＝BH＝，OA＝OD，∴BD＝2a，在Rt△BDH中，由勾股定理得，DH＝＝，由BH2＝CH•DH得：，∴CH＝，∴．7．(2021秋•如皋市期末)【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线．【理解运用】(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，MC，若△ABC和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；(3)在(2)的条件下，若MD＝，AM＝1，直接写出BM的长．【分析】(1)根据半线三角形的定义进行判断即可；(2)过点A作AN⊥AM交MC于点N，可证明△MAB≌△NAC，则AM＝AN，所以三角形MAN是等腰直角三角形，由此可解答；(3)在(2)的基础上可知，MB＝NC，AM＝AN＝1，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，由此可得MB的长．【解答】解：(1)△ABC是半线三角形，理由如下：取BC得中点D，连接AD，∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB，∴△ABC是半线三角形．(2)过点A作AN⊥AM交MC于点N，如图，∵MD为△MBC的BC边的半线，∴MD＝BC＝BD＝CD，∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，∴∠BMC＝90°，同理∠BAC＝90°，又∵∠MOB＝∠AOC，∴∠MBA＝∠MCA，∵∠MAN＝∠BAC＝90°，∴∠MAB＝∠NAC．∵AB＝AC，∴△MAB≌△NAC(ASA)，∴AM＝AN，又∵∠MAN＝90°，∴∠AMC＝∠ANM＝45°．(3)由题意可知，BC＝2MD＝3，由(2)知△MAB≌△NAC(ASA)，∴MB＝NC，AM＝AN＝1，∴MN＝，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，∴MB2+(+MB)2＝32，解得，MB＝2﹣(负值舍去)．故MB的值为2﹣．8．(2021秋•顺义区期末)我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点(D与A，B，C不重合)．(1)若∠A＝90°，则△ABC的正度为；(2)在图1，当点D在腰AB上(D与A、B不重合)时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．(3)若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得出答案；(2)作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E．设AD＝x，AE＝x，求出AD＝x，则可得出△ADE是等腰直角三角形，则可得出答案；(3)设AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x．由三角形的周长求出x＝2，得出AB＝6，AC＝6，BC＝10，作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝5，由勾股定理求出AH，分两种情况：当AD＝DC时，当AC＝DC＝6时，可求出答案．【解答】解：(1)若∠A＝90°，，则△ABC的正度为，故答案为：；(2)用尺规作出等腰△ACD，如图1，作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E．∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．∵△ACD的正度是，∴，∴，∴．在Rt△ADE中，设AD＝x，AE＝x，∴．∴DE＝AE．∴△ADE是等腰直角三角形．∴∠A＝45°．(3)存在点D，使△ACD具有正度．∵△ABC的正度为，△ABC的周长为22，∴．设AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x．∵△ABC的周长为22，∴3x+5x+3x＝22．∴x＝2．∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝5，∴AH＝．①当AD＝DC时，如图2所示，设AD＝DC＝y，则HD＝5﹣y，由AH2+HD2＝AD2，得11+(5﹣y)2＝y2．解得y＝，即AD＝．∴△ACD的正度为．②当AC＝DC＝6时，如图3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，∴DA＝．∴△ACD的正度为．综上所述，△ACD的正度为或．9．(2021秋•丹阳市期末)梅涅劳斯(Menelaus)是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图(1)，如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有＝1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图(2)，过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有，，∴＝1．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图(3)，△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：＝1．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：(2)如图(4)，等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE的长为．(3)如图(5)，△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．【分析】(1)过点C作CN∥XZ交AY于点N，根据平行线截线段成比例的知识解答即可；(2)根据梅涅劳斯定理进行推理；(3)根据梅涅劳斯定理得，＝1，则＝，由面积公式得SBCEF＝S△BCF+S△CEF，即可得出答案．【解答】(1)证明：如答图1，过点C作CN∥XZ交AY于点N，则＝，＝．故：••＝••＝1．(2)解：如答图2，根据梅涅劳斯定理得：＝1．又∵BF＝2AF，∴＝，＝2，∴DE＝AE．在等边△ABC中，∵AB＝2，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝1．∴由勾股定理知：AD＝＝＝．∴AE＝．故答案是：；(3)解：∵DEF是△ABC的梅氏线，∴由梅涅劳斯定理得，＝1，即××＝1，则＝．