预测第五章时间序列平滑预测法

预测第五章时间序列平滑预测法第一页，共四十八页，2022年，8月28日时间序列的类型假定经济变量的时间序列无循环变动的影响1、水平趋势型无上升或下降趋势，也无季节影响第二页，共四十八页，2022年，8月28日2、线性趋势型时间序列的长期趋势值是时间t的一次函数，无季节影响。3、二次曲线趋势型时间序列的长期趋势值是时间t的二次函数，无季节影响

ab常数b≠0abc常数，c≠0第三页，共四十八页，2022年，8月28日4、水平趋势季节型时间序列无上升或下降趋势，但受季节影响5、线性趋势季节型时间序列的长期趋势值是时间t的一次函数，且受季节影响

ab常数b≠0第四页，共四十八页，2022年，8月28日6、曲线季节趋势型时间序列的长期趋势值与时间t的曲线函数成正比，且受季节影响，以指数函数为例。a、b正常数

第五页，共四十八页，2022年，8月28日5.1一次移动平均法和一次指数平滑法一、一次移动平均法的基本原理及应用收集一组观察值(每组包含的观察值个数确定)

↓

计算这组观察值的均值，

↓

利用这一均值作为下一期的预测值。第六页，共四十八页，2022年，8月28日设时间序列为移动平均法可以表示：式中：为最新观察值；为下一期预测值；→新预测值是对前一预测值的修正

第七页，共四十八页，2022年，8月28日在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数，必须一开始就明确规定。每出现一个新观察值，就要从移动平均中减去一个最早观察值，再加上一个最新观察值，计算移动平均值，这一新的移动平均值就作为下一期的预测值。第八页，共四十八页，2022年，8月28日（1）移动平均法有两种极端情况在移动平均值的计算中包括的过去观察值的实际个数N=1，这时利用最新的观察值作为下一期的预测值；N=n，这时利用全部n个观察值的算术平均值作为预测值。第九页，共四十八页，2022年，8月28日当数据的随机因素较大时→选用大的N→有利于较大限度的平滑由随机性所带来的严重偏差。当数据的随机因素较小时→选用小的N→有利于跟踪数据的变化，减少预测值的滞后期数。数据是纯随机的→全部历史数据的均值是最好的预测值第十页，共四十八页，2022年，8月28日（2）移动平均法的优点

计算量少；移动平均线能较好地反映时间序列的趋势及其变化。第十一页，共四十八页，2022年，8月28日一、一次移动平均法的基本原理及应用例1

利用下表数据运用一次移动平均法对12月份的销售额进行预测。第十二页，共四十八页，2022年，8月28日月份观察值（销售额）（万元）

xi3个月移动平均值

Ft(N=3)5个月移动平均值

Ft(N=5)1200－－2135－－3195－－4197.5176.7－5310175.8－6175234.2207.57155227.5202.58130213.3206.59220153.3193.510277.5168.319811235209.2191.512－244.2203.5第十三页，共四十八页，2022年，8月28日

（3）移动平均法的两个主要限制

限制一：计算移动平均必须具有N个过去观察值，当需要预测大量的数值时，必须存储大量数据；

限制二：N个过去观察值中每一个权数都相等，早于（t-N+1）期的观察值的权数等于0，而实际上往往是最新观察值含更多信息，应具有更大权重。

合理的做法：过去所有数据都应该保留，平均时赋予每个数据一个权重，随着时间推移，这些权重单调减少，逐渐趋于0。第十四页，共四十八页，2022年，8月28日二、一次指数平滑法的基本原理及应用

利用时间序列前t期的观察值预测第t+1期的值时，赋予第i期的权重为：

权重不好确定；需要数据太多；计算繁琐第十五页，共四十八页，2022年，8月28日自动取权重的方法：自当前期向前，各期权重按指数规律下降，即第t期，第t-1期，…的权重依次为：

(α﹥00﹤β﹤1)为计算方便，应使权重之和等于1第十六页，共四十八页，2022年，8月28日自当前期开始逐渐向前各期权重依次为

第t+1、t期的预测值可表示为：（1）－（1－α）（2）等于(1)(2)第十七页，共四十八页，2022年，8月28日这就是指数平滑法的通式，只需要一个最新观测值、最新预测值和α值，就可以进行预测了。

进一步整理得：最新预测值=前一期预测值+前期预测值产生的误差的修正值。第十八页，共四十八页，2022年，8月28日一次指数平滑法是一种加权预测。它既不需要存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问题，甚至有时只需一个最新观察值、最新预测值和α值，就可以进行预测。它提供的预测值是前一期预测值加上前期预测值中产生的误差的修正值。由一次指数平滑法的通式可见：第十九页，共四十八页，2022年，8月28日一次指数平滑法的初值的确定有几种方法：

取第一期的实际值为初值；F1＝x1

取最初几期的平均值为初值。F1＝最初几期的平均值

一次指数平滑法比较简单，但也有问题。问题之一便是力图找到最佳的α值，以使均方差最小，这需要通过反复试验确定。第二十页，共四十八页，2022年，8月28日

•例2

利用下表数据运用一次指数平滑法对1981年1月份我国平板玻璃的产量进行预测（取α=0.3，0.5，0.7）。并计算MSE选择使其最小的α进行预测。拟选用α=0.3，α=0.5，α=0.7试预测。结果列入下表：第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日时间序号实际观测值指数平滑法α=0.3α=0.5α=0.71980.011980.021980.031980.041980.051980.061980.071980.081980.091980.101980.111980.121981.01123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8259.5

—203.8206.9213.8216.8218.0212.1210.8216.1213.2217.3226.5—203.8209.0230.0226.9223.8211.1209.5219.0212.8219.8233.8—203.8211.0224.2223.9221.7205.4207.1222.1211.2222.1240.1第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日α=0.3，α=0.5，α=0.7时，均方误差分别为：

