高考题型专题冲刺精讲(数学)专题四函数与导数(学生版)

2011年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题四函数与导数【命题特色】函数的看法和方法既贯串了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，函数的解答题在文、理两卷中常常分别命制，这不单是由教课内容要求的差别所决定的，也与文理科考生的思想水平差别有关。文科卷中函数和导数的解答题，其分析式只好采用多项式函数；而理科卷则可在指数函数、对数函数以及三角函数中选用。高考对导数的考察主要以工具的方式进行命题，充分与函数相联合.其主要考点：（1）考察利用导数研究函数的性质（单一性、极值与最值）；（2）考察原函数与导函数之间的关系；（3）考察利用导数与函数相联合的实质应用题.从题型及考察难度上来看主要有以下几个特色：①以填空题、选择题考察导数的看法、求函数的导数、求单一区间、求函数的极值与最值；②与导数的几何意义相联合的函数综合题，利用导数求解函数的单一性或求单一区间、最值或极值，属于中档题；③利用导数务实质应用问题中最值，为中档偏难题.复习建议：复习时，考生要“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础，娴熟掌握解题的通性、通法，提升解题速度。同时，很多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申变化而来。所以，考生一定利用好课本，夯实基础知识。【试题常有设计形式】函数和导数的内容在高考试卷中所占的比重较大，考察时有必定的综合性，并与数学思想方法密切联合，对数学思想方法进行深入的考察，这种综合地统揽各样知识、方法和能力，在函数的考察中获取了充分的表现，函数与导数解答题在文、理两卷中常常分别命制，这既是由教课内容要求的差别所决定的，也与文、理科考生的思想水平差别有关，文科卷中的解答题，其分析式一般采用多项式函数；理科卷则常在指数函数、对数函数以及三角函数中选用。高考对导数的考察主要以工具的方式进行命题，充分与函数相联合.1利用导数研究函数的单一性、极值与最值问题；2考察以函数为载体的实质应用题，主假如第一成立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【打破方法技巧】1．议论函数的性质时，一定坚持定义域优先的原则.对于函数实质应用问题，注意发掘隐含在实质中的条件，防止忽视实质意义对定义域的影响.2．运用函数的性质解题时，注意数形联合，扬长避短.3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类议论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种状况议论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种状况议论.4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转变思想的运用.5．在理解极值看法时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若f(x)在（a，b）内有极值，那么f(x)在（a，b）绝不是单一函数；③极大值与极小值没有必定的大小关系；④一般的状况，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必需条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点双侧异号.6．求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即f/(x)＝0的解x0；②用极值的方法确立极值；③将（，）内的极值与f(a)，f(b)比较，此中最大的为最大值，最小的ab为最小值；当f(x)在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处f(x)有极大（小）值，则能够确立f(x)在该点处了取到最大（小）值.7．利用求导方法议论函数的单一性，要注意以下几方面：①f'(x)＞0是f(x)递加的充分条件而非必需条件（f'(x)＜0亦是这样）；②求单一区间时，第一要确立定义域；而后再依据f'(x)＞0（或f'(x)＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要结构函数和确立定义域，其次运用求导的方法来证明.8．函数、导数的综合问题常常以压轴题的形式出现，解决这种问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来剖析解决问题；(2)实时地进行思想的变换，将问题等价转变；(3)不等式证明的方法多，应注意适合运用，特别要注意放缩法的灵巧运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单一性与最值问题.【典型例题剖析】考点一、利用导数求解函数的单一性问题若f(x)在某区间上可导，则由f(x)＞0(f(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不必定，如：函数f(x)＝x3在R上递加，而f(x)≥0.f(x)在区间D内单一递加(减)的充要条件是f(x0)≥0(≤0)，且f(x)在(a，b)的随意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单一性的主要题型：(1)依据函数分析式，求函数的单一区间；(2)依据函数的单一性函数求解参数问题；(3)求解与函数单一性有关的其余问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例1】2010课标全国Ⅰ、设函数f(x)ex1xax2。（Ⅰ）若a0，求f(x)的单一区间；（II）若当x0时f(x)0，求a的取值范围【例2】2010北京、已知函数f(x)=In(1+x)-x+xx2(k≥0)。(Ⅰ)当k=2时，求曲线2y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单一区间。【例3】2010天津、已知函数f(x)=xe-x（xR）.(Ⅰ)求函数f(x)的单一区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象对于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)(Ⅲ)假如x1x2,且f(x1)f(x2),证明x1x22【例4】2010山东已知函数f(x)lnxax1a1(aR).