基本体及其表面交线的投影

第5章

基本体及其表面交线的投影分析

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教学提示：在点、直线、平面投影分析的基础上，本章主要阐述基本体及基本体之间相对位置交线关系的表达和识读方法。各种基本体的表达、基本体表面上取点及两基本体之间的交线求解的方法和作图，是本章的教学重点在教学中，要注意引导学生认真分析基本体在投影体系中所处的位置，特别是在分析和求解平面与立体、立体与立体的交线问题时根据立体的形成原理，准确判断特殊位置点所处的位置，能够选择正确的求解方法，运用投影规律求出一般点的各个投影教学要求：要求学生通过学习本章内容，熟练掌握一些典型基本体的表示方法，熟悉使用各种方法完成基本体表面上点的作图，从而学会分析和求解基本体表面的各种交线的投影，同时还要掌握利用计算机绘图软件建立基本体的三维模型●5.1基本体概述●5.2平面立体的投影分析●5.3曲面立体的投影分析●5.4平面与立体相交●5.5立体与立体相交本章内容5.1基本体概述最基本的单一几何形体称为基本体。任何复杂的立体都可以看成是由形状简单的立体经过叠加或挖切后组合而成。这在数学上称为布尔运算。基本体可分为平面立体和曲面立体两大类。(1)平面立体：由若干平面所围成的几何体。常见的平面立体如棱柱体、棱锥体等。(2)曲面立体：由曲面或曲面与平面所围成的几何体。如圆柱体、圆锥体、球体和圆环体等。平面立体上两平面之间的交线称为立体的棱线，各个棱线的交点称为顶点。平面立体的表示方法主要是画出平面立体棱线或各顶点的投影图。对于曲面立体，本章主要研究回转体，凡是一条母线(直线或曲线)绕一根固定的轴线旋转而成的曲面，称为回转面。回转体是由回转面或回转面与平面所围成的曲面立体，如圆柱体、圆锥体、球等。回转体的表示方法主要是画出其上各转向轮廓线的投影5.2平面立体的投影分析

由于平面立体的各个表面都是平面图形，因此表示平面立体的关键在于画出围成立体各表面线框的投影或它们顶点的投影。绘制平面立体的投影图时，应注意分析平面立体上各平面和棱线相对投影面的位置，明确它们的投影特性，这样就可使绘图过程思路清晰，不易出错，过程简洁。由于平面立体的各条棱线都是直线，所以只要画出平面立体各顶点的投影，再判别可见性，依次连接即可得到棱线的投影。可见的用粗实线表示，不可见的用虚线表示，即可完成平面立体的投影。1.棱柱的形体分析棱柱有两个平行的多边形底面，所有侧面均垂直于底面。一般用底面多边形的边数来区别和命名不同的棱柱，如果底面为六边形，则称之为六棱柱；如果底面为正多边形，则称之为正棱柱。2.棱柱的投影以正六棱柱为例，将其置入三投影面体系中(注意不同的放置方式得到的投影图是不同的)，使正六棱柱上、下两个面平行于H面，前后两个棱面放置的同V面平行，如图5.1(a)所示。这样得到的正六棱柱的投影图如图5.1(b)所示。5.2平面立体的投影分析(a)(b)图5.1正六棱柱的表示法5.2平面立体的投影分析

观察对比该正六棱柱的空间位置和三面投影，可知其投影特性为：

(1)水平投影。六棱柱上、下两个底面是水平面，其水平投影反映实形(正六边形)，两底面的投影重合。由于六棱柱的6个棱面都垂直于H面，所以正六边形的6条边又可以表示6个棱面的投影。注意前后2个棱面是正平面，其他4个棱面是铅垂面。

(2)正面投影。六棱柱的上、下两个底面，其正面投影积聚为上、下两条直线段。最左边线段a'b'是棱线AB的正面投影，最右边有一棱线与其相对应。这两条棱线的侧面投影相重合，都在中间a″b″，AB为可见。c'd'是棱线CD的正面投影，其后面也有一条棱线EF与其对应，正面投影相互重合，CD为可见。其他线段，读者可自行分析。

(3)侧面投影。六棱柱的上下两个底面，其侧面投影同样积聚为上、下两条直线。在侧面投影上，最前与最后的两条直线(c″d″和e″f″)，既可以代表前后两条棱线(CD和EF)的投影，也可以代表前、后两个棱面的投影。在作图时，可先用点划线画出水平投影的对称中心线和正面投影、侧面投影的对称中心线，再画出正六棱柱的水平投影(为一正六边形)，根据棱柱的高度画出顶面和底面的正面投影与侧面投影。连接顶面、底面对应顶点的正面投影和侧面投影，即可得到棱线和棱面的投影。可见棱线画成粗实线，不可见棱线画虚线，当它们重合时画成粗实线。5.2平面立体的投影分析

1.棱锥的形体分析棱锥有一个多边形的底面，所有的侧棱线都交于顶点。通常用底面多边形的边数来区别不同的棱锥，如底面为三角形，称之为三棱锥。底面为四边形称之为四棱锥。若棱锥的底面为正多边形，且棱锥顶点在底面上的投影与底面的形心重合，称之为正棱锥。若用一个平行于底面的平面切割棱锥，则棱锥位于切割平面与底面之间的部分称为棱台。2.棱锥的投影以正三棱锥为例，将其置入三投影面体系中，使其底面与H面平行，棱线AC垂直于W面，如图5.2(a)所示。正三棱锥的投影图如图5.2(b)所示，其投影特性为(1)水平投影。棱面ABC为水平面，因此其水平投影abc反应实形。棱面SAB和SBC是一般位置平面，其水平投影为实际图形的类似形。注意到棱线AC是侧垂线，因此包含该棱线的棱面SAC是侧垂面。水平投影sac为实际图形的类似形图形。(2)正面投影。水平面ABC的正面投影和侧面投影都积聚为直线。棱面SAB和SBC的正面投影是实际图形的相似图形，都可见。侧垂面SAC的正面投影s′a′c′同样是实际图形的类似图形，且不可见。(3)侧面投影。由于是从左向右投影，因此棱面SAB是可见的，棱面SBC不可见。侧垂面SAC则积聚为直线。5.2平面立体的投影分析正三棱锥上，各个棱线相对于投影面的位置，读者可自行分析。在画棱锥的投影图时，可先从反应底面ABC实形的水平投影画起，画出ABC的三面投影；再画出顶点S的三面投影。分别连接顶点S同底面ABC各个顶点的同面投影，即可得到三棱锥各棱面与棱线的投影

