考研高数总复习第九章欧几里得空间第一节(讲义)

在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称为线性运算.如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映.但是向量的度量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊的地位，因此有必要引入度量的概念.第一页，共29页。解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本概念.第二页，共29页。一、内积1.定义定义1

设V

是实数域R上一线性空间，在V

上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(,)，它具有以下性质：1)

(,)=

(

,

)；2)

(k,)=

k(

,)；3)

(+,)=

(

,

)+(

,

)；4)

(,

)0，当且仅当

=0时(,

)=0.第三页，共29页。这里

,,

是V

中任意的向量，k

是任意实数，这样的线性空间V

称为欧几里得空间.在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限维的.几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间.第四页，共29页。2.欧几里得空间举例下面再看两个例子.例1

在线性空间Rn

中，对于向量

=(a1,a2,…,an),

=(b1,b2,…,bn),定义内积(,

)=a1b1+a2b2+…+anbn.(1)显然，内积(1)适合定义中的条件，这样，Rn就成为一个欧几里得空间.以后仍用Rn来表示这第五页，共29页。个欧几里得空间.在n=3时，(1)式就是几何空间中向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2

在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中，对于函数f(x),g(x)定义内积由定积分的性质不难证明，对于内积(2)，C(a,b)构成一欧几里得空间.第六页，共29页。同样地，线性空间R[x],R[x]n

对于内积(2)也构成欧几得里空间.3.欧几里得空间的性质下面来看欧几里得空间的一些基本性质.首先，定义中条件表明内积是对称的.因此，与相当地就有2)

(,k)=

(k,)=

k(

,

)=

k(,

)；3)

(,+)=

(+,)=

(

,

)+(,)=

(

,

)+(,).第七页，共29页。由条件有(,

)0.所以对于任意的向量

，是有意义的.在几何空间中，向量的长度为类似地，我们在一般的欧几里得空间中引进向量长度的概念.第八页，共29页。二、长度1.定义定义2

非负实数称为向量的长度，记为||.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：第九页，共29页。2.性质性质1

设k

R,V,则有|k|=|k|||.(3)证明第十页，共29页。性质2柯西-布涅柯夫斯基不等式设,是任意两个向量，则|(,

)||||

|，

(4)当且仅当,线性相关时，等号才成立.证明当

=0时，(4)式显然成立.以下设

0.令t

是一个实变数，作向量=+t

.由可知，不论t取何值，一定有第十一页，共29页。(,)=(+t

,+t

)0.

即(,)+2(,)t+(

,

)t2

0.(5)

取代入(5)式，得第十二页，共29页。即(,)2

(,)

(

,

).两边开方便得|(,

)||||

|.当,线性相关时，等号显然成立.反过来，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者

=0或者也就是说,线性相关.证毕第十三页，共29页。3.两个著名的不等式对于中的欧几里得空间Rn

，式就是对于中的欧几里得空间C(a,b)，式就是第十四页，共29页。4.单位向量长度为1的向量称为单位向量.如果0，则由|k|=|k|||知，向量是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.第十五页，共29页。三、夹角1.夹角的定义定义3

非零向量,的夹角<,>规定为第十六页，共29页。2.三角不等式根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，我们有三角形不等式|+|||+|

|.(6)因为|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)||2+2|||

|+|

|2

=(||+|

|)2.所以|+|||+|

|.第十七页，共29页。3.正交定义4

如果向量,的内积为零，即(,)=0，那么,称为正交或互相垂直，记为

.显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交的说法是一致的.两个非零向量正交的充分必要条件是它们的夹角为由定义立即看出，只有零向量才与自已正交.第十八页，共29页。在欧几里得空间中同样有勾股定理，即当,正交时，|+|2=||2+|

|2.事实上，|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)=||2+|

|2.第十九页，共29页。不难把勾股定理推广到多个向量的情形，即如果1,2,…,m

两两正交，那么|1+2+…+m

|2=|1

|2+|2

|2+…+|m

|2.在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任何限制.从现在开始，我们假定空间是有限维的.第二十页，共29页。四、度量矩阵设V

是一个n

维欧几里得空间，在V

中取一组基1,2,…,n,对于V

中任意两个向量=x11+x22+…+xnn,=y11+y22+…+ynn,由内积的性质得(,)=(x11+x22+…+xnn,y11+y22+…+ynn

)第二十一页，共29页。令aij

=(i

,j

)(i,j=1,2,…,n),(7)显然aij

=aji

.于是利用矩阵，(,)还可以写成第二十二页，共29页。(,)=XTAY

，(9)其中分别是,的坐标，A=(aij

)nn

称为基1,2,…,n的度量矩阵.而矩阵第二十三页，共29页。上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按(8)或(9)来计算，因而度量矩阵完全确定内积.设1,2,…,n是空间V

的另外一组基，而由1,2,…,n到1,2,…,n的过渡矩阵为C,即(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C.于是不难算出，基1,2,…,n的度量矩阵第二十四页，共29页。B=(bij

)=(i,j)=CTAC.(10)这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.根据条件对非零向量，即有(,)=XTAX>0.因此，度量矩阵是正定的.第二十五页，共29页。反之，给定一个n

级正定矩阵A

及n

维实线性空间V

的一组基1,2,…,n.可以规定内积，使它成为欧几里得空间，并且基