如答图3，连接FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是S四边形BCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝×2＝．故答案是：．10．(2021秋•洪江市期末)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数；(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(3)如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【分析】(1)根据等腰三角形的性质求出∠ACD＝44°，再根据相似三角形的性质得到∠BCD＝∠A，计算即可；(2)根据三角形内角和定理得到∠ACB＝80°，进而判断出△ABC不是等腰三角形，根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝44°，得到△ACD为等腰三角形和△BCD∽△BAC，根据三角形的完美分割线证明结论；(3)根据题意求出AD，再根据△BCD∽△BAC，求出BD，再根据△BCD∽△BAC，求出CD．【解答】(1)解：∵AD＝CD，∠A＝44°，∴∠ACD＝∠A＝44°，∵CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝44°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝88°；(2)证明：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣(∠A+∠B)＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线；(3)解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，∴AC＝AD，∵AC＝2，∴AD＝2，∵CD是△ABC的完美分割线，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BA•BD，设BD＝x，则AB＝AD+BD＝2+x，∴()2＝x(x+2)，∴x＝±﹣1，∵x＞0，∴x＝﹣1，∴BD＝﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴CD＝﹣．11．(2021秋•石景山区期末)在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点P是线段CB上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作直线l⊥CB交AB于点Q．给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在△ACB的边上，则称点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．例如，图1中的点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．(1)如图2，若CP＝1，点M1，M2，M3，M4在AC边上且AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6．在点M1，M2，M3，M4中，是△ACB的关于直线l的“反称点”为M2、M4；(2)若点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，恰好使得△ACN是等腰三角形，求AM的长；(3)存在直线l及点M，使得点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围．【分析】(1)由轴对称的性质得MN⊥l，MN⊥AC，得MN直线截△ABC得到的含∠A的三角形是等腰直角三角形，则点N1在△ABC的外部，同理点M2关于直线l对称N2，再证M1、M3不是△ACB的关于直线l的“反称点”，M2、M4是△ACB的关于直线l的“反称点”即可；(2)分三种情况，①若AC为底边，△ACN是等腰直角三角形；②若AC为腰且∠A为顶角；③若AC为腰且∠ACN为顶角，分别求出AM的长即可；(3)由(1)知，0＜AM＜6时，AM等于2倍的M到l的距离时，N点在AB边上，AM＝6时，M到l的距离小于等于3时，N点在BC边上，当M到l的距离大于3时，N点在△ABC的外部，即可得出结论．【解答】解：(1)∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，∴∠A＝45°，∵点N与点M关于直线l对称，直线l⊥CB，∠ACB＝90°，∴MN⊥l，MN⊥AC，∴MN直线截△ABC得到的含∠A的三角形是等腰直角三角形，∴MN直线与AB边的交点到点M的距离等于AM，∵AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6，CP＝1，∴点M1关于直线l对称N1，M1N1＝2＞AM1，∴点N1在△ABC的外部，同理，点M2关于直线l对称N2，M2N2＝2＝AM2，点N2在△ABC的AB边上，点M3关于直线l对称N3，M3N3＝2＜AM3，点N3在△ABC的内部，AM4＝6，则点M4与点C重合，M4N4＝2＜BC，点N4在△ABC的BC边上，∴M1、M3不是△ACB的关于直线l的“反称点”，M2、M4是△ACB的关于直线l的“反称点”，故答案为：M2、M4；(2)∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，∴∠A＝∠B＝45°，∵点N与点M关于直线l对称，直线l⊥CB，∠ACB＝90°，∴MN⊥l，MN⊥AC，∴MN∥BC，若△ACN是等腰三角形，①若AC为底边，△ACN是等腰直角三角形，如图1所示：则CN＝AN，∴∠A＝∠NCA＝45°，∴∠NCB＝90°﹣45°＝45°，∴∠NCB＝∠B，∴CN＝BN，∴AN＝BN，∴N是AB的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴M是AC的中点，∴AM＝3；②若AC为腰且∠A为顶角，如图2所示：则AN＝AC＝6，在Rt△AMN中，∠AMN＝90°，∠A＝45°，∴AM＝AN＝3；③若AC为腰且∠ACN为顶角，则点N与点B重合，点M与点C重合，如图3所示：∴AM＝6；综上所述，AM的长为3或或6；(3)由(1)知，0＜AM＜6时，AM等于2倍的M到l的距离时，N点在AB边上，AM＝6时，M到l的距离小于等于3时，N点在BC边上，当M到l的距离大于3时，N点在△ABC的外部，∵CP等于M到l的距离，∴0＜CP≤3．