图5.2正三棱锥的表示法5.2平面立体的投影分析平面立体体表面的的取点问问题，可可归结为为平面上上的取点点问题，，即点在在平面上上，则点点必在平平面上的的一条直直线上。。通常，，可以过过点的已已知投影影，在平平面立体体的相关关棱面上上作一条条辅助线线。求出出该辅助助线的另另外两个个投影，，则点的的另外两两个投影影必在辅辅助线的的同面投投影上。。在取点点作图过过程中，，要注意意给定条条件，充充分利用用积聚性性。下面面举例说说明图解解过程【例5.1】】已知正六六棱柱表表面上一一点K的正面投投影k′，试求其其水平投投影和侧侧面的位位置，投投影。如如图5.3所示。分分析与作作图：由由于K点的正面面投影k′不可见，，因此其其必在棱棱柱左、、后表面面上，根根据其正正面投影影可知K点应该在在面ABFE上。面ABFE为铅垂面面，其水水平投影影积聚为为直线a(b)e(f)上。因此此k必在直线线a(b)e(f)上，根据据投影规规律可求求出k。K点的正面面投影k′和侧面投投影k″连线垂直直于OZ轴，再利利用k点到棱柱柱对称中中心面的的坐标差差Y，即可求求出k″，如图5.3所示5.2平面立体体的投影影分析(a)(b)图5.3棱柱表面面上取点点5.2平面立体体的投影影分析【例5.2】】已知正三三棱锥表表面上M点的正面面投影，，N点的水平平投影，，求M、N点的其他他投影(如图5.4所示(a)(b)图5.4棱锥表面面上取点点5.2平面立体体的投影影分析分析与作作图：由由于m′可见，所所以M点在棱面面SAB上。棱面面SAB为一般位位置平面面，因此此可过S点作一辅辅助直线线SI，并作出出SI的各个投投影，由由于M点在SI上，M点必在SI的同面投投影上。辅助线SI的作法有有两种，，一种是是过已知知两点，，如S点和M点。另一一种是过过已知一一点并平平行于平平面内的的一条直直线，如如过M点，平行行于AB。这里选选用的是是第一种种方法。。由于n可见，所所以N点在棱面面SAC上，注意意到棱面面SAC是侧垂面面，其侧侧面投影影积聚成成直线s″a″″(c″)。因此n″必在s″a″″(c″)上。求出出n″后，即可可根据投投影规律律求出n′。此处也也可利用用辅助直直线先求求出N点的正面面投影n′，再求出出n″，注意侧侧面投影影在s″a″(c″)上。整个作图图过程如图5.4所示。5.2平面立体的投投影分析根据基本体的的投影图绘制制轴测图，通通常首先确定定坐标原点的的位置，原点点一般定在立立体的对称轴轴或对称面上上，且放在顶顶面或底面较较为方便，然然后绘出轴测测轴。在绘图图过程中，优优先确定形体体在轴测轴上上的点和线的的位置，并运运用平行投影影的投影特性性作图。与投投影轴不平行行的线，不可可直接测量，，一般先定点点后画线，逐逐步绘制，不不可见部分省省略不画。【例5.3】如图5.5(a)所示，根据正正六棱柱的投投影图，绘制制其正等测图图。(a)(b)5.2平面立体的投投影分析(a)(b)图5.5六棱柱正等测测图的画法5.2平面立体的投投影分析分析与作图：：六棱柱正等测测图的绘图步步骤为：(1)在投影图上确确定坐标轴，，如图5.5(a)所示。坐标轴轴符合“右手定则”，将坐标原点点定在上顶面面正六边形的的中心，坐标标原点也可定定在其他位置置，不影响最最后的形状。。(2)在轴测图上，，绘制出轴测测轴，轴间角角为120°。A、D在X轴上，可以很很容易确定其其位置。绘制制出过B、C及E、F点，平行于X轴的两条直线线，量取这些些点与Y轴的距离，确确定这些点的的位置，如图图5.5(b)所示。(3)过A、B、C、D、E、F点向下作平行行于Z轴的直线，由由尺寸H确定底面诸点点，如图5.5(c)所示。(4)连接底面诸点点，并加深，，完成六棱柱柱的正等测图图，如图5.5(d)所示。注意在在最终完成的的轴测图中应应擦去轴测轴轴。5.2平面立体的投投影分析曲面立体的投投影可以看成成是曲面立体体所有面的投投影，主要的的曲面立体有有圆柱、圆锥锥、圆球和圆圆环等。这些些立体的表面面都是由母线线(直线或圆)绕某一轴线旋旋转而成的，，所以它们又又称为回转体体。本节主要要研究回转体体的投影。5.2平面立体的投投影分析5.3.1常见曲面立体体的形成方式式表5-1表示了4种常见回转面面的形成方式式。圆柱面圆锥面圆球面圆环面5.3曲面立体的投投影分析5.3.2圆柱1.圆柱的形体分分析如图5.6(a)所示，圆柱由由圆柱面及上上、下底面所所围成。其中中圆柱面可以以看成是由一一平行于轴线线的直线(母线)绕其轴线旋转转而成的。在在这里，我们们把母线在每每一时刻的位位置称为素线线，因此，圆圆柱面又可看看成是无数条条平行于轴线线的素线围成成的。2.圆柱的投影如图5.6(b)所示为一轴线线垂直于水平平投影面的正正圆柱的三面面投影。其投投影特性为：：(1)水平投影。由由于圆柱的上上、下两个底底面为水平面面，其水平投投影反应实形形(圆平面)。正面投影和和侧面投影积积聚成直线；；圆柱面垂直直于H面，其水平投投影也具有积积聚性。(2)正面投影。在在正立投影面面上画出转向向轮廓线AC、BD的投影a′c′、b′d′，注意其侧面面投影在相应应的轴线(点画线)上，不需要画画出。(3)侧面投影。在在侧立投影面面上画出转向向轮廓线EG、FH的投影e″g″、f″h″，注意其正面面投影在相应应的轴线(点画线)上，不需要画画出。5.3曲面立体的投投影分析(a)(b)图5.7圆锥的表示法法5.3曲面立体的投投影分析与圆柱相似，，对于正面投投影来说，转转向轮廓线SA、SB为圆锥面的虚虚实分界线。。即前半圆锥锥面可见，后后半个圆锥面面不可见；对对于侧面投影影，转向轮廓廓线SC、SD为圆锥面的虚虚实分界线。。即左半个圆圆锥面可见，，而右半个圆圆锥面不可见见；对于水平平投影来说，，底面不可见见，整个圆锥锥面都可见。。对于圆锥面面来说，其3个投影都没有有积聚性。画图时，可首首先画出圆锥锥体的轴线和和圆的中心线线，然后画出出投影为圆的的投影，最后后根据圆锥的的高度画出为为等腰三角形形的另外两个个投影图5.3曲面立体的投投影分析5.3.4球1.球的形体分析析如图5.8(a)所示，圆球由由圆球面所围围成。