二重积分的计算方法小结 余义江

目录TOC\o"1-5"\h\z摘要 1关键词 1Abstract 1KeyWords 1化二重积分为累次积分 1二重积分的变量变换 52.1二重积分的变量变换公式 52.2利用极坐标计算二重积分 6\o"CurrentDocument"结束语 8\o"CurrentDocument"参考文献： 8二重积分的计算方法小结学生姓名：余义江学号：20085031166数学与信息科学学院数学与应用数学指导教师：李景杰职称：副教授摘要：本文介绍了几种常用的二重积分的计算方法.并通过实例加以阐析.关键词：二重积分;累次积分;变量变换TheSummaryoftheCalculationofDoubleIntegralAbstract:Thispaperintroduesseveralcommonusedmethodsofcalculatingthedoubleintegral.Examplesandsummariesarealsogiven.KeyWords:Doubleintegral;Repeatedintegral;Variabletransformation引言对于二重积分，如果按定义去计算其积分值是非常复杂的，因此必须寻找其计算的简单方法.1.化二重积分为累次积分定理1山设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]x[c,d]上可积，且对每个xe[a,b],积分Jdf(x,y)dy存在，则累次积分Jddyfbf(x,y)dx也存在，且c caJJf(x,y)db=JbdxJdf(x,y)dy.acD定理1'M设f(x,y)在矩形区域D=\a,b]x[c,d]上可积，且对每个ye[c,d],积分Jbf(x,y)dx存在，则累次积分JddyJbf(x,y)dx也存在，且a caJJf(x,y)da=JddyJbf(x,y)dx.

特别地当f(x,y)在矩形区域D=La,b］x［c,d］上连续时，则有□f(x,y)db=Jddyjbf(x,y)dx=Jbdxfdf(x,y)dy.ca acD例1计算ff(x+y)2db,其中D=［a,b］x［c,d］.D(x-1)3x(x-1)3x33-Tdx=6fff(x,y)db=J1dxJ1(x+y)2dy=dx=6000D定理2b］设D为由x=a，x=b(a<b),y=y(x)，y=y(x)所围成的区12域，其中y(x)，y(x)在［a,b］上连续且y(x)<y(x).如果f(x,y)在D上可积，1212fff(x,y)dxdy=I，又对每个固定的xwta,b］，一元函数f(x,y)在D()y(x)<y<y(x)上可积，Jy2(x)f(x,y)dy=I(x)，贝(x)在［a,b］上可积，且12 y1(x) ()f叮(x)dx=I.即fff(x,y)dxdy=fbjy2(x)f(x,y)dy^x.D定理二把二重积分的计算化为一个先y后x的累次积分.完全类似的有以下定a ayD定理二把二重积分的计算化为一个先y后x的累次积分.完全类似的有以下定理定理2'切设D为由y=c，y=d(c<d),x=x(y)，x=x(y)所围成的区域,12其中，x(y),x(y)在［c,d］上连续且x(y)<x(y).如果f(x,y)在D上可积，1212fff(xydx=y，又对每个固定的ye［c,d］，一元函数f(x,y)在x(y)<x<x(y)12D上可积，Jx2(y)f(x,y)dx=I(y)，贝UI(y)在［c,d］上可积，且 fdI(y》y=I.即x1(y) cfff(x,y)dxdy=fdfx2(y)f(x,y)dxdy.cx1(y)D1注意，在利用定理2时，必须要求积分区域D满足以下条件，即任何平行于y轴的直线x=x(a<x<b)和D的边界至多只有两个交点.定理2'也类似•如果区域00D不满足以上条件时，则要将区域D适当地分割为若干个小区域，使每个小区域满足以上条件.

如果对区域D定理2和定理2'都能用时，则有Uf(x,y)dxdy二JbdxJy(x)f(x,y')dy=IddyJx(y)f(x,y)dx.D ay1(x) c X](y)此时到底将二重积分化为先x后y的累次积分，还是化为先y后x的累次积分，则要看具体的问题而定，看哪种算法简单.例2设D是由直线x=0,y=1及y=x围成的区域，试计算：I=JJx2e-y2dcD的值.解若用先对y后对x的积分，贝UI=J1x2dxJ1e-y2dy.0x由于函数ey2的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，贝有I=J1dyJyx2e-y2dx=J1y3e-y2dy.由分部积分法，即可算得：I=-.0 0 30 63e上例说明积分的次序的选择与二重积分计算的繁，简程度有着极为密切的关系.如果选择不当将增大计算难度或无法计算.所以，如果按某种次序的累次积分的计算很麻烦，或者根本积不出来，那就需要考虑更换积分次序了.积分换序的一般步骤是：由所给的累次积分的积分限，写出积分区域的不等式表达式；将不等式两端看成等式，可得积分区域的边界线•然后画出积分区域D；将区域D按相反次序用不等式表示出来；按3中的不等式将积分表示为二次积分.例3计算I=J4dxJo、:xy解由于Jsin-dy无法求出，所以考虑交换积分次序•由已知，积分区域可表示y为D：c 兀2 L D：0-x-T x-y-2其边界曲线为yf匚，y-1和x-0=y

