应力和应变分析强度理论

应力和应变分析强度理论第一页，共125页。应力和应变分析强度理论/应力状态概述§7.1应力状态概述第二页，共125页。1.应力的面的概念一.应力的三个重要概念2.应力的点的概念3.应力状态的概念应力和应变分析强度理论/应力状态概述第三页，共125页。应力和应变分析强度理论/应力状态概述1.应力的面的概念轴向拉压:F对比同一点在不同截面上的应力是否相同？F即使同一点在不同方位的截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。第四页，共125页。

同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。2.应力的点的概念横力弯曲时矩形截面上正应力和切应力分布图应力和应变分析强度理论/应力状态概述对比同一个面上不同点的应力是否相同？第五页，共125页。过一点不同方向面上所有应力的集合，称之为这一点的应力状态。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明3.应力状态的概念应力和应变分析强度理论/应力状态概述第六页，共125页。围绕一点取出单元体dxdydz,,®0应力和应变分析强度理论/应力状态概述二.主平面和主应力用单元体的应力状态代替一点的应力状态。第七页，共125页。x-y坐标系xp-yp坐标系★同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：应力和应变分析强度理论/应力状态概述对比后者应力状态与前者有何不同。第八页，共125页。主应力：主平面：通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以s1，s2

和

s3表示。s1s2

s3单元体上切应力为零的平面。主平面上的正应力。应力和应变分析强度理论/应力状态概述第九页，共125页。三.应力状态的分类简单应力状态复杂应力状态单向应力状态纯剪切应力状态两个主应力为零的应力状态。只有切应力的应力状态。两向应力状态三向应力状态一个主应力为零的应力状态。主应力都不为零的应力状态。第十页，共125页。应力和应变分析强度理论/应力状态概述应力状态的示意图：简单应力状态复杂应力状态单向应力状态纯剪切应力状态二向应力状态三向应力状态第十一页，共125页。巩固练习第十二页，共125页。1.过受力构件内一点，取截面的不同方位，这一点在各个面上的（）。（A）正应力相同，切应力不同；（D）正应力和切应力都不同。（B）正应力不同，切应力相同；（C）正应力和切应力都相同；第十三页，共125页。2.关于单元体的描述，下列正确的是（A）单元体的三维尺寸必须是微小的；（B）单元体是平行六面体；（C）单元体必须是正方体；（D）单元体必须有一对横截面。第十四页，共125页。3.对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的A点，哪一种应力状态是正确的。

第十五页，共125页。4.在单元体的主平面上（）。（A）正应力一定最大；（D）切应力一定为零。（B）正应力一定为零；（C）切应力一定最小；第十六页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态实例§7.2二向应力状态实例第十七页，共125页。1.圆柱形一.二向应力状态实例承受内压薄壁容器任意点的应力状态2.圆球形第十八页，共125页。二.二向应力状态实例分析1.Q235钢制成的薄壁圆筒形蒸汽锅炉，壁厚δ，内径D，蒸汽压力p，试计算锅炉壁内任意一点处的三个主应力。Lｐ注：薄壁圆筒受力均匀，因此，任意点的应力状态均相同。第十九页，共125页。1.求水平方向上的正应力σx第二十页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态实例ｐｐπD２４)Dp(xs第二十一页，共125页。2.求竖直方向上的正应力σy第二十二页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态实例ｐｐ×Ｄ×ｌ第二十三页，共125页。3.求垂直于纸面方向上的正应力σz薄壁圆筒与纸面垂直方向上的σz为零.第二十四页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态实例总结：薄壁圆筒为两向应力状态薄壁圆筒的三个主应力为：第二十五页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态实例注意事项2.轴向正应力是横向正应力的两倍；3.按规定排列正应力。1.注意单位配套使用；第二十六页，共125页。课本215页例7.1如下第二十七页，共125页。由Q235钢制成的蒸汽锅炉，壁厚δ=10mm，内径D=1m，蒸汽压力p=3MPa，试计算锅炉壁内任意一点处的三个主应力。第二十八页，共125页。经分析，薄壁圆筒为两向应力状态第二十九页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态实例2.圆球形容器的壁厚为δ，内径为D，内压为p，求容器内任意一点的应力。ｐ注：薄壁圆球受力均匀，因此，任意点的应力状态均相同。第三十页，共125页。1.求水平方向上的正应力σxｐ第三十一页，共125页。ｐ第三十二页，共125页。2.求竖直方向上的正应力σyｐ第三十三页，共125页。ｐ由球体形态的特殊对称性，得第三十四页，共125页。3.求垂直于纸面方向上的正应力σzｐ薄壁圆筒与纸面垂直方向上的σz为零.第三十五页，共125页。受内压的球形薄壁容器为二向应力状态球形薄壁容器的三个主应力为：第三十六页，共125页。§7.3二向应力状态分析——解析法应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法第三十七页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法◆解析法解决的问题二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，确定通过这一点的其他截面上的应力，以及确定主应力和主平面。（举例说明如下）第三十八页，共125页。二向应力状态下，单元体各面上应力分量皆为已知，如下图所示：xy求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力及主应力和主平面ef应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法第三十九页，共125页。拉为正压为负1.正应力正负号规定一.符号规定应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法第四十页，共125页。使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。2.切应力正负号规定应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法注意：切应力角标的含义及切应力互等定理第四十一页，共125页。由x逆时针转到n为正；反之为负。yx3.角正负号规定应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法第四十二页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法二.已知如图，求任意斜截面ef上的应力xyef需利用：截面法第四十三页，共125页。efa截面法求ef斜截面上的应力xyef应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法第四十四页，共125页。参加平衡的量：应力乘以其作用的面积

