十三讲加法原理和乘法原理

第十三讲加法原理和法原理一、知要点和基本法在日常生活中和生产实际中往往会遇到一些有关加法原理和乘法原理的问题．加法原理：完成一件事可以n类办法在第一类办法中，有m种不同的1方法，在第二类办法中有m种不同的方法……在n类办法中种不同的方2法．那么完成这件事共有：Nm种不同的方法．1乘法原理：完成一件事需n步骤做第一步m种不同的方法，做第1二步有m种不同的方法……做n步种不同的方法那么完成这件事情共2n有：m13

种不同的方法．n在解答加法原理和乘法原理的问题中时会遇到有关组合的问题个不同的元素里，每次n个不同的元，只管元素的组成而不管排列顺序，这叫做m个元素里每次n元素的组合果两次组合的元素相同并为一种，则m个元素里每次n元素的组合的种数（用表示）可用下面公式计算：C

n

1

二、例精讲例1有件不同的上衣，3条不同的裤子，顶不同的帽子，从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的装束？解完成装束配套必须分三步完成，先取上衣，再取裤子，最后取帽子，这样分别有53种不同的方法，根据乘法原理，共有4=60（种）不同的装束．例2用02这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？解根据题意，百位上可取12、4这4数字，有4取法；百位数字确定后十位上的数字可从余下四个数字中任取一个有4种取法个位数字从余下的三个数字中任取一个，有3种取法．根据乘法原理，能组成

×

4

×

（个）没有重复数字的三位数．例3有5同学排成一排，其中A、两不排在一起，共有多少种不同的排法？解不考虑任何限制排法有54×21=120（种）不同的排法．其中A、B两人排在一起的有（4

×

3

×

2

1

×

2=48（种）不同的排法．

所以A、B两人不排在一起的排法共有－种例4从8班选个三好学生，每班至少l名，共有多少种选法？解每班至少1名，就有8三好学生，现在只考虑－8=4（名）的选举情况就可以了．（1）四名同学在一个班，有8种选法；（2）四复同学在两个班，若每班有2个，有

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（种）选法，若一个班1，另一个班3个，有8种）选法．共计＋种）选法．3学在班有2班各有83168种）选法．1（4）四名同学在四个班，有

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70（种）选法．所以共有8＋＋＋70=330（种）选法．例5从2、3、57、9个数字中，选出四个数字组成被和除都余的四位数，这样的四位数共有多少个？解能被5余2的四位数，个位数必定27；被3余2四位数，4个数字之和除以32．（1）若个位为2，前三位应是3、5、7或、7、9的一个排列，共有（3

×

2

×

1）

（个（2）若个位为7，前三位应是2、3、5或、5、9的一个排列，也有（3×1）（个总共有1212=24（个）这样的四位数．练习题A组1．有五面色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？2．用数字12、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？3．图13-l3的方格＊是自然数列中的个方格中分别用红、蓝三种颜色任意染（每列中三格的颜色各不相同需要多少列才能保证至少使两列染色的方式相同？图

图4．如13-2只小虫要从A点到点求任何线段和点都不重复经过问：有多少种不同的走法？5．有4同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况（照相时3人必须站成一排）？6．图13－3是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能

在同一条棋盘线上．问：共有多少种不同的放法？图7．数字和4三位数有多少个？8．用

9

B组四个数字卡片，可组成多少个不同的四位数？9．从19955所有整数中，十位数字与个位数字相同的整数有多少个？10数12，，6182……这样的数有一个共同的特征，它们倒过来写还是原来的数，这样的五位偶数有多少个？11．从1400自然数中，不含有数字5的自然数有多少个？12五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况有多少种？13从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选出五个数字组成能被整除而各个数位上数字不同的五位数，共有多少个？14至少有一个数字是1，并且能被4整除的四位数共有多少个？15有25相同的书，分6，如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种不同的分法？测试题1．5个人排成一队，甲不能当排头，乙不能当排尾，共有多少种不同的排法？2．有6张卡片，分别写有2、34、5、67，现在从取出3卡片，并排放在一起，形成一个三位数，那么共有多少个不同的三位奇数？3．用一角、二角币、五角币各一张，一元币三张，五元币两张，可组成多少种不需找钱的不同币值？4．自然数12，3，4，…，1001中，所有数码之和是多少？5．在8

×

8棋盘上可以找到多少个形如图13－4所示的“凸”字形图形？图13－

图13－6．一个自然数，如果它顺着数和倒过来数都是一样的，则称这数为“回文数例如7202都是回文数．而220则不是回文数．16的回文数一共有多少个？7．如图13－5，把A、B、D五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么这幅图

一共有多少种不同的着色方法？8有一种用六位数表示日期的方法如890表示是19898月日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三四数表示月，第五、六位数表示比如果用这种方法表示年的日期么全年中六个数字都不相同的日期共有多少天？9某铁路线上原有7个车（包括起点站和终点站人现在新增加了个车站，铁路上两站之间往返的车票都不一样，这样需要增加多少种不同的车票？10从分别写1、59五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：（1）有多少个不同乘积？（2）有多少个不同的乘法算式？11在10学生中间选一个3人代表雌加数学竞赛的决赛，使得学AB中至少有一个必须是代表队成员，共有多少种选手？12用2、3、4、5这四个数可组成许多没有重复数字的四位数，所有这些四位数的和是多少？13一排房有四个房间，在四个房间中住着甲、乙、西三人，规定每个房间只许住一人，并且只允许两个人住的房间挨在一起，第三个人的房间必须和前两个人隔开，有多少种不同的住法？14四名棋手进行循环比赛，胜一局分，平一局得1分，负一局0．如果各人得的总分不同，第一名不是全胜，那么，至多有多少局平局？15七个相