MSE=297.43MSE=233.36

因此可选α=0.7作为预测时的平滑常数。1981年1月的平板玻璃月产量的预测值为：

由上表可见：最小第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日5.2线性二次移动平均法

一、线性二次移动平均法（1）基本原理

一次移动平均来预测一组具有趋势的数据时预测值（估计值）往往高于或低于实际值，线性增加的时间序列－偏低线性减小的时间序列－偏高为了避免这种滞后误差，发展了线性二次移动平均法。这种方法的基础是计算二次移动平均，即在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日

（2）计算方法线性二次移动平均法的通式为：m为预测超前期数（5.1）（5.2）（5.3）（5.4）－每期趋势的变化量（5.5）第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日（5.1）式用于计算一次移动平均值；（5.2）式用于计算二次移动平均值；（5.3）式用于对预测（最新值）的初始点进行基本修正，使得预测值与实际值之间不存在滞后现象；（5.4）式中用其中：除以，这是因为移动平均值是对N个点求平均值，这一平均值应落在N个点的中点。如果用一次移动平均进行预测，预测值比实际值滞后第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日(1)

期数（2）

实际值（3）

一次移动

平均值

（N＝3）（4）

误差(2)-(3)（5）

二次移动

平均值

（N=3)(6)

误差

(3)-(5)（7）

总预测值(3)+(6)（8）

误差

(2)-(7)12－－－－－－24－－－－－－3642－－－－4862－－－－510826210061210282120714122102140816142122160918162142180－－－－－－－－－－－－－－－－第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日二、线性二次移动平均法的应用下表的数据用来说明线性二次移动平均法的应用第（2）栏：4个时期的一次移动平均值（5.1)第（3）栏：二次移动平均值(5.2)第（4）栏：a值(5.3)第（6）栏：超前一个时期（m=1）的预测(5.5)根据表中数据，利用第25期的值来预测26期和27期的库存量？第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日期数(1)(2)(3)(4)(5)(6)其产品

的库存量

(万件)（1）的4个时期移动平均值（2）的4个

时期移动

平均值a值b值m=1时的

a+bm值

(滞后一个时期)1140

-

-

-

-

-2159

-

-

-

-

-3136

-

-

-

-

-4157148.00

-

-

-

-5173156.25

-

-

-

-6131149.25

-

-

-

-7177159.50153.250167.7504.167

-8188167.25158.0625176.43756.12517211180175.25169.875180.6253.583189第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日12160168.25170.125166.375-1.25018413182175.25173.3125177.18751.29216514192178.50174.312182.68752.79217615224189.50177.875201.1257.75018016188196.50184.9375208.06257.70820917198200.50191.250209.7506.16721618206204.00197.625210.3754.25021619203198.75199.9375197.5625-0.79221520238211.25203.625218.8755.08319721228218.75208.1875229.31257.04222422231225.00213.4375236.56257.70823623221229.50221.125237.8755.58324424259234.75227.000242.5005.16724325273246.00233.8125258.18758.125248第三十页，共四十八页，2022年，8月28日=258.1875+8.125=266.3125=258.1875+8.125×2=274.4375(万件)

＝258.1875=2(246-233.8125)/3=8.125

第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日5.3线性二次指数平滑法一次移动平均法的两个限制因素在线性二次移动平均法中也存在，线性二次指数平滑法只利用三个数据和一个α值就可进行计算；在大多数情况下，一般更喜欢用线性二次指数平滑法作为预测方法。第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日一、布朗单一参数线性指数平滑法

其基本原理与线性二次移动平均法相似，因为当趋势存在时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，将一次和二次平滑值之差加在一次平滑值上，则可对趋势进行修正。第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日计算公式：为一次指数平滑值；为二次指数平滑值；m为预测超前期数第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日初值的确定下表的数据用来说明线性二次移动平均法的应用前几期观察值的平均值根据下表，取α＝0.2，预测第25期和26期的销售量第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日期数(1)(2)(3)(4)(5)(6)销售量一次指数二次指数a值b值a+b值[(4)+(5)]（万件）平滑平滑[2(2)-(3)](滞后一个时期)1143143.000143.000

-

-

-2152144.800143.360146.2400.36000

-3161148.040144.296151.7840.936001474139146.232144.683147.7810.387201535137144.368144.624144.1470.005951486174150.308145.761158.8561.136961447142148.647146.338150.9560.577241568141147.117146.494147.7410.155921519162150.094147.214152.9740.7200414810180156.075148.986163.1641.77228154第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日11164157.660150.642164.5991.7348216512171160.328152.642168.0141.9124516613206169.462156.006182.9193.3640417014193174.170159.639188.7013.6327418615207180.736163.858197.6134.2193819316218188.189168.724207.6530.8660720217229196.351174.350218.4525.5253121218225202.081179.816224.3465.5662121419204202.465184.346220.5844.5297323020227207.372188.951225.7924.6051922521223210.497193.260227.7354.3093023122242216.798197.968235.6284.7075423223239221.238202.622239.8554.6541124124266230.191208.136252.2465.5137724525

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-258第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日=252.246+5.51375=257.76＝2×230.191-208.136=252.246=(230.191-208.136)/4=5.51375

=252.246+5.51375×2=263.27（万件）第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日二、霍尔特双参数线性指数平滑法

其基本原理与布朗线性指数平滑法相似，只是它不用二次指数平滑，不是在一次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑，而是对趋势直接进行平滑。第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日两个参数α和γ（0＜αγ＜1）给St-1加上一个趋势增量bm为预测超前期数对趋势增量也用指数平滑法来估计第四十页，共四十八页，2022