2011届高三数学一轮巩固与练习：两角和与差的三角函数

2011届高三数学一轮巩固与练习：两角和与差的三角函数LtD（高考、中考、考研、留学英国）巩固1．(2009年高考陕西卷)若3sinα＋cosα＝0，则eq\f(1,cos2α＋sin2α)的值为()A.eq\f(10,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(2,3)D．－2解析：选A.3sinα＋cosα＝0，则tanα＝－eq\f(1,3)，eq\f(1,cos2α＋sin2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(tan2α＋1,1＋2tanα)＝eq\f((－\f(1,3))2＋1,1＋2×(－\f(1,3)))＝eq\f(10,3).2．若sinα＝eq\f(3,5)，α∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，则cos(α＋eq\f(5π,4))＝()A．－eq\f(7\r(2),10)B．－eq\f(\r(2),10)C.eq\f(\r(2),10)D.eq\f(7\r(2),10)解析：选B.由α∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(3,5)可得cosα＝eq\f(4,5)，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋eq\f(5π,4))＝－eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)＝－eq\f(\r(2),10)，故选B.3．若α∈(eq\f(π,2)，π)，且sinα＝eq\f(4,5)，则sin(α＋eq\f(π,4))－eq\f(\r(2),2)cosα＝()A.eq\f(2\r(2),5)B．－eq\f(2\r(2),5)C.eq\f(4\r(2),5)D．－eq\f(4\r(2),5)解析：选A.sin(α＋eq\f(π,4))－eq\f(\r(2),2)cosα＝sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)－eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2\r(2),5).故选A.4．(原创题)已知cos(α＋eq\f(π,3))＝sin(α－eq\f(π,3))，则tanα＝________.解析：∵cos(α＋eq\f(π,3))＝sin(α－eq\f(π,3))，解析：选C.∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．5．在直角坐标系xOy中，直线y＝2x－eq\f(2,5)与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，记∠xOA＝α(0<α<eq\f(π,2))，∠xOB＝β(π<β<eq\f(3π,2))，则sin(α＋β)的值为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5)D．－eq\f(4,5)解析：选D.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－\f(2,5),x2＋y2＝1))得点A(eq\f(3,5)，eq\f(4,5))，点B(－eq\f(7,25)，－eq\f(24,25))．sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，sinβ＝－eq\f(24,25)，cosβ＝－eq\f(7,25)，然后由两角和的正弦公式求解．6．(2008年高考山东卷)已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，则sin(α＋eq\f(7π,6))的值是()A．－eq\f(2\r(3),5)B.eq\f(2\r(3),5)C．－eq\f(4,5)D.eq\f(4,5)解析：选C.∵cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(1,2)sinα＋sinα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴eq\r(3)(eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα)＝eq\f(4,5)eq\r(3)，∴sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(4,5)，又∵sin(α＋eq\f(7π,6))＝sin(π＋α＋eq\f(π,6))＝－sin(α＋eq\f(π,6))，∴sin(α＋eq\f(7π,6))＝－eq\f(4,5).7.eq\f(cos2α,1＋sin2α)·eq\f(1＋tanα,1－tanα)的值为________．解析：原式＝eq\f(cos2α－sin2α,(sinα＋cosα)2)·eq\f(1＋\f(sinα,cosα),1－\f(sinα,cosα))＝eq\f(cosα－sinα,sinα＋cosα)·eq\f(sinα＋cosα,cosα－sinα)＝1.答案：18．若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α＝________.解析：∵P(cosα，sinα)在y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，即tanα＝－2.∴sin2α＋2cos2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＋2·eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(2＋2tanα－2tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(2－4－2×4,1＋4)＝－2.答案：－29.eq\f(2cos5°－sin25°,cos25°)的值为________．解析：由已知得：eq\f(2cos5°－sin25°,cos25°)＝eq\f(2cos(30°－25°)－sin25°,cos25°)＝eq\f(\r(3)cos25°,cos25°)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)10．已知α是第一象限角，且cosα＝eq\f(5,13)，求eq\f(sin(α＋\f(π,4)),cos(2α＋4π))的值．解：∵α是第一象限角，cosα＝eq\f(5,13)，∴sinα＝eq\f(12,13).∴eq\f(sin(α＋\f(π,4)),cos(2α＋4π))＝eq\f(\f(\r(2),2)(sinα＋cosα),cos2α)＝eq\f(\f(\r(2),2)(sinα＋cosα),cos2α－sin2α)＝eq\f(\f(\r(2),2),cosα－sinα)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(5,13)－\f(12,13))＝－eq\f(13\r(2),14).11．求值：(1)eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)；(2)tan(eq\f(π,6)－θ)＋tan(eq\f(π,6)＋θ)＋eq\r(3)tan(eq\f(π,6)－θ)tan(eq\f(π,6)＋θ)．解：(1)原式＝eq\f(2cos(30°－20°)－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°＋sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°,sin70°)＝eq\r(3).(2)原式＝tan[(eq\f(π,6)－θ)＋(eq\f(π,6)＋θ)][1－tan(eq\f(π,6)－θ)tan(eq\f(π,6)＋θ)]＋eq\r(3)tan(eq\f(π,6)－θ)tan(eq\f(π,6)＋θ)＝eq\r(3).12．(2008年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B两点的横坐标分别为eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝eq\f(\r(2),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5).因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(7\r(2),10)，同理可得sinβ＝eq\f(\r(5),5).因此tanα＝7，tanβ＝eq\f(1,2).所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋t