数学小升初拓展分类讲解牛吃草问题全国通用

第十二讲牛吃草问题【知识梳理】知识点：一、定义伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题：“12头牛4周吃牧草格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。”（格尔——牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。二、特点在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。【典例剖析】例1牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。【解】假设1头牛每天吃1份草27头牛6天吃草：27×6×1=162(份)（原有草+6天长的新草）23头牛9天吃草：23×9×1=207（份）（原有草+9天长的新草）3天长的新草：207-162=45（份）每天就长新草45÷3=15（份）原有草：162-6×15=72（份）设可供21头牛吃天，则有72+15=21解得：=12答：可供21头牛吃12天。反馈练习1、一片牧场可供24头牛吃6周，20头牛吃10周，这片牧场可供18头牛吃几周？例2因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量【解】假设1头牛每天吃1份草33头牛5天吃：33×1×5=165（份）（原有草-5天减少的草）24头牛6天吃：24×1×6=144（份）（原有草-6天减少的草）1天减少的草：165-144=21（份）原有草：165+5×21=270（份）设可供头牛吃10天，则：270-10×21=10解得=6答：供6头牛吃10天.反馈练习2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？例3自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。【解】假设楼梯每分钟上个台阶，（相当于每天长的新草）5×25+5=6×20+6解得：=5扶梯总数：5×25+5×5=150答：扶梯共有150个台阶。反馈练习3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？例4一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键【解】设1个人1小时舀1份水12人3小时舀的水：12×1×3=36份5人10小时舀的水：5×1×10=50份则，7小时进水14份，每小时进水2份原有水：36-3×2=30份则需要：（30+2×7）÷2=22人答：需要22人。反馈练习4、－只船发现漏水时，已进了－些水，现在水匀速进入船内，如果lO人舀水，3小时可舀完；5人舀水8小时可舀完．如果要求2小时舀完，要安排多少人舀水?例5有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【解】假设1头牛1天吃1份草17头牛30天吃的草：17×1×30=510（份）原来草+30天长的新草19头牛24天吃的草：191×1×24=456（份）原来草+24天长的新草所以6天长的新草：510-456=54(份)每天张新草：54÷6=9（份）原来的草：510-9×30=240（份）设共有头牛，6天后还有（-4）头，活着的牛吃了8天，共吃：（-4）×8死去的4头牛吃了6天，共吃：4×6则有：（-4）×8+4×6=240+8×9解得：=40答：原来有牛40头.反馈练习5、－片草地如果9头牛吃。12天吃完所有的草，如果8头牛吃，16天吃完所有的草．现在开始只有4头牛，从第7天起又增加了．若干头牛，再6天吃完所有草．问增加了多少头牛?【过关练习】1、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？2、一个牧场上长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，这片青草可供58头牛吃7周，或供48头牛吃9周，那么，可供多少头牛吃5周？3、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供多少头牛吃8天？4、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而在匀速地在减少，已知某块地上的草可供21头牛吃10天，或可供30头牛吃8天，照此计算，可供45头牛吃多少天？5、用2台同样的抽水机抽干一个有泉水的水库需40小时，用3台这样的抽水机抽干这个水库需24小时，试问，若要8小时抽干这个水库，需要这样的抽水机多少台？(泉水均匀地向水库渗水)6、一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可供21头牛吃多少周？7、有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完。要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？8、禁毒图片展8点开门，但很早便有人排队等候入场。从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，8点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8点5分就没有人排队。第一个观众到达时距离8点还有多少分钟？【提高练习】1、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩子每分钟走16级楼梯，女孩子每分钟走12级楼梯，结果男孩子用5分钟到达楼上，女孩子用6分钟到达楼上，该扶梯共有多少级？2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？3、有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？4、某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？5、某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加了多少辆汽车？6、天山草场，假设每天草都均匀生长。这片草场