圆球面面可以看成是是一个母线圆圆绕其通过圆圆心的轴线(直径)旋转而成的。。2.球的投影如图5.8(b)所示为一圆球球体的三面投投影图，其投投影特性为：：(1)水平投影。为为一圆，该圆圆反映平行于于H面的最大素线线圆B的实形。其水水平投影和侧侧面投影与水水平中心线重重合，但不画画出。(2)正面投影。为为一圆，该圆圆反映平行于于V面的最大素线线圆A的实形。其水水平投影影与水平中中心线重合；；其侧面投影影与直立中心心线重合，但但不画出。(3)侧面投影。为为一圆，该圆圆反映平行于于V面的最大素线线圆C的实形。其水水平投影和正正面投影与直直立中心线重重合，但不画画出。5.3曲面立体的投投影分析(a)(b)图5.8球的表示法5.3曲面立体的投投影分析注意，球的三三面投影都是是圆，但这3个圆分属于球球面上3个不同素线圆圆的投影。画画圆时一定要要画出中心线线。对于正面面投影来说，，前半个球面面可见，后半半个球面不可可见；对于水水平投影，上上半个球面可可见，下半个个球面不可见见；对于侧面面投影，左半半个球面可见见，右半个球球面不可见。。5.3曲面立体的投投影分析5.3.5圆环1.圆环的形体分分析如图5.9(a)所示，圆环体体由圆环面所所围成。圆环环面则由一母母线圆绕与该该圆共面但不不过圆心的轴轴线旋转而成成。2.圆环的投影如图5.9(b)所示为一轴线线垂直于水平平投影面的圆圆环体的三面面投影图，其其投影特性为为：(1)水平投影。为为一对同心圆圆，分别反映映圆环内、外外直径的真实实大小。(2)正面投影。两两个平行于V面的素线圆及及内、外圆环环面分界圆的的投影(即上、下两条条直线)。因为内圆环环面不可见，，所以素线圆圆靠近轴线的的一半画出虚虚线。(3)侧面投影。两两个平行于W面的素线圆及及内、外圆环环面分界圆的的投影(即上、下两条条直线)。素线圆靠近近轴线的一半半画出虚线。。5.3曲面立体的投投影分析(a)(b)图5.9圆环体的表示示法5.3曲面立体的投投影分析如图所示，对对于正面投影影来说，外圆圆环面的前半半部分可见，，外圆环面的的后半部分及及内圆环面都都不可见；对对于侧面投影影来说，外圆圆环面的左半半部分可见，，外圆环面的的右半部分及及内圆环面都都不可见；对对于水平投影影来说，内、、外圆环面的的上半部分都都可见，下半半部分都不可可见。5.3曲面立体的投投影分析5.3.6回转体表面上上点的投影分分析在回转体表面面的平面上取取点的方法与与在平面立体体表面上的取取点方法相似似。分析时，，都是将点看看成是基本体体表面上某线线段上的点，，首先找到该该线段的投影影，然后再在在该线段上取取点。对于回回转体来说，，总是先作出出通过所求点点的某素线(直线或平行于于投影面的素素线圆)的投影，再利利用线段上取取点的方法求求作该点的投投影。以下分分别介绍在圆圆柱面、圆锥锥面、球面和和圆环面上取取点的方法。。1.圆柱面上取点点圆柱面上取点点，通常利用用圆柱面对某某一投影面的的积聚性进行行作图。【例5.4】如图5.10(a)所示，已知圆圆柱面上A点的正面投影影a′和B点的侧面投影影b″，求A、B两点的另外两两个投影。分析与作图：：由于a′可见，点A必在前半个圆圆柱面上，由由于点A在圆柱面上，，其水平投影影积聚在圆上上，根据投影影关系可求出出A的水平投影a。根据“高平齐”和“宽相等”的投影规律可可求出侧面投投影a″，注意A点在右半个圆圆柱面上，侧侧面投影a″不可见。根据B点侧面投影的的位置，可以以看出B点在圆柱的最最左轮廓线上上，根据点的的投影规律可可求出B点的正面投影影b′和水平投影b，如图5.10(b)所示5.3曲面立体的投投影分析(a)(b)图5.10圆柱面上取点点5.3曲面立体的投投影分析2.圆锥面上取点点圆锥面上取点点的作图原理理如图5.11所示。由于圆圆锥面的各个个投影都不具具有积聚性，，因此，取点点时必须借助助于辅助素线线或辅助圆。。图5.11圆锥面上取点点的作图原理理5.3曲面立体的投投影分析1)辅助素线法在圆锥面上，，先过已知点点和锥顶可以以做一条直素素线，再根据据点在直线上上的投影规律律，完成圆锥锥面上取点的的投影作图，，该方法称为为辅助素线法法。【例5.5】如图5.12(a)所示，已知圆圆锥面上点A的水平投影a，求作其正面面投影和侧面面投影。分析与作图：：过锥顶S和点A作一辅助线SE，先在水平投投影上过a确定SE的水平投影se，再求出其正正面投影s′e′和侧面投影s″e″，最后根据直直线上点的投投影规律，作作出a′和a″。注意判别A点的可见性，，由水平投影影可知，点A在圆锥面的前前半部分和左左半部分，故故a′和a″都可见。2)辅助圆法将所求之点看看成是圆锥面面上某一纬圆圆上的点。则则利用该纬圆圆的各个投影影，同样可以以完成圆锥面面上取点的投投影作图，该该方法称为辅辅助圆法，又又称为纬圆法法。辅助圆法法非常重要，，它是回转面面上取点的常常用方法。5.3曲面立体的投投影分析例5.6】如图5.12(b)所示，已知圆圆锥面上点B的正面投影b′，求作其水平平面投影和侧侧面投影。(a)辅助素线法(b)辅助圆法(纬圆法)图5.12圆锥面上取点点的投影作图图5.3曲面立体的投投影分析分析与作图：：由于圆锥的的轴线垂直于于H面，故过点B的辅助圆平行行于H面，水平投影影反映实形，，仍为一个圆圆；正面投影影和侧面投影影积聚为直线线。过b′作该辅助圆的的正面投影，，与最右轮廓廓线的正面投投影交于f′点；作出辅助助圆的水平投投影，注意该该圆的半径为为sf。根据点B在圆上以及点点的投影规律律，可求出B点的水平投影影b及侧面投影b″。由b′可知，点B在圆锥面的前前半部和右半半部，故b可见而b″不可见。3.球面上取点在球面上取点点，只能利用用平行于某一一投影面的辅辅助圆来进行行作图，这是是因为形成球球面的母线是是圆，因而在在球面上没有有直线可用来来作为辅助线线。【例5.7】如图5.13(a)所示，已知球球面上点C的水平投影c，求作其正面面投影和侧面面投影。分析与作图：：过C点在球面上可可作一水平辅辅助圆，其水水平投影是以以oc为半径的圆，，正面投影和和侧面投影均均为直线。