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文档简介
第九章非线性回归
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的,如毒物剂量与动物死亡率,人的生长曲线,药物动力学等,都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息,甚至得出错误结论。这时可以用曲线直线化估计(Curveestimation)或非线性回归(Nonlinearregression)方法分析,也称曲线拟合(Curvefitting)。
绘制散点图,根据图形和专业知识选取曲线类型(可同时选取几类)按曲线类型,作曲线直线化变换建立直线化的直线回归方程;作假设检验,计算决定系数将变量还原,写出用原变量表达的曲线方程比较决定系数选取“最佳”曲线方程曲线直线化估计的步骤曲线形式
(根据生物学机制理论决定)
常见的曲线回归方程②对数:①幂函数:或
③指数函数:④多项式:
或
⑤logistic:或
第一节、利用线性回归拟合曲线例9-1上海医科大学微生物学教研室以已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA,μg/ml)作火箭电泳,测得火箭高度Y(mm)如表1所示。试拟合Y关于X的非线性回归方程。XYX'=lnX
(lnX)2Y2(lnX)Y
残差平方0.27.6-1.60940.412.3-0.91630.615.7-0.51080.818.2-0.22311.018.701.221.40.18231.422.60.33651.623.80.4700合计140.3-2.27082.590257.76-12.23140.8396151.29-11.27050.2609246.49-8.01960.0498331.24-4.06040.0000349.690.00000.0332457.963.90120.1132510.767.60490.2209566.4411.18604.1078
2671.63
-12.8898
7.2312.6215.7718.0119.7521.1622.3623.40
0.13800.10170.00530.03611.09210.05630.05660.15971.6458(三)建立线性回归方程
回归方程为:=19.7451+7.7771lnX方差分析有统计学意义,P=0.0000,F=763.50,表明回归方程有贡献。确定系数为0.99,表明回归拟合原资料很好。用线性回归拟合曲线(例2)表9-225名重伤病人的住院天数X与预后指数Y编号123456789101112131415X257101419263134384552536065Y54504537352520161813811846(一)绘制散点图,决定曲线类型
(三)建立线性回归方程
回归方程为:4.037-0.038X方差分析有统计学意义,P=0.0000,F=276.38,表明回归方程有贡献。确定系数为0.9551,表明回归拟合原资料较好。转换为原方程的另一种形式:
比较两个回归方程可见,对同一份样本采用不同估计方法得到的结果并不相同。主要因为曲线直线化以后的回归只对变换后的Y*(=lnY)负责,得到的线性方程可使Y*与其估计值之间的残差平方和最小,并不保证原变量Y与其估计值之间的残差平方和也是最小。曲线直线化非线性最小二乘法问题:如何判断哪个曲线拟合方程更佳?对于例2,几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下(曲线直线化):线性(直线)R2:0.8856(y=46.4604-0.7525x)幂曲线R2:0.8293(y=159.9297x-0.7191)对数曲线R2:0.9654(y=72.2829-15.9662Ln(x)
)指数曲线R2:
0.9551(y=56.6651e-0.0380x)二项式曲线R2:0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2
)问题:如何判断那个曲线拟合方程更佳?对于例2,几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下(非线性回归——迭代法):线性(直线)R2:0.8856(y=46.4604-0.7525x)幂曲线R2:0.8413(y=88.7890x-0.4662)对数曲线R2:0.9654(y=72.2829-15.9662Ln(x)
)指数曲线R2:
0.9875(y=58.6066e-0.0396x)二项式曲线R2:0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2
)原变量Y与(直线或曲线方程得到)间相关系数的绝对值=相关指数R线性(直线)R:=X与Y间相关系数绝对值幂曲线R:=lnX与lnY间相关系数绝对值对数曲线R:=lnX与Y间相关系数绝对值指数曲线R:
=
X与lnY间相关系数绝对值二项式曲线R:
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