(Ⅰ)当a1x时，议论f(x)2的单一性；（Ⅱ）设g(x)x22bx4.当a1时，若对随意x1(0,2)，存在x21,2，4使f(x1)g(x2)，务实数b取值范围.考点二、求函数的极值问题极值点的导数必定为0，但导数为0的点不必定是极值点，同时不行导的点可能是极值点.所以函数的极值点只好在导数为0的点或不行导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)依据函数分析式求极值；(2)依据函数的极值求解参数问题.解答时要注意正确应用利用导数求极值的原理求解.【例5】2010江西文17．（本小题满分12分）设函数f(x)6x33(a2)x22ax.（1）若f(x)的两个极值点为x1,x2，且x1x21，务实数a的值；（2）能否存在实数a，使得f(x)是(,)上的单一函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明原因.【例6】2010全国I文已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x（I）当a1时，求f(x)6的极值;（II）若f(x)在1,1上是增函数，求a的取值范围【例7】2010北京文设定函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，且方程f'(x)9x0的3两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的分析式；（Ⅱ）若f(x)在(,)无极值点，求a的取值范围。考点三、求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较全部极值点与端点的函数值所得结果，所以函数在闭区间[a，b]上的端点函数值必定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不必定是函数的最值，最值也不必定是极值.此外求解函数的最值问题，还能够直接联合函数的单一性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)依据函数的分析式求函数的最大值；(2)依据函数在一个区间上的最值状况求解参数问题.【例8】2010福建文已知函数f（x）=1x3x2axb的图像在点P（0,f(0)）处的切线3m是[2,方程为y=3x-2(Ⅰ)务实数a,b的值；(Ⅱ)设g（x）=f(x)+]上的增函数。（i）x1务实数m的最大值；(ii)当m取最大值时，能否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个关闭图形，则这两个关闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明原因。【例9】2010江西设函数fxlnxln2xax(a0)。（1）当a=1时，求fx的单一区间。（2）若fx在01，上的最大值为1，求a的值。()(1)ln221【例10】2010辽宁已知函数fxaxax）议论函数f(x)的单一性；（II）（I设a1.假如对随意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)4|x1x2|，求a的取值范围。【例11】2010广东省文、已知函数f(x)对随意实数x均有f(x)kf(x2)，此中常数k为负数，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)x(x2)．（1）求f(1)，f(2.5)的值；（2）写出f(x)在3,3上的表达式，并议论函数f(x)在3,3上的单一性；（3）求出f(x)在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．考点四、函数与导数综合问题导数是研究函数的工具，导数进入新教材以后，给函数问题注入了活力和活力，开拓了很多解题新门路，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一同是理所应当的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比率函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不单限于求定义域，值域，单一性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制常常融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，经过演绎证明，运算推理等理性思想，解决单一性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这种题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类议论思想、数形联合思想、转变与划归思想。【例12】2010全国I理(20)(本小题满分12分)已知函数f(x)(x1)lnxx1.（Ⅰ）若xf'(x)x2ax1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：(x1)f(x)0.【例13】2010陕西、已知函数f(x)=x，g（x）=alnx，aR。(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)订交，且在交点处有同样的切线，求a的值及该切线的方程；(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的分析式；对(Ⅱ)中的(a)，证明：当a（0，+）时，(a)1.考点五、导数与数学建模的问题此类试题主假如利用函数、不等式与导数相联合设计实质应用问题，旨在考察考生在数学应用方面阅读、理解陈说的资料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实质问题的能力，这是高考取的一个热门.解答近似于此题的问题时，可从给定的数目关系中选用一个适合的变量，成立函数模型，而后依据目标函数的结构特色(特别规函数)，确立运用导数最值理论去解决问题.【例14】2010湖北、为了在夏天降平和冬天供暖时减少能源消耗，房子的屋顶和外墙需要建筑隔热层．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为6万元．该建筑物每年的能源耗费资用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）知足关系：k0x10，若不建隔热层，每年能源耗费资用为8万元．设fx为隔热Cx53x层建筑花费与20年的能源耗费资用之和．