由由此即可求出出c′和c″，其作图方法法如图5.13(b)所示。从水平平投影c可以看出，C点位于右半球球和后半球上上，因此c′和c″都不可见。实实际上，在球球面上过C点也可以作作正平圆或或侧平圆，，读者可自自行分析。。5.3曲面立体的的投影分析析(a)(b)图5.13球面上取点点的投影作作图5.3曲面立体的的投影分析析4.圆环面上取取点在圆环面上上取点，同同样只能利利用垂直于于回转轴线线的辅助圆圆来求解，，因为圆环环表面亦无无直线。【例5.8】如图5.14(a)所示，已知知圆环面上上点D的正面投影影d′，求作该点点的水平投投影和侧面面投影。(a)(b)图5.14圆环面上取取点的投影影作图5.3曲面立体的的投影分析析分析与作图图：圆环面面的轴线垂垂直于H面，因此可可过D点在圆环面面上可作一一水平辅助助圆，该圆圆的正面投投影和侧面面投影积聚聚为直线，，由此可作作出水平投投影d和侧面投影影d″。其作图过过程如图5.14(b)所示。由于于正面投影影d′可见，D点位于外环环面的下半半部分、前前半部分和和左半部分分。因此d和d″都可见。常见的不完完整回转体体见表5-2。5.3曲面立体的的投影分析析半圆柱1/4圆柱圆台半球1/8球1/4圆环表5-2不完整回转转体5.3曲面立体的的投影分析析5.3.7回转体的正正等测图1.圆柱的正等等测图【例5.9】如图5.15(a)所示，根据据圆柱的投投影图绘制制其正等测测图。分析与作图图：绘制圆圆柱的正等等轴测投影影时，应先先绘制出平平行于投影影面的上、、下底圆的的正等测图图(一般采用前前述四心椭椭圆法近似似代替圆的的正等测)，然后作出出两个椭圆圆的公切线线。在轴测测投影图上上不可见的的线一般不不画，所以以在绘制圆圆的正等轴轴测投影时时，应先画画完全可见见的部分，，平行圆的的轴测投影影可用平移移圆心的方方法绘制。。作图步骤骤如下：(1)如图5.15(a)所示，设定定坐标轴，，将原点设设置在圆柱柱顶面圆的的圆心处。。(2)绘制轴测轴轴，用四心心椭圆法近近似绘制出出圆柱顶面面圆的正等等轴测投影影，如图5.15(b)所示。(3)移动圆柱顶顶面圆的正正等轴测投投影中的三三段圆弧的的圆心，移移动距离为为圆柱的高高度，绘制制圆柱底面面圆的正等等轴测投影影。因为只只有前面和和左、右两两段圆弧的的一部分可可见，所以以只需绘制制出三段圆圆弧即可，，如图5.15(c)所示。(4)作上、下两两个椭圆的的公切线，，擦去多余余不可见部部分的线和和轴测轴，，完成结果果如图5.15(d)所示。5.3曲面立体的的投影分析析5.3.7回转体的正正等测图(a)(b)(c)(d)图5.15圆柱的正等等测图5.3曲面立体的的投影分析析2.圆台的正等等测图圆台(锥)的正等测图图的求解思思路与圆柱柱相同，也也是首先绘绘制平行于于投影面的的上、下底底圆的正等等测，然后后作出两椭椭圆之间的的公切线。。如图5.16(a)、图5.16(b)分别表示某某圆台的两两面投影和和正等测的的作图步骤骤。图5.16圆台的正等等测图(a)(b)5.3曲面立体的的投影分析析3.带圆角四棱棱柱的正等等测图工程对象中中常见一种种矩形底板板结构，其其顶角处常常有1/4圆柱与之相相切，如图图5.17(a)所示，这种种结构称为为圆角。对对于圆角的的正等测图图，往往也也采用近似似画法，即即根据已知知圆弧半径径R，找出切点点A、B、C、D，过切点作作边线的垂垂线，两垂垂线的交点点即为圆心心，以圆心心到切点的的距离为半半径，即能能画出顶圆圆左右圆角角的正等测测图。将切切点和圆心心平行下移移底板厚度度，绘制圆圆弧，完成成底面左右右圆角的正正等测图，，如图5.17(b)所示(a)(b)图5.17圆角的正等等测图的近近似画法5.3曲面立体的的投影分析析5.3.8基于CAD三维建模技技术的基本本体创建AutoCAD支持的3种三维建模模类型包括括：线框建建模、曲面面建模和实实体建模。。其中实体体建模技术术可使用下下拉菜单“绘图/实体”命令调出，，或单击如如图5.18所示的“实体”工具栏中的的工具按钮钮，可以很很方便地创创建基本平平面立体和和回转体。。图5.18“实体”工具栏5.3曲面立体的的投影分析析常用的创建建基本体的的CAD建模方法见见表5-3。长方体(BOX)楔体(WEDGE)圆柱(CYLINDER)圆锥(CONE)按钮命令图示说明指定长方体的两个角点1和2，和长方体的高3

指定楔体的两个角点1和2，和楔体的高3

指定圆柱体底面圆的中心点1，指定圆柱的半径2和圆柱的高3指定圆锥体底面圆的中心点1，指定圆锥的半径2和圆柱的高3表5-3基本体的创创建命令及及说明5.3曲面立体的的投影分析析球体(SPHERE)圆环体(TORUS)按钮命令图示说明指定球心1和球的半径2指定圆环体的中心1，指定圆环体中心到圆管中心的距离2和圆管半径3（续）5.3曲面立体的的投影分析析“拉伸”(EXTRUDE)命令是是创创建基本体体的另一种种常用方法法，可以将将封闭多边边形、圆、、椭圆、封封闭样条曲曲线、圆环环和面域等等平面，在在给定其高高度或路径径后，拉伸伸为柱体或或锥(台)体。如图5.19(b)、(c)、(d)所示，分别别是由图5.19(a)所示的平面面正五边形形，通过拉拉伸命令中中的“指定拉伸高高度”选项拉伸而而成的正五五棱柱、正正五棱台和和正五棱锥锥。而如图图5.20所示的L型柱体，则则是在准备备好如图5.20(a)所示的底圆圆和拉伸路路径后，通通过命令中中的“指定拉伸路路径”选项拉伸而而成的。拉拉伸路径可可以是直线线、圆、圆圆弧、椭圆圆、椭圆弧弧、多段线线或样条曲曲线。拉伸伸实体始于于轮廓所在在平面，终终于路径端端点处与路路径垂直的的（a)(b)(c)(d)图5.19使用“拉伸”命令中的“指定拉伸高高度”选项创建基基本体5.3曲面立体的的投影分析析(a)(b)图5.20使用“拉伸”命令中的“指定拉伸路路径”选项创建基基本体5.3曲面立体的投影影分析“旋转”(REVOLVE)命令是是创建回转转体的一个常用用方法。