12．(2021秋•鄞州区期末)【问题提出】如图1，△ABC中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即AD×AE＝BD×CE，则称DE是△ABC的“友好分割”线段．(1)如图1，若DE是△ABC的“友好分割”线段，AD＝2CE，AB＝8，求AC的长；【发现证明】(2)如图2，△ABC中，点F在BC边上，FD∥AC交AB于D，FE∥AB交AC于E，连结DE，求证：DE是△ABC的“友好分割”线段；【综合运用】(3)如图3，DE是△ABC的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画AG∥DE交△ADE的外接圆于点G，连结GE，设＝x，＝y．①求y关于x的函数表达式；②连结BG，CG，当y＝时，求的值．【分析】(1)设AE＝x，利用“友好分割”线段的定义得到等积式，将已知条件代入等积式中化简求得AE，则AC＝AE+EC，结论可得；(2)利用平行线分线段成比例定理，通过等量代换即可得出结论；(3)①过点C作CH∥BD交DF于点H，利用平行线分线段成比例定理，得到比例式，，将两个等式左右分别相乘，整理后将＝x，＝y代入即可得出结论；②利用①的结论可以得到；通过证明△BDG∽△GEC，利用相似三角形的性质得出结论．【解答】(1)解：设AE＝x，∵DE是△ABC的“友好分割”线段，∴AD•AE＝BD•EC．∵AD＝2CE，AB＝8，∴2EC•AE＝(8﹣AD)•EC．∴2x＝8﹣2EC．∴x＝4﹣EC，∴AE＝4﹣EC．∴AC＝AE+EC＝4．(2)证明：∵FD∥AC，∴．∵FE∥AB，．∴．∴AD•AE＝BD•EC．∴DE是△ABC的“友好分割”线段；(3)解：①∵DE是△ABC的“友好分割”线段，∴AD•AE＝BD•EC．∴．∵＝x，∴＝x．过点C作CH∥BD交DF于点H，如图，∵CH∥BD，∴，．∴．∴．∵＝x，＝y，∴y×＝x．∴y＝x2．∴y关于x的函数表达式为：y＝x2；②连接DG，如图，∵y＝，y＝x2，∴．∵x＞0，∴x＝．即．∵AG∥DE，∴．∴AD＝EG．∴．∴．∴AE＝DG，∠ADE＝∠GED．∴∠BDF＝∠GEF．∵，∴∠GDE＝∠AED．∵∠AED＝∠CEF，∴∠GDE＝∠CEF．∴∠BDF+∠GDE＝∠GEF+∠CEF．即∠BDG＝∠GEC．∵DE是△ABC的“友好分割”线段，∴AD•AE＝BD•EC．∴．∴．∴△BDG∽△GEC．∴．∵EG＝AD，∴＝．13．(2021秋•鼓楼区校级期末)定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠1＝∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称△PQR为△ABC的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上．(1)如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；(2)如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．①证明：△DEF为△ABC的光线三角形；②证明：△ABC的光线三角形是唯一的．【分析】(1)证明∠AEF＝∠DEC＝75°，可得结论；(2)①连接AD，证明AD⊥CB，利用等腰三角形的三线合一的性质证明BD＝DC，∠BAD＝∠CAD，推出BD＝DE＝DF，再分别证明∠FDB＝∠EDC＝30°，∠AEF＝∠DEC＝75°，∠AFE＝∠DFB＝75°，可得结论；②证明△DFE是顶角为120°，腰长为BC的一半的等腰三角形，即可解决问题．【解答】(1)解：如图3中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝75°，∵EF∥CB，∴∠AEF＝75°，∵DE和FE关于AC满足“光学性质”，∴∠AEF＝∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°；(2)①证明：如图4中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE，∵CF⊥AB，∴∠CFB＝90°，∵DB＝DC，∴DF＝DB＝DC，∴DF＝DB＝DE＝DC，∴∠B＝∠DFB＝75°，∠DCE＝∠DEC＝75°，∴∠FDB＝∠EDC＝30°，∴DF，DE关于BC满足光学性质，∵∠DEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝30°，∴∠DEF＝∠EDC，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠ACB＝75°，∠AFE＝∠B＝75°，∴∠AFE＝∠DFB＝75°，∠AEF＝∠DEC＝75°，∴FE，DE关于AC满足光学性质，EF，DF关于AB满足光学性质，∴△DEF是为△ABC的光线三角形；②证明：由①可知，DE＝DF＝DB＝DC，∠EDF＝120°，∴△DFE是顶角为120°，腰长为BC的一半的等腰三角形，∴△DEF是唯一确定的，∴△ABC的光线三角形是唯一的．14．(2021秋•丰台区期末)对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．(1)如图1，点A，B的坐标分别为(﹣2，0)，(2，0)，则在P1(﹣1，3)，P2(0，2)，P3(0，﹣1)，P4(0，4)中，线段AB的“轴点”是P2，P3，P4；线段AB的“近轴点”是P3，P2．(2)如图2，点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围t＜0或t＞3．【分析】(1)由题意可知A、B关于y轴对称，则线段的“轴点”在y轴上；(2)分两种情况：①当P点在线段AB上方时，②当P点在线段AB下方时，分别求△PAB为等边三角形时t的值，即可确定t的取值范围．【解答】解：(1)∵A(﹣2，0)，B(2，0)，∴A、B关于y轴对称，∵PA＝PB，∴P点在y轴上，∴线段AB的“轴点”是P2，P4，P3，当P2(0，2)时，AP＝BP＝2，∴∠APO＝45°，∴∠APB＝90°，∴P2是线段AB的“近轴点”，当P3(0，﹣1)时，AP＝BP＝，∴∠APB＞60°，∴P3是线段AB的“近轴点”，故答案为：P2，P3，P4；P3，P2；(2)如图1，∵∠BAO＝30°，∴∠ABO＝60°，∵AP＝BP，∵A(3，0)，∴OB＝，当P点在y轴上时，P(0，﹣)，∴当t＜0时，P为线段AB的“远轴点”；如图2，当AP⊥x轴时，∵∠BAO＝30°，∴∠PAB＝60°，∵PA＝PB，∴∠APB＝60°，∴此时P点是线段AB的“远轴点”，∵A(3，0)，∴OA＝3，∴AB＝2，∴AP＝2，∴t＞3时P为线段AB的“远轴点”；综上所述：t＜0或t＞3时P为线段AB的“远轴点”，故答案为：t＜0或t＞3．