平衡方程——及应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法efadAntdA·cosdA·sin微元局部列平衡第四十五页，共125页。解得：应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法xyef第四十六页，共125页。三.求正应力的极值应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法可见，正应力σ是角度α的函数思考：如何求正应力的极值？第四十七页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法分析：可求出相差90度的两个角度αo确定两个相互垂直的平面分别为最大、最小正应力所在平面第四十八页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法将两个角度αo均带入公式得：可见：1.α

o对应的两个平面为主平面；2.最大和最小正应力即为主应力。第四十九页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法将两个角度αo均带入公式求得两个主应力得：注意：如σx

的代数值大于等于σy，则绝对值较小的αo确定σmax所在的平面。第五十页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法四.求切应力的极值（要求低）思路：最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为45°。结论：第五十一页，共125页。巩固练习第五十二页，共125页。练习一：一点处的平面应力状态如图所示。试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法第五十三页，共125页。（1）斜面上的应力应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法第五十四页，共125页。（2）主应力、主平面应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法第五十五页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法（3）绘制主应力单元体αo=15.48°或αo=105.48°根据主平面角度和主应力大小绘图且αo=15.48°或αo=105.48°第五十六页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法思考：σ1（即σmax）应在哪个主平面上？σ1应位于绝对值较小的α

o确定的主平面上？第五十七页，共125页。练习二：一点处的平面应力状态如图所示，试求主应力和主平面，并绘出主应力单元体。分析：详解同上题，略第五十八页，共125页。练习三：试求图示单元体的主应力（分析思路）。

第五十九页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法独立完成课本219页例7.3第六十页，共125页。五.利用应力状态分析圆轴扭转时的破坏现象1.圆轴扭转时的破坏现象铸铁：第六十一页，共125页。抗压强度＞抗剪强度＞抗拉强度铸铁：因此，铸铁扭转时将沿正（拉）应力最大的截面被拉断。2.圆轴扭转时的破坏机理分析第六十二页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法3.圆轴扭转时的应力状态分析计算１.确定圆轴扭转时的危险点扭转时横截面上只有切应力，且圆轴表面各点的切应力最大。第六十三页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法（2）分析计算圆轴表面上各点的应力状态扭转时横截面上的最大切应力为：第六十四页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——解析法画出圆轴表面点的应力状态：第六十五页，共125页。（3）计算主平面及主应力，分析铸铁扭转破坏现象s1=smax

=

τ，s2=0

，s3=smin

=

－τ结论：最大拉应力所在的主平面与x轴夹角为-45°。第六十六页，共125页。抗压强度＞抗剪强度＞抗拉强度铸铁：铸铁扭转时最大拉应力所在的主平面与x轴夹角为-45°，因此铸铁断裂时的裂纹联成倾角为-45°的螺旋线。第六十七页，共125页。§7.4二向应力状态分析——图解法应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法第六十八页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法一.应力圆方程第六十九页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法二.应力圆简介cR第七十页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法三.应力圆的画法DD’在