该命令令通过将某一封封闭的二维对象象围绕旋转轴线线旋转一定角度度来创建实体，，如图5.21所示。可以旋转转闭合多段线、、多边形、圆、、椭圆、封闭样样条曲线、圆环环和面域。一次次只能旋转一个个对象。根据右右手定则确定旋旋转的方向。(a)(b)图5.21应用“旋转”命令创建回转体体5.3曲面立体的投影影分析5.4平面与立体相交交一个机器零件往往往可看成是由由两个或多个基基本体组合而成成，或者是某个个基本体经一个个或多个平面切切截而成，因此此其表面上常见见的交线有两种种：一种是平面面(称为截平面)与立体相交，在在立体表面产生生的交线，称为为截交线；另一一种是两立体相相交，在立体表表面产生的交线线，称为相贯线线。如图5.22(a)所示的拉杆头，，是一个回转体体被前后对称的的两平面所截切切的结果，其截截交线由两部分分光滑连接而成成：一部分是截截平面与圆球的的交线，另一部部分是截平面与与圆弧回转面的的交线；图5.22(b)所示的顶尖，其其头部可以看作作是圆锥和圆柱柱被平面截切的的结果(a)(b)图5.22拉杆头和顶尖头头部截交线有如下两两个基本性质：：(1)封闭性。由于相相交的立体占有有一定的空间，，所以截交线一一般是一个封闭闭的平面图形，，且其形状与大大小取决于立体体的形状及截平平面与立体的相相对位置。(2)共有性。即截交交线既在立体表表面上，又在截截平面上，是二二者共有点的集集合。因此，求求作截交线的投投影可归结为求求作立体表面上上一系列的线段段(棱线、纬圆或素素线)与截平面的交点点，然后将其按按一定顺序连线线即可。值得注意的是：：如果立体的形形状确定，截平平面与立体的相相对位置也确定定，则在两者相相交后，截交线线的形状便会自自然产生，而不不是由人工刻意意要求的。因此此，在求作截交交线投影时，必必须首先根据相相交立体的形状状和截平面相对对于立体的位置置来分析截交线线的性质和形状状，然后再根据据几何作图原理理和投影三等定定理找到截交线线的投影。5.4平面与立体相交交5.4.1平面与平面立体体相交平面与平面立体体相交的截交线线是平面多边形形。平面多边形形的每条边是截截平面与立体各各棱面的交线，，而多边形的顶顶点是截平面与与各棱线的交点点。因此，平面面立体上截交线线的投影作图，，可视为求棱线线与截平面的交交点，或求棱面面与截平面的交交线。如图5.23所示为一个三棱棱锥被平面所截截切，其交线Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-ⅠⅠ即为截交线。从从图中可以看出出，这条截交线线是一个封闭的的平面三角形，，其3个顶点正是截平平面与三棱柱的的3条棱线的交点，，3条边就是截平面面与3个棱面的交线。。图5.23平面与平面立体体相交5.4平面与立体相交交1.根据棱线与截平平面的交点求平平面与平面立体体的截交线【例5.10】如图5.24(a)所示，为一正垂垂面与三棱锥相相截，求棱锥的的水平投影和侧侧面投影。图5.24正垂面截切三棱棱锥5.4平面与立体相交交分析与作图：由由于截平面为特特殊位置平面(正垂面)，根据直线与平平面求交点的方方法，可以直接接求出棱线SA、SB、SC与截平面的交点点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′。根据投影关系系，可求出相应应的水平投影1、2、3。依次连接各各点的同面投投影，即可得得到截交线的的水平投影和和正面投影。。其作图过程程如图5.24(b)所示。在求出出截交线的投投影后还应注注意判断截交交线的可见性性，如果截交交线所在的平平面可见，则则截交线可见见，否则不可可见2.根据棱面与截截平面的交线线求平面与平平面立体的截截交线【例5.11】如图5.25(a)所示，为一个个正五棱柱被被一侧平面和和一正垂面相相截，求作截截切后正五棱棱柱的侧面投投影。分析与作图：：一般情况下下，对于平面面立体带切口口的截交线问问题，截平面面通常都是一一些特殊位置置的平面，这这时可以根据据截平面相对对于投影面的的位置来求截截交线如果截平面是是投影面平行行面，则它有有两个积聚性性的投影，此此时要根据具具体情况判断断出截断面(平面多边形)的实形，作出出其投影。例例如，如图5.25(a)所示的位置为为侧平面的截截平面，已知知的是两个有有积聚性的投投影(正面投影和水水平投影为直直线)，求作的侧面面投影应该反反映该截断面面的实形。由由于该截平面面与正五棱柱柱的两个棱面面相交，与顶顶面和另一位位置为正垂面面的截平面相相交，因而可可以判断出实实形应该是一一个矩形5.4平面与立体相相交如果截平面是是投影面垂直直面，则它有有一个投影积积聚为直线，，另两个投影影应为类似形形线框。此时时可根据投影影面垂直面投投影的类似性性原理，判断断出该截平面面在空间和另另一个投影的的特性，根据据该投影特性性作图。如图图5.25(a)所示的位置为为正垂面的截截平面，已知知投影为正面面投影(积聚为直线)和水平投影(五边形)，因此，求作作的另一个投投影即侧面投投影也应该为为一个类似形形线框(五边形)，如图5.25(b)所示。(a)(b)图5.25正垂面和侧平平面截切五棱棱柱5.4平面与立体相相交在作图过程中中，还应该注注意整理轮廓廓线(五棱柱的最前前和最后两个个棱线被正垂垂面截去)，以及求出两两截平面之间间的交线(正垂线)。5.4平面与立体相相交5.4.2平面与曲面立立体相交平面与曲面立立体相交，截截交线一般是是封闭的平面面曲线；在特特殊情况下，，截交线可能能由直线和曲曲线或完全由由曲线所组成成。曲面立体体的形状不同同，截交线相相对于立体的的位置不同，，截交线的形形状也不相同同。因此，在在求作截交线线的过程中，，首先要判断断出截交线段段是何种性质质的曲线，再再根据实际情情况使用相应应的方法如曲曲面立体表面面上取点的方方法来作图。。1.平面与圆柱相相交根据截平面相相对于圆柱轴轴线的不同位位置，其截交交线有3种情况，见表表5-45.4平面与立体相相交截平面的位置与轴线垂直与轴线平行与轴线倾斜名称圆两平行直线椭圆立体图视图表5-4圆柱的截交线线5.4平面与立体相相交求作截交线投投影的步骤一一般有以下3个过程：(1)求特殊点。