隐函数及其参变量函数的求导方法

隐函数及其参变量函数的求导方法第一页，共二十五页，2022年，8月28日三、相关变化率一、隐函数的导数

二、由参数方程确定的函数的导数

主要内容：第二页，共二十五页，2022年，8月28日一、隐函数的导数隐函数的显化例如：可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.例如：问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?第三页，共二十五页，2022年，8月28日隐函数求导法注意：视y=y(x),应用复合函数的求导法直接对方程F(x,y)=0两边求导，然后解出y

即得隐函数的导数.两边对x求导(含导数的方程)若确定了隐函数，怎样求y？第四页，共二十五页，2022年，8月28日例1解解得第五页，共二十五页，2022年，8月28日例2解于是，所求切线方程为第六页，共二十五页，2022年，8月28日练习第七页，共二十五页，2022年，8月28日例3解第八页，共二十五页，2022年，8月28日设由方程确定,

解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得，再代入②得求①练习第九页，共二十五页，2022年，8月28日对数求导法

先对y=f(x)（>0）两边取对数(或加绝对值后两边取对数),然后利用隐函数的求导方法求出导数，实际上，对数求导法是利用隐函数求导法求显函数导数的一种方法。适用范围:第十页，共二十五页，2022年，8月28日例4解等式两边取对数,得第十一页，共二十五页，2022年，8月28日例5解等式两边取绝对值再取对数，得第十二页，共二十五页，2022年，8月28日练习第十三页，共二十五页，2022年，8月28日二、由参数方程所确定的函数的导数例如:消去参数t得问题:

消参数困难或无法消去参数时如何求导?第十四页，共二十五页，2022年，8月28日平面曲线参数方程的一般形式第十五页，共二十五页，2022年，8月28日第十六页，共二十五页，2022年，8月28日时,有(此时看成x是y的函数)平面曲线参数方程的一般形式第十七页，共二十五页，2022年，8月28日若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得第十八页，共二十五页，2022年，8月28日例6.

设,且求解:第十九页，共二十五页，2022年，8月28日例7.设由方程确定函数求解:方程组两边对t

求导,得故第二十页，共二十五页，2022年，8月28日三、相关变化率两个相互关联的变化率称为相关变化率。当已知两个变量的关系后，可从其中一个变化率求出另一个变化率。解法:

通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日例8解仰角增加率h米第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日试求当容器内水例9.

有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:

设时刻t容器内水面高度为x,水的两边对t求导而故体积为V,则第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法:求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式4.相关变化率问题列出依赖于