s-t坐标系中，找出与单元体D、D’面上的应力对应的点D和D’D(sx,txy)D’(sy,tyx)连DD’交σ轴于C点，C即为圆心，CD为应力圆的半径C第七十一页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法四.应力圆与单元体的对应关系1.点面对应:应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力。DD’CDD’第七十二页，共125页。yx2.转向对应:单元体方向面的法线旋转方向与应力圆半径旋转方向一致。CaAa'23.二倍角对应:应力圆半径转过的角度是单元体方向面旋转角度的两倍。o应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法A’第七十三页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法五.应力圆的应用1.确定主平面和主应力tyxsxsytxytsoC2α0adAD应力圆与横轴的交点对应的截面主平面：主应力：OA1，OB1第七十四页，共125页。2.确定最大切应力对应应力圆上最高点的切应力。tmaxtscad判断：最大切应力所在平面与主平面夹角为45°，且最大切应力是最大正应力的一半。第七十五页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法一点处的应力状态如图，试求斜面上的应力，主应力和主平面，并绘出主应力单元体。图解法练习第七十六页，共125页。tsoc选定比例尺，画应力圆第七十七页，共125页。找出应力圆上α斜面对应的点（量出其坐标即为应力）一.求α斜面上的应力tsoc第七十八页，共125页。二.求主平面和主应力tsoc找出应力圆上主平面的位置（量出其坐标和对应角度）第七十九页，共125页。三.绘制主应力单元体根据主平面角度αo和主应力大小绘图第八十页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法注意事项：1.画应力圆时必须首先选定比例尺；2.根据对应关系找准α斜面和主平面对应的位置。第八十一页，共125页。应力和应变分析强度理论/二向应力状态分析——图解法已完成225页例7.6要求独立完成226页例7.7

（同时采用解析法和图解法）第八十二页，共125页。应力和应变分析强度理论/广义胡克定律§7.8广义胡克定律第八十三页，共125页。--泊松比yx一.狭义胡克定律（单向）及泊松比即单向拉伸或压缩时的胡克定律及泊松比应力和应变分析强度理论/广义胡克定律第八十四页，共125页。二.广义胡克定律三向应力状态的胡克定律思考：如何求三向应力引起的总的应变？1.将三向应力分解成三个单向应力;2.分别求每个应力引起的三个方向上的应变;2.将每个方向上的应变进行合成.第八十五页，共125页。1叠加法的求解过程演示:++23应力和应变分析强度理论/广义胡克定律1.将三向应力分解第八十六页，共125页。123应力和应变分析强度理论/广义胡克定律2.根据单向胡克定律和泊松比分别计算每个方向上的应力引起的三个方向上的线应变第八十七页，共125页。312123应力和应变分析强度理论/广义胡克定律第八十八页，共125页。1233.分别将三个方向上的应变合成，即得广义胡克定律应力和应变分析强度理论/广义胡克定律第八十九页，共125页。应力和应变分析强度理论/广义胡克定律广义胡克定律为：第九十页，共125页。应力和应变分析强度理论/广义胡克定律思考1.根据广义胡克定律,能否判断三个应变的大小。最大与最小应变分别发生在最大与最小主应力方向2.单向应力只会产生一个方向上的线应变,这种说法是否正确，通过计算说明。第九十一页，共125页。在一体积比较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱，圆柱受到F=300KN的轴向压力，假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。E、μ已知。三.广义胡克定律的应用第九十二页，共125页。应力和应变分析强度理论/广义胡克定律分析已知条件：1.圆柱受到F=300KN的轴向压力横截面上只有轴向压力，而无剪力，说明此横截面为主平面，压力产生的压应力是主应力中的一个，而且是最小的一个，即σ3=-F/A。第九十三页，共125页。应力和应变分析强度理论/广义胡克定律2.钢块内有一凹座，钢块不变形，将一圆柱放入凹座内，圆柱受压。