15．(2022秋•长沙期中)概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．动手操作：(3)在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB的度数．【分析】(1)根据“等角三角形”的定义解答；(2)根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根据“等角三角形”的定义证明；(3)分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．【解答】解：(1)△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；(2)在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°∵CD为角平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，∴∠BDC＝∠ACB，∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；(3)当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝50°+65°＝115°，当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝＝，∴∠ACB＝，当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°﹣2x，则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由题意得，180°﹣2x+50°＝x，解得，x＝，∴∠ACD＝180°﹣2x＝，∴∠ACB＝，综上所述：∠ACB的度数为100°或115°或或．16．(2022春•华州区期末)阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．(1)理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？是(填“是”或“不是”)②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形是(填“是”或“不是”)奇异三角形．(2)探究：在Rt△ABC，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【分析】(1)①根据等边三角形的三边相等、奇异三角形的定义判断；②根据奇异三角形的定义判断；(2)分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断．【解答】解：(1)①设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，故答案为：是；②∵12+()2＝8，2×22＝8，∴12+()2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形，故答案为：是；(2)当c为斜边时，则b2＝c2﹣a2＝100﹣50＝50，则a2+b2≠2c2，a2+c2≠2b2，∴Rt△ABC不是奇异三角形；当b为斜边时，b2＝a2+c2＝150，则有a2+b2＝50+150＝200＝2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形，答：当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形．17．(2022•任城区三模)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝1．(2)sad90°＝．(3)如图②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【分析】(1)顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，从而可得sad60°；(2)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形，从而可得sad90°＝；(3)在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于点E，分别表示出DE、AE，CE、CD，继而可求出sadA的值．【解答】解：(1)sad60°＝1；(2)sad90°＝；(3)设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a，在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于点E，如图所示：则DE＝AD•sinA＝4a•＝，AE＝AD•cosA＝4a•＝，CE＝4a﹣＝，，∴sadA＝．18．(2021•柯城区模拟)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“等底高三角形”，这条边叫做等底线，这条边上的高叫做等高线．如图：在△ABC，CD⊥AB于点D，且AB＝CD，则△ABC为等底高三角形，AB叫等底线，CD叫等高线．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．(1)等边三角形不可能是等底高三角形．√(2)等底高三角形不可能是钝角三角形．×【概念理解】若一个等腰三角形为等底高三角形，则此三角形的三边长之比为．【概念应用】(1)若△ABC为等底高三角形，等底线长为2，求三角形的周长的最小值．(2)若一个等底高三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．【分析】拿到这种阅读理解题，一定要先理解给出的新定义的含义，这是做题的根本．根据题意，多画图，才能找到题目的本意．【解答】解：【概念感知】(1)√，边与高构成直角三角形，斜边不可能等于直角边；(2)×，如图1，高在一边的延长线上即可．【概念理解】分两种情况：第一种情况如图2﹣1，底边上的高等于底边时，设BD＝a，则BD＝CD＝a，∴BC＝AD＝2a，在Rt△ABD中，AB＝AC＝＝＝，∴AB：AC：BC＝．第二种情况，如图2﹣2，等腰直角三角形中，两个腰分别为底和高时，设BC＝a，则AC＝a，在RtRt△ABC中，AB＝a，∴AC：BC：AB＝1：1：．【概念应用】(1)如图3，BC＝AD＝2，设BD＝x(0＜x＜2)，则CD＝2﹣x，∴在R