=y作出区域D作出区域D的图形(图1),再将D按相反次序奇偶性来简化运算.具体地有：若f(x,y)是x的奇函数，即fCx,y)=-f(x,y)且积分区域D关于y轴对称，则fff(x,yIfc二0；D若f(x,y)是x的偶函数，即f(-x,y)=f(x,y)且积分区域D关于y轴对称,fff(x,y=2『ff(x,yD1D1其中D是区域D的位于y轴右侧的子区域；1同理，若f(x,y)是y的奇或偶函数，而积分区域又关于x轴对称，则我们也有类似的简化公式.例4计算I二ffCy2+x2y淇中D由y二x2与y=1直线围成.D解积分区域如图2所示,它关于y轴对称，所以I二ffCy2+x2y二ffxy2da+ffx2ydc=0+2ffx2ydD D D ©又由于子区域D可表示为 D:0<x<1,x2<y<1 y—x21 1 y—x2所以I—2ffx2yda—1dxf1x2ydy—f1x2（1一x4）dx0 x2 0

212.二重积分的变量变换在定积分的计算中我们已经知道，通过变量代换可以使被积函数得到简化，因而使该定积分变得简单易求.同样对于二重积分也可以用二重积分使问题简化.通过变量代换将一个难积的二重积分变得容易积分，关键在于选好变量，变量的选择有时根据函数有时根据积分区域决定.2.1二重积分的变量变换公式定理3川设f(x,y)在有闭区域D上可积，变换T:x=x(u,v)，y=y(u,v)将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域A一对一地映成xy平面上的闭区域D,函数x(u,v)，y(u,v)在A分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=中y)丰0，(u,v)eAQ(u,v丿□f(Xydx恋DA选择变量代换时，我们一般可遵循以下两条原则JJf(xu1,(y,》□f(Xydx恋DA选择变量代换时，我们一般可遵循以下两条原则1.所选的变换要能够使被积函数尽可能的简化，以便容易积分；2.要使积分区域容易用新的变量表示，从而使积分限容易确定.x+y . ..例5求JJex-ydxdy其中D是由x=0，y=0，x+y=1所围成区域(图3).D解为了简化被积函数，令u=x-y，v=x+y.为此作变换T:x=1(u+v),y=1(u—v),22=2>0•在变换T的作用下’区域A的原象如图4所示'所以20)dvdvjve所以20)dvdvjvevdu0-v2.2利用极坐标计算二重积分对以有些二重积分，其积分区域用极坐标方程表示比较方便，且其被积函数用极坐标变量表示也比较简单，这时，我们就可以考虑用极坐标来计算二重积分.定理4川设f(x,y)满足定理3的条件，且在极坐标变换T：x二rcos0, 小T：. 0<r<+s,0<0<2兀u=rsin0,下，xy平面上有界闭区域D与r0平面上区域A对应，则成立0)rdrd0．J!f(x,y)dxdy=f(rcos0,rsin0)rdrd0．DA由定理4可以看到，用极坐标变换计算二重积分，除变量做相应的替换外，还

必须把“面积微兀"dxdy换成rdrd0.注意，在将积分区域D用坐标变量r,0表示时，通常先确定极角0的变化范围.具体做法是，通过极点在区域对应的极角0最小，最大值的两侧边界作两条切线（或射线），它们将D的边界分为内，外两段，设其方程分别为r=Q（0）和1r=9 由此可得极角0的变化范围a<9<卩；然后由极点出发在［a,卩］内引一2条射线，它由r=Q（0）进入区域，而由r=Q（0）穿出区域，所以极半径r的变化12范围为申（0）<r<9（0）.因此，积分区域可用极坐标变量表示为12D:a<0<卩，9@）<r<9@）12特别地，如果积分区域退化为一个如图5所示的曲边扇形，即区域的内侧边界缩为极点时，积分区域可表示为D:a<0<P，0<r<9@）若如图6所示，极点位于积分区域D的内部时，则可视为图5当a=0，卩=2兀时的特例.即可用不等式D:0D:0<a<2兀，0<r<在上述各种情况下，均可将二重积分化为先对r，后对0的二次积分（因先对0，后对r的二次积分较少使用，故不作介绍）.例6求e-x2-y2db，其中D是圆x2+y2=a2的内部区域.D解采用极坐标，积分区域可表示为D: 0<0<2兀，0<r<a于是ffe一x2一y2db=ffe-r2rd0r=J*2Kd0fare-r2dr00f-1e-r2]I2丿例7求球体x2+y2+z2<4a2被圆柱面x2+y2=2ax（a>0）所截得（含圆柱面内的部分）立体的体积．解根据V=4fK^;4a2-x2-y2dxdy其中，D由半圆与轴围成.解根据D利用极坐标，积分区域D可表示为V=4ff、:'4a2一x2-ydxdy=4ff\.；4a2一r2rdrd0=4f2d0f2c0V4a2一r2rdr= a3J2G—sin3)d00 0 3 0厂厂丿3结束语在计算二重积