特特殊点包括两两类点，①相相交曲线上的的特征点，如如圆的一对垂垂直相交的、、分别平行于于相应投影轴轴的直径与该该圆的四个交交点、椭圆长长、短轴上的的端点，抛物物线和双曲线线上的顶点和和两个对称的的最低点等；；②相交曲线线上的最高、、最低、最左左、最右、最最前和最后点点以及回转体体转向轮廓线线(即特殊素线)上的点，这些些点往往围成成了截交线的的大致范围。。要注意的是是，上述这些些特殊点并不不是截然分开开的，有时一一个特殊点同同时兼有几种种性质。(2)求中间点。在在特殊点求出出后，往往还还不能确定截截交线的形状状，因此应根根据需要在特特殊点之间插插入一些中间间点，以便完完成曲线的光光滑连接。(3)判别可见性，，光滑连接。5.4平面与立体相相交【例5.12】如图5.26(a)所示，为一圆圆柱体被一正正垂面相截，，要求画出截截切后圆柱的的侧面投影。。分析与作图：：由于截平面面倾斜于圆柱柱的轴线，因因此截交线为为一椭圆。由由如图5.26(a)所示可以看出出，截交线的的水平投影和和正面投影均均具有积聚性性，作图步骤骤为：(1)求特殊点。如如图5.26(b)所示，Ⅰ和Ⅳ点为最左和最最右轮廓线上上的点，也是是最低点和最最高点，同时时也是空间椭椭圆长轴上的的点。Ⅱ点和Ⅲ点为最前和最最后轮廓线上上的点，同时时也是空间椭椭圆短轴上的的点。(2)求中间点。Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ点为作图需要要的中间点。。可根据圆柱柱面水平投影影具有积聚性性，利用点的的投影规律作作图。(3)判别可见性，，光滑连接。。在求出这些些点的侧面投投影后，可以以看出这些点点的侧面投影影均可见，光光滑连接后，，如图5.26(b)所示。(4)整理轮廓线。。可以看到，，自Ⅱ点和Ⅲ点向上，圆柱柱最前和最后后轮廓线被切切去。5.4平面与立体相相交图5.26正垂面与圆柱柱相交(a)(b)5.4平面与立体相相交2.平面与圆锥相相交平面与圆锥相相截，根据截截平面与圆锥锥轴线的相对对位置，其截截交线有五种种情况，见表表5-5。截平面位置与轴线垂直与轴线倾斜且与所有素线相交平行于任一素线平行于轴线通过锥顶截交线名称圆椭圆抛物线双曲线两相交直线(直素线)立体图表5-5圆锥的截交线线5.4平面与立体相相交截平面位置与轴线垂直与轴线倾斜且与所有素线相交平行于任一素线平行于轴线通过锥顶投影图(续)5.4平面与立体相相交【例5.13】如图5.27(a)所示，为圆锥锥被正垂面所所截，求作截截切后圆锥的的水平投影和和侧面投影。。(a)(b)图5.27正垂面与圆锥锥相交5.4平面与立体相相交分析与作图：：由于正垂面面与圆锥的所所有素线都相相交，因此截截交线为一椭椭圆。对于椭椭圆，其特征征点应该是其其长、短轴的的4个端点。由图图5.27可明显看出，，Ⅰ、Ⅱ点是长轴上的的两点，也是是最高点和最最低点，其正正面投影在1′和2′。注意到椭圆圆的长、短轴轴之间垂直平平分，因此短短轴上的两点点Ⅲ、Ⅳ的正面投影3′和4′在1′、2′两点连线的中中点处，Ⅲ、Ⅳ同时也是最前前点和最后点点。Ⅴ、Ⅵ两点为对W面转向轮廓线线上的两点，，其正面投影影在5′、6′。两点为一般般位置点。整整个作图步骤骤为：(1)求特殊点。这这些特殊点包包括Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ。已知这些点点的正面投影影，对于转向向轮廓线上的的点可直接利利用投影关系系作图。对于于其他非转向向轮廓线上的的点，可利用用辅助圆法作作图。(2)求中间点。对对于Ⅶ、Ⅷ可利用辅助圆圆法作图。(3)判别可见性光光滑连接。对对于水平投影影来讲，圆锥锥面上的点都都可见。对侧侧面投影来讲讲，左半个圆圆锥面可见，，右半个圆锥锥面不可见。。因此Ⅰ、Ⅴ、Ⅵ三个点的侧面面投影可见，其他点的侧面面投影不可见见。(4)整理轮廓线。。对于侧面投投影来说，从从Ⅴ、Ⅵ两点往上，圆圆锥的最前和和最后轮廓线线被截去。整整个作图过程程如图5.27(b)所示5.4平面与立体相相交3.平面与球相交交平面与球相交交，无论平面面与球的相对对位置如何，，其截交线都都是圆。但由由于截平面对对投影面的位位置不同，所所得到的截交交线(圆)的投影也不相相同。【例5.14】如图5.28(a)所示，求作铅铅垂面与圆球球的截交线。。分析与作图：：由于截平面面为铅垂面，，所以截交线线(圆)的水平投影积积聚为一条直直线，而正面面投影和侧面面投影均为椭椭圆。其作图图步骤如下所所述。(1)求特殊点。①①椭圆长、短短轴的端点：：点Ⅰ、Ⅱ的正面投影1、2和侧面投影1″、2″分别为V面和W面上椭圆短轴轴的端点；在在H面上，过球心心的水平投影影向1、2作垂线，垂足足为1、2的中点，此点点即为椭圆长长轴两端点的的水平投影3、4利用辅助圆法法和点的投影影规律可求出出其正面投影影3′、4′和侧面投影3″、4″；②特殊素线线圆上的点：：球面上对W面的转向轮廓廓线与截平面面的交点为Ⅴ、Ⅵ，对V面的转向轮廓廓线与截平面面的交点为Ⅶ、Ⅷ，这些点均可可利用各轮廓廓线的投影规规律求得。(2)求中间点。作作出若干中间间点以使投影影作图更加准准确。(3)判别可见性并并光滑连接。。(4)整理轮廓线。。整个作图过过程如图5.28(b)所示。5.4平面与立体相相交(a)(b)图5.28铅垂面截切圆圆球5.4平面与立体相相交5.4.3截交线投影分分析综合举例例在实际应用中中，立体被平平面所截的情情况是比较复复杂的。除了了被单一的平平面所截切之之外，还包括括单个立体被被多个截平面面所截、多个个立体组合后后被一个或多多个平面所截截等情况。因因此在求解截截交线投影的的过程中，关关键的一步是是准确地分析析及判断形体体。即首先要要根据所给条条件判断被截截基本体的类类型及其投影影特性、截平平面与被截基基本体的相对对位置及与投投影面的相对对位置，从而而确定所求截截交线的空间间形状和投影影形状。下面面通过几个例例子进一步说说明。