专题2.8 巧用运算规律简化有理数计算的六种方法-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题2.8巧用运算规律简化有理数计算的六种方法【浙教版】【题型1归类法】【方法点拨】运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.【例1】阅读下面的解题过程并解决问题计算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学中的思想，为了计算简便，第二步应用了．（2）根据以上的解题技巧进行计算下列式子：-212【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案；（2）仿照题意简便方法计算即可．【解答】解：（1）计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律．故答案为：省略加号和括号，转化，加法的交换律和结合律；（2）-21＝﹣2123+＝（﹣2123+23）+＝﹣21+3＝﹣18．【变式1-1】计算：(-2【分析】可利用结合律进行运算，最后得出结果．【解答】解：原式＝（-23-913）+（【变式1-2】计算：123+212【分析】先算同分母分数，再相加即可求解；【解答】解：123+212＝（123+13）+212＝2+212＝﹣312【变式1-3】计算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+11【分析】先算同分母分数，再相加即可求解．【解答】解：3712+（﹣114）+（﹣3712）+11＝（3712-3712）+（﹣114+114＝0+0+（﹣418＝﹣418【题型2凑整法】【方法点拨】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消.【例2】计算：（﹣347）+12.5+（﹣1637）﹣（﹣【分析】运用加法的交换律和结合律计算可得．【解答】解：原式＝（﹣347-1637）+＝﹣20+15＝﹣5．【变式2-1】计算下列各题：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4；（2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+【分析】根据加法的运算律计算即可．【解答】解：（1）原式＝（20.36﹣13.36）+（1.4﹣1.4）＝7+0＝7；（2）原式=(325+535)-(2【变式2-2】计算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4）（2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣1【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）根据有理数的加减运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣（0.1+8.9）+（4.6+5.4）＝﹣9+10＝1；（2）原式＝（﹣1.75+234）+（﹣345）=+(23＝1﹣2＝﹣1．【变式2-3】计算下列各题：（1）（0.5）+（+92）+（-19（2）（-12）+（-25）+（+32）+（（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（-43）+（-34）+（+7【分析】（1）应用加法交换律和结合律将两个小数和两个分数分别结合在一起计算；（2）先运用减法法则，再将分母相同的结合起来进行计算；（3）将正负数分别结合计算；（4）小数化分数，分母相同的结合计算．【解答】解：（1）原式＝（0.5+9.5）+（92-192）＝10﹣（2）原式=-12-25+32+185（3）原式＝﹣1.5+1.4+3.6﹣4.3﹣5.2＝（1.4+3.6）+（﹣1.5﹣4.3﹣5.2）＝5﹣11＝﹣6；（4）原式=-72-43-34+72+3【题型3逆向法】【方法点拨】主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单.【例3】计算：-5【分析】先变形，然后根据乘法分配律可以解答本题．【解答】解：-=5＝（52-＝（156-＝（﹣1）×=-11【变式3-1】计算：235×1【分析】先将题目式子中的带分数化为假分数，小数化为假分式，然后根据乘法分配律即可解答本题．【解答】解：235=13=135×=13=26【变式3-2】计算：-13×【分析】分别提取公因数﹣13和﹣0.34，即可简化计算，再合并即可；【解答】解：-13×＝﹣13×（23+13）﹣＝﹣13﹣0.34＝﹣13.34【变式3-3】计算：0.7×14【分析】根据乘法分配律可以解答本题；【解答】解：0.7×1＝0.7×（149+59）+（2＝0.7×2+3×（﹣15）＝1.4+（﹣45）＝﹣43.6；【题型4拆项法】【方法点拨】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【例4】阅读下面的计算过程，体会“拆项法”计算：﹣556解：原式=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-56启发应用用上面的方法完成下列计算：(-3【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（-3【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（-3＝﹣4+（-7＝﹣4710【变式4-1】阅读下列解题方法，然后根据方法计算．﹣516-（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（-16）﹣（-23）计算：（﹣201956）+（﹣201823）【分析】利用加法的结合律，将整数、分数分别结合在一起先相加，运算简便．【解答】解：（﹣201956）+（﹣201823）＝[（﹣2019）+（﹣2018）]+[（-56）+（-2＝﹣4037+（-32）＝0【变式4-2】计算：﹣991517×【分析】根据乘法分配律简便计算．【解答】解：﹣991517＝（﹣100+217＝﹣100×34+2＝﹣3400+4＝﹣3396．【变式4-3】计算：399【分析】根据乘法分配律简便计算．【解答】解：399＝（400+33133）×（﹣＝400×（﹣6）+33133×＝﹣2400﹣165＝﹣240165133【题型5组合法】【方法点拨】找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目.【例5】计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【分析】把原式写成（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99），一个有25个﹣2，据此计算即可．【解答】解：原式＝（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99）＝（﹣2）×25＝﹣50．【变式5-1】计算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【分析】原式结合后，相加即可得到结果．【解答】解：原式＝1+（﹣2+3）+（﹣4+5）+…+（﹣98+99）＝1+1+…+1＝50．【变式5-2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果．【解答】解：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+…+（2009﹣2010﹣2011+2012）+（2013﹣2014﹣2015+2016）＝0．【变式5-3】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【分析】将4个数字作为一组，分组计算即可．【解答】解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+（9+10﹣11﹣12）+…+（2005+2006﹣2007﹣2008）＝﹣4+（﹣4）+…+（﹣4）＝﹣4×502＝﹣2008．【题型6裂项相消法】【方法点拨】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【例6】阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：①12-13=1（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：17-（2）通过观察，计算11×2（3）探究上述的运算规律，试计算11×3【分析】（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；（2）根据上述规律得原式＝1-1（3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以12【解答】解：（1）17故答案为：17（2）1＝1-＝1-=6（3）11×3=12（1=12（1=1=49【变式6-1】12+13（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）1342=＝，1772=＝（2）利用以上所得的规律进行计算：3【分析】（1）直接利用已知运算规律进而计算得出答案；（2）直接利用已知运算规律将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：（1）13421772故答案为：16+17，6+76×7（2）3＝1+12-（12+13）+（13+14）﹣（14+＝1-=8【变式6-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12-13=32×3（1）猜想并写出：1n(n+1)=（2）探究并计算下列各式：①11×2②1-2×4【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题；（2）①根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值；②根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）1n(n+1)故答案为：1n（2）①1＝1-＝1-=