（Ⅰ）求k的值及fx的表达式；（Ⅱ）隔热层修筑多厚对，总花费fx达到最小，并求最小值．【例15】某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的极点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了办理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的地区上（含界限），且A,B与等距离的一点O处建筑一个污水办理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．（Ⅰ）按以下要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；②设OPx(km)，将y表示成xx的函数关系式．（Ⅱ）请你采用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确立污水办理厂的地点，使三条排污管道总长度最短．【打破训练】1、已知函数f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x-y+7=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的分析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单一区间.2是函数f(x)的一2、已知定义在R上的函数f(x)＝x(ax－3)，此中a为常数.(Ⅰ)若x＝1个极值点，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围3、设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对全部的x≥0，都有f(x)≥ax成立，务实数a的取值范围．4、2010天津市文、已知函数f(x)=ax33x21(xR)，此中a>0.2（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间1,1上，22f(x)>0恒成立，求a的取值范围.5、2010浙江文、已知函数f(x)＝（π－a）（a－b）（a，b∈R，a<b）.（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点（2，f（2））处的切线方程;（Ⅱ）设x，x2是f(x)的两个极1值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种次序摆列后组成等差数列，并求x4.6、已知函数f(x)＝kx2＋1(c＞0，且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其x＋c中一个是x＝－c．(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点；(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M－m≥1时k的取值范围．7、2010全国II理、设函数fx1exx-1x；时，．（Ⅰ）证明：当＞x1x（Ⅱ）设当x0时，fx，求a的取值范围．ax18、2010重庆、已知函数x1ln(x1)，此中实数a1.（Ⅰ）若a2，求f(x)ax曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）若f(x)在x1处获得极值，试议论f(x)的单一性.9、2010四川、设f(x)1ax（a0且a1），g(x)是f(x)的反函数.（Ⅰ）设对于x1axt的方程logag(x)在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（Ⅱ）当(x21)(7x)n2n21a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：g(k)n；（Ⅲ）当0＜a2n(n1)≤时，试k22n比较f(k)n与4的大小，并说明原因.k110、2010江苏、设f(x)使定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f'(x).假如存在实数a和函数h(x)，此中h(x)对随意的x(1,)都有h(x)>0，使得f'(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)拥有性质P(a).(1)设函数f(x)lnxb2(x1)，此中b为实数.(i)x1求证：函数f(x)拥有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单一区间.(2)已知函数g(x)拥有性质P(2)，给定x1,x2(0,),x1x2,设m为实数,mx1(1m)x2，(1m)x1mx2，且1,1，若|g()g()|<|g(x1)g(x2)|,求m的取值范围.11、2010湖南文、已知函数f(x)ax(a1)lnx15a，此中a<0，且a≠－1.（Ⅰ）x议论函数f(x)的单一性；（Ⅱ）设函数g(x)(2x33ax26ax4a26a)ex,x1,ef(x),x1（e是自然对数的底数）.能否存在a，使g(x)在[a,－a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明原因.12、甲方是一农场，乙方是一工厂．因为乙方生产须占用甲方的资源，所以甲方有权向乙方索赔以填补经济损失并获取必定净收入，在乙方不赔付甲方的状况下，乙方的年收益x（元）与年产量t（吨）知足函数关系x2000t．若乙方每生产一吨产品一定赔付甲方s元（以下称s为赔付价钱），（Ⅰ）将乙方的年收益w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获取最大收益的年产量；（Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额0.002t2（元），在乙方依据获取最大收益的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价钱s是多少？13、两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧造垃圾办理厂，其对城市的影响度与所选地址到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾办理厂对城A和城B的总影响度为y,统计检查表示：垃圾办理厂对城A的影响度与所选地址到城A的距离的平方成反比，比率系数为4；对城B的影响B的距离的平方成反比