【例5.15】根据如图5.29(a)所示物体的投影，，求作其完整的水水平投影和侧面投投影。分析与作图：首先先根据所给投影(如图5.29(a)所示)可知，这是一个轴轴线垂直于W面的圆柱被一水平平面和一正垂面所所截。对于位置为为水平面的截平面面，由于其与圆柱柱的轴线平行，所所以截交线应为两两平行轴线的直线线(即直素线)。对于位置为正垂垂面的截平面，由由于其与圆柱的轴轴线倾斜，但没有有完全截切圆柱，，因此截交线应为为椭圆弧。两截平平面之间的交线ⅣⅤ是一条正垂线，也也是上述两段截交交线的分界线；交交线的两个端点Ⅳ、Ⅴ正是上述两段交线线的起点和终点。。为清楚起见，作图图时可在V面投影上标出特殊殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ的正面投影上1′、2′(3′)、4′(5′)，根据圆柱侧面投投影所具有的积聚聚性，求出其水平平投影。作出各点点的投影后，判别别可见性，光滑连连接。最后注意整整理轮廓线，以及及截平面之间的交交线(正垂线)。整个作图过程如如图5.29(b)所示。5.4平面与立体相交(a)(b)图5.29水平面和正垂面截截切圆柱5.4平面与立体相交【例5.16】根据如图5.30(a)所示的立体，求作作其完整的水平投投影和侧面投影。。分析与作图：很明明显，这是一个轴轴线垂直于H面的正圆锥被两个个正垂面所截。对对照前述圆锥截交交线的五种情况，，对于过锥顶的正正垂面，其截交线线应为过锥顶的两两条直素线。因此此只要利用辅助圆圆法求出Ⅶ、Ⅷ的水平投影和侧面面投影，连接锥顶顶和Ⅶ、Ⅷ的同面投影即可作作出截交线的两面面投影。而另一个正垂面的的截平面，由于其其与圆锥的轴线倾倾斜，延长后与圆圆锥的所有素线相相交，因此截交线线应为椭圆连线弧弧(没有完全截切圆锥锥)。在V面上延长该截平面面与圆锥的最右轮轮廓线相交于2′点。取1′、2′的中点3′(4′)为椭圆短轴上两点点的正面投影，同同时也为该椭圆上上的最前点和最后后点。Ⅴ和Ⅵ为圆锥面上最前和和最后轮廓线上的的两点。利用辅助助圆法和圆锥轮廓廓线上点的投影特特性，可以求出这这些点的另外两个个投影。Ⅸ、Ⅹ两点为中间点，可可用辅助圆法求出出其另外两个投影影。在求出特殊点点和中间点后，判判别可见性并光滑滑连接。整理轮廓线。可以以看出在W面上，Ⅴ和Ⅵ点以上的圆锥的最最前和最后轮廓线线被截去。最后注注意两个截平面之之间的交线及其可可见性，整个作图图过程如图5.30(b)所示。5.4平面与立体相交图5.30水平面和正垂面截截切圆柱5.4平面与立体相交【例5.17】如图5.31(a)所示，组合回转体体被一水平面和一一正垂面所截，求求作其完整的水平平投影和侧面投影影。分析与作图：从投投影图可以看出该该组合回转体左边边的半球和右边的的圆柱相切而成。。截平面为一个水水平面和一个正垂垂面。其中，水平平面同时截切半球球和圆柱的一部分分，正垂面只截切切圆柱。水平面与与半球相截，截交交线为一半圆，该该半圆的水平投影影反应实形，侧面面投影积聚为直线线。水平面与圆柱柱相截，截交线为为两条相互平行的的直线。正垂面与圆柱相截截，由于该正垂面面与圆柱的轴线倾倾斜，且没有与圆圆柱完全相截，截截交线为椭圆弧。。可利用圆柱面上上取点的方法求出出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ这5个点的水平投影和和侧面投影。注意意两个截平面之间间的交线，交线为为正垂线。整个作作图过程如图5.31(b)所示。5.4平面与立体相交(a)(b)图5.31组合回转体被截5.4平面与立体相交工程零件上常见的的还有一类带切口口的基本体，其立立体形状与三面投投影见表5-6。实心圆柱含轴线切槽实心圆柱两边切槽空心圆柱含轴线切槽空心圆柱两边切槽表5-6常见的带切口基本本体的投影5.4平面与立体相交5.4.4使用CAD系统产生截交线在AutoCAD中，可以使用“截面”(SECTION)命令获得实体模型型在任意位置被截截平面截交产生的的截交线(实质上，AutoCAD使用定义的截平面面和实体的交集创创建一个面域)。在选定了被截对象象后，系统提供了了很多选项来定义义截平面，如指定定截面上的3个点、或依照对象象(O)/Z轴(Z)/视图(V)/XY平面(XY)/YZ平面(YZ)/ZX平面(ZX)等方式来定义截平平面，这里仅介绍绍常用的几种定义义方式。1)三点(3)通过不在一条直线线上的3个点来定义一个截截平面，如图5.32所示图5.32三点定义截平面图5.33Z轴定义截平面5.4平面与立体相交2)Z轴(Z)通过指定截平面上上的一点，以及指指定确定平面Z轴或法线的另一点点来定义截平面，，实际上该选项类类似于UCS命令中的“Z轴(Z)”选项。如图5.33所示，在圆柱内作作一条辅助线，取取其中点作为截平平面上的一点，上上端面圆的某一象象限点作为第二点点定义Z轴，Z轴确定后，XY面也随即确定，截截平面就是XY平面。3)XY平面(XY)/YZ平面(YZ)/ZX平面(ZX)以UCS的坐标面作为截平平面。通过变换UCS，系统提供的这3个选项可以更加灵灵活地定义截平面面。如图5.34所示，是使用UCS的不同平面产生的的圆柱上的3种截交线，如图5.35所示是使用UCS的不同平面产生的的圆锥上的3种截交线。5.4平面与立体相交图5.34圆柱的3种截交线图5.35圆锥的5种截交线5.4平面与立体相交5.5立体与立体相交两立体相交时，其其表面产生的交线线称为相贯线。根根据平面立体和曲曲面立体两两组合合，相贯线形成的的情况有3类：两平面立体相相交［如图5.36(a)所示］、平面立体体和曲面立体相交交［如图5.36(b)所示］和两曲面立立体相交［如图5.36(c)所示］。(a)(b)(c)图5.36立体表面的相贯线线由于立体的形状、、大小及其相对位位置不同，相贯线线的形状也各不相相同。但任何形状状的相贯线都具有有以下两个基本性性质：(1)封闭性。由于立体体都占有一定空间间，因此相贯线一一般是封闭的空间间曲线。(2)共有性。