在轴向压缩下，圆柱将产生横向膨胀，在它塞满凹座后，凹座与柱体之间产生均匀的径向压力，仍无剪力。因此，得出结论：σ1=σ2（未知）

由于钢块不变形，圆柱塞满凹座引起的主平面的径向应变为：ε1=ε2=(凹座直径-圆柱直径)/圆柱直径第九十四页，共125页。计算过程：应力和应变分析强度理论/广义胡克定律将各已知条件代入广义胡克定律σ1=σ2=?第九十五页，共125页。ac13b2变形前单元体体积：变形后单元体体积：0四.体积胡克定律应力和应变分析强度理论/广义胡克定律第九十六页，共125页。单位体积变形：（体应变）利用广义胡克定律：式中：（体积弹性模量）（平均主应力）（体积虎克定律）应力和应变分析强度理论/广义胡克定律第九十七页，共125页。应力和应变分析强度理论/广义胡克定律总结体积胡克定律为：体应变θ与平均主应力σm成正比。内容：第九十八页，共125页。★体积胡克定律分析：应力和应变分析强度理论/广义胡克定律1.体应变θ只与三个主应力之和有关，与主应力的大小比例无关。第九十九页，共125页。tttt45ｏ应力和应变分析强度理论/广义胡克定律2.纯剪切时的主应力为：σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ所以体应变为：★结论：纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积改变与切应力无关。第一百页，共125页。§7.10强度理论概述应力和应变分析强度理论/强度理论概述第一百零一页，共125页。应力和应变分析强度理论/强度理论概述脆性材料塑性材料一.回顾两种强度失效形式第一百零二页，共125页。脆性材料断裂强度极限b塑性材料屈服屈服极限s材料类型失效形式承受最大应力应力和应变分析强度理论/强度理论概述第一百零三页，共125页。应力和应变分析强度理论/强度理论概述b和s称为极限应力，可由试验测定二.单向应力状态下强度条件的建立将极限应力除以安全系数即得许用应力[]因此，单向应力状态下的强度条件为：

max≤

[]第一百零四页，共125页。应力和应变分析强度理论/强度理论概述四.强度理论

为了建立复杂应力状态下的强度条件而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。定义：具体内容介绍如下三.建立一般应力状态下强度条件的困难试验复杂第一百零五页，共125页。内容：

1.尽管失效现象比较复杂，但由于强度不足引起的失效主要还是屈服和断裂两种类型；

3.不论是处于什么应力状态，相同的破坏形式是由于相同原因造成的。

2.材料之所以按某种方式（屈服或断裂）失效，是应力、应变或应变能密度中某一因素引起的；应力和应变分析强度理论/强度理论概述第一百零六页，共125页。应力和应变分析强度理论/强度理论概述缺陷：强度理论既然是推测强度失效原因的一些假说，它是否正确，适用于什么情况，必须由生产实践来检验。经常是适用于某种材料的强度理论并不适用于另一种，或者在某种条件下适用的理论，又不适用于另一种条件。本章只重点介绍四种比较成熟的常用强度理论。因此，第一百零七页，共125页。下列强度理论的描述正确的是（）。（A）需模拟实际应力状态逐一进行试验，确定极限应力；（D）假设材料破坏的共同原因，同时需要简单试验结果。（B）无需试验，只需关于材料破坏原因的假说；（C）需要进行某些简单试验，无需关于材料破坏原因的假说；理解练习第一百零八页，共125页。§7.11四种常用强度理论应力和应变分析强度理论/四种常用强度理论第一百零九页，共125页。一.强度理论的分类应力和应变分析强度理论/四种常用强度理论

强度失效的主要形式有两类，即断裂和屈服，相应的，强度理论也分为两大类（共四种）：解释断裂失效的强度理论解释屈服失效的强度理论最大拉应力理论最大伸长线应变理论最大切应力理论畸变能密度理论第一百一十页，共125页。应力和应变分析强度理论/四种常用强度理论二.四种常用强度理论介绍1.最大拉应力理论（第一强度理论）

无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力σ1达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂。内容：思考：根据内容推导断裂条件和强度条件（答案见下页）第一百一十一页，共125页。应力和应变分析强度理论/四种常用强度理论最大拉应力理论断裂条件强度条件在设计理论中直接与许用应力[σ]比较的量相当应力σr：第一百一十二页，共125页。应力和应变分析强度理论/四种常用强度理论局限性1.未考虑另外二个主应力影响；2.对没有拉应力的应力状态无法应用；3.不适用于塑性材料的破坏。适用于大部分脆性材料受拉应力作用。适用范围第一百一十三页，共125页。应力和应变分析强度理论/四种常用强度理论2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）内容：

无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变ε1达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂。思考：根据内容推导断裂条件和强度条件（答案见下页）第一百一十四页，共125页。应力和应变分析强度理论/四种常用强度理论断裂条件根据广义胡克定律，得由此得强度条件：相当应力为：综合上述两式得：第一百一十五页，共125页。应力和应变分析强度理论/四种常用强度理论适用范围局限性1.适用于脆性材料单向受压的应力状态。2.适用于脆