相贯线是是两相交立体表面面的共有线，即相相贯线既在立体一一表面上，又在立立体二表面上。同样值得注意的是是：一旦两相交立立体的形状和相对对位置确定，则在在二者相交后，相相贯线的形状便会会自然产生，也不不是由人工刻意要要求的。因此，在在求作相贯投影时时，必须首先根据据相交立体的形状状和相对位置来分分析相贯线的形状状，然后再根据几几何作图原理和投投影三等定理找到到相贯线的投影。。5.5立体与立体相交5.5.1两曲面立体相交由如图图5.36(a)所示可可明显显看出出，两两平面面立体体相交交的问问题，，最终终可化化简为为平面面与平平面相相交求求交线线的问问题。。平面立立体和和曲面面立体体相交交，可可视为为曲面面立体体与平平面立立体上上各棱棱面(即平面面)相交，，其相相贯线线是由由若干干段平平面曲曲线首首尾相相接而而成的的封闭闭的空空间折折线，，而每每段平平面曲曲线是是平面面立体体上的的相关关棱面面与曲曲面立立体相相交所所得的的截交交线，，如图图5.36(b)所示。。每两两条平平面曲曲线(截交线线)的交点点称为为相贯贯线的的结合合点，，它也也是平平面立立体上上相关关棱线线与曲曲面立立体的的交点点。因因此，，求平平面立立体与与曲面面立体体相贯贯线的的问题题可归归结为为求每每段截截交线线以及及各段段截交交线交交点的的问题题。因因此本本节重重点介介绍两两曲面面立体体的交交线问问题。。1.两曲面面立体体交线线概述述两曲面面立体体相贯贯，一一般情情况下下相贯贯线为为封闭闭的空空间曲曲线，，特殊殊情况况下会会出现现平面面曲线线或直直线。。相贯贯线上上的点点为相相交两两立体体表面面所共共有，，因此此求作作相贯贯线可可归结结为求求两立立体表表面一一系列列共有有点的的问题题。与与截交交线投投影的的求解解一样样，求求作相相贯线线的投投影也也是先先从特特殊点点出发发，然然后求求出中中间点点，判判别可可见性性，交交线光光滑连连接，，最后后一定定要注注意整整理两两立体体的轮轮廓线线，两两立体体相交交后合合为一一体的的轮廓廓线消消失，，不要要画出出。5.5立体与与立体体相交交求解相相贯线线投影影一般般采用用表面面取点点法或或辅助助平面面法。。表面面取点点法实实际上上就是是使用用前述述在基基本体体表面面取点点的方方法，，在两两立体体共有有点的的几何何条件件下，，求作作相贯贯线的的投影影。辅助平平面法法的基基本原原理是是三面面共点点原理理，即即三面面相交交必共共点。。作一一个辅辅助平平面与与两个个立体体都相相交，，设辅辅助平平面与与立体体Ⅰ产生的的截交交线为为L，辅助助平面面与立立体Ⅱ产生的的截交交线为为S，那么么L与S的交点点既在在立体体Ⅰ上，又又在立立体Ⅱ上，因因此该该交点点一定定是两两立体体相贯贯线上上的点点。如图5.37(a)所示圆圆柱与与圆锥锥相交交的情情况。。如用用一水水平面面P同时截截切圆圆柱和和圆锥锥，它它与圆圆锥面面的截截交线线是水水平圆圆，与与圆柱柱面的的截交交线是是平行行于圆圆柱轴轴线的的两条条直线线。显显然两两截交交线的的交点点A、B即为圆圆锥面面与圆圆柱面面的一一对共共有点点，也也就是是相贯贯线上上的两两点。。又如如图图5.37(b)所示两两圆柱柱正交交的情情况，，如采采用一一平行行于两两圆柱柱轴线线的辅辅助平平面P截切两两圆柱柱，两两组截截交线线(直素线线)的交点点C、D也必为为相贯贯线上上的一一组点点。5.5立体与与立体体相交交(a)(b)图5.37辅助平面法法求相贯线线在使用辅助助平面法求求相贯线时时，一个重重要的原则则就是所取取的辅助平平面一定是是特殊位置置平面，且且截切立体体所产生截截交线的投投影形式最最为简单，，即是直线线或圆。5.5立体与立体体相交2.解题示例【例5.18】】如图5.38(a)所示，求作作轴线正交交的两圆柱柱的相贯线线。分析与作图图：两圆柱柱正交，相相贯线为前前后、左右右均对称的的空间曲线线。其水平平投影重影影于直立圆圆柱的水平平投影，侧侧面投影重重影于水平平圆柱的侧侧面投影，，所以只需需求作相贯贯线的正面面投影。也也就是说，，该问题的的求解属于于已知相贯贯线的两个个投影求作作第三投影影的问题。。其正面投投影相当于于空间曲线线的Y坐标为零时时由XZ确定的平面面曲线。(1)求特殊点。。由于两曲曲面立体相相交的相贯贯线在一般般情况下是是一条封闭闭的空间曲曲线，因此此特殊点的的确定，就就只能根据据两相交立立体特殊素素线(圆)上的点来分分析相贯线线上最高、、最低、最最前、最后后、最左、、最右的点点。在本例例中，两圆圆柱的V面轮廓线的的交点Ⅰ(1、1′和1″)和Ⅱ(2、2′和2″)为相贯线的的最左点、、最右点，，同时也是是最高点。。从侧面投投影中可以以直接得到到最低点Ⅲ(3、3′和3″)和Ⅳ(4、4′和4″)，同时也是是最前点和和最后点。。(2)用辅助平面面法求作中中间点。由由于两圆柱柱轴线垂直直相交平行行于V面，这里选选择正平面面作为辅助助平面(也可选择水水平面或侧侧平面为辅辅助平面，，这几种辅辅助平面与与两圆柱截截交线的投投影均为直直线或圆)。作辅助面面P，其投影为为ph和pw。求得点Ⅴ(5、5′和5″)和Ⅵ(6、6′和6″)。(3)判别可见性性，光滑连连接。相贯贯线正面投投影的可见见部分与不不可见部分分重合，因因此画成粗粗实线，结结果如图5.38(b)所示。5.5立体与立体体相交(a)(b)图5.38两圆柱正交交5.5立体与立体体相交两立体相交交可能是外外表面，也也可能是内内表面。如如图5.39(a)所示的圆柱柱通孔，其其相贯线仍仍可看成是是直立圆柱柱与水平圆圆柱的交线线，其形状状与求法相相同，所不不同的是用用虚线画出出直立圆柱柱孔的轮廓廓线。如图图5.39(b)所示为在一一水平空心心圆柱上钻钻一个垂直直圆柱孔的的情况。其其中钻孔与与外圆柱面面的相贯线线和钻孔与与内圆柱表表面的相贯贯线的性质质、形状和和求法，实实际上与图图5.38(b)中两圆柱外外表面相交交的情况是是完全相同同的。(a)(b)图5.39圆柱通孔与与圆筒通孔孔5.5立体与立体体相交【例5.19】】如图5.40(a)所示，求作作轴线正交