高考数学二轮复习专题16数列放缩证明不等式必刷100题（学生版）

/22/22/专题16数列放缩证明不等式必刷100题任务一:邪恶模式(困难)1-100题提示:几种常见的数列放缩方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.一、单选题1．M.F8年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是A． B． C． D．2．已知数列满足，，且，，则下列说法中错误的是（）A． B．C． D．3．已知数列满足，，则下列选项正确的是（）A． B．C． D．4．已知数列满足，，若，对任意的，恒成立，则的最小值为（）．A． B． C． D．35．已知数列的前项和为，满足，则下列说法正确的是（）A．当时，则 B．当时，则C．当时，则 D．当时，则第II卷（非选择题）二、解答题6．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，证明：.7．已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：.8．已知等差数列的前n项和为，且，又．求数列的通项公式；若数列满足，求证：数列的前n项和．【答案】（1）（2）证明见解析9．已知等差数列满足，，的前n项和为．（1）求及；（2）记，求证：．10．公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明对任意的，恒成立．11．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且a1＝2．数列{bn}满足b1＝0，b2＝2，，n＝2，3，…．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）证明：对于n∈N*，．12．已知函数的导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．若（1）当时，试比较与的大小；（2）记试证.13．已知数列满足．⑴求;⑵求数列的通项公式；⑶证明：14．数列满足：；数列满足：，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，证明：；（3）设，证明：.15．在下列条件：①数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，②，③中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.已知数列的前n项和为，___________.（1）求数列的通项公式和前n项和；（2）设，数列的前n项和记为，证明：.16．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.17．已知数列中，，（1）求的通项公式；（2）设，，求证：18．数列满足，是的前n项的和，．（1）求；（2）证明：．19．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（1）求证：；（2）求证：．20．已知数列的首项，，、、．（1）证明：对任意的，，、、；（2）证明：.21．已知数列满足，.（1）证明：数列是等差数列；（2）令，证明：.22．已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，证明：当时，.23．已知数列的前n项和为，若.（1）求通项公式；（2）若，为数列的前n项和，求证：.24．已知数列满足，，.（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：，.25．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．26．已知数列的前n项和为，，．（1）求证为等比数列；（2）求证：．27．已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：对于任意的，.28．已知数列满足，，，.（1）（i）证明：数列是等差数列；（ii）求数列的通项公式；（2）记，，，证明：当时，.29．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.（3）若数列满足，求证：.30．已知数列的首项，其前项和为，且满足，，其中．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．31．已知数列满足，的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：.32．已知数列，满足，（1）若，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式：（2）若，（i）求证：；（ii）33．已知数列满足，，（1）求;（2）若数列满足，，求证：．34．设等差数列的前项和为，.（1）求与；（2）设，证明：.35．已知数列满足：，，.（1）求证是等差数列并求；（2）求数列的前项和；（3）求证：.36．已知数列满足，（1）求证：是等比数列；并写出的通项公式（2）求证：对任意，有37．已知是正项等比数列的前n项和，且，是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．38．已知数列满足，前项和满足是正项等比数列，且是和的等比中项.（1）求数列和的通项公式；（2）求证：.39．已知各项均为正数的数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求；（3）若数列满足，，求证：.40．已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．41．已知各项为正数的数列满足：且．（1）证明：数列为等差数列．（2）若，证明：对一切正整数n，都有42．已知数列满足：，.（I）求证：数列是等比数列；（II）设的前项和为，求证.43．记为等差数列的前项和，若，.（1）求和；（2）当时，证明：.44．已知正项数列满足，.（1）证明：数列是等比数列；（2）证明：.45．已知数列的前n项和记为，且满足n、、成等差数列．Ⅰ求，的值，并证明：数列是等比数列；Ⅱ证明：．46．给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”；2若数列满足：，；①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；②若数列的前项和为，证明：.47．已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：．48．已知函数，数列中，若，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：.49．设为数列的前项和，．（1）求证：数列是等比数列；（2）求证：．50．已知数列中，，其前项和满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前项和为，证明：对于任意的，都有．51．已知数列的各项均不为零．设数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅲ）证明：.52．数列前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）证明．53．已知数列满足，.(1)若为不恒カ0的等差数列，求；(2)若，证明：.54．数列的前n项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．55．已知正项数列满足.（1）求证:，且当时，；（2）求证:.56．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝b1＝1，S2＝.(1)若b2是a1，a3的等差中项，求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)若an∈N＋，数列{}是公比为9的等比数列，求证：＋＋＋…＋＜.57．已知数列，，二次函数的对称轴为.(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求证：.58．已知数列的前项和满足：.（1）数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：.59．已知数列满足，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：．60．数列满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，求证：.61．设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.62．已知函数，数列满足，，.（1）求证：；（2）求证：.63．已知数列{an}满足.(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求an+1=f(an)的不动点的值；(Ⅱ)若,求证：数列{lnbn}是等比数列，并求数列{bn}的通项．(Ⅲ)当任意时，求证：.64．数列{an}满足a（1）求证数列{a（2）证明：对一切正整数n，有1a65．已知数列满足条件：,（1）判断数列是否为等比数列；（2）若，令,证明66．已知数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）证明：．67．已知数列满足：是公差为1的等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：68．已知正项数列满足：﹣＝1，（n∈N+，n≥2），且a1＝4．（1）求的通项公式；（2）求证＜1（n∈N+）69．已知等差数列的各项均为正数，＝3，前n项和为Sn，是等比数列，＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960．（1）求数列与的通项公式；（2）求证：对一切都成立．70．已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的前项和；（2）记，证明：．71．已知数列满足，且点在函数的图象上．（1）求证：是等比数列，并求的通项公式：（2）若，数列的前n项和为，求证：．72．已知数列满足，且当时，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，，证明：当时，．73．已知数列满足，．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求证：．74．已知正项数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，，求证：．75．数列满足，，，.（1）求，及(用表示)；（2）设，求证：；（3）求证：.76．已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.（1）求数列和的通项公式；（2）令，求证：.77．设数列的前项和为，且满足，.（1）求（用表示）；（2）求证：当时，不等式成立.78．已知函数，满足：①对任意，都有；②对任意都有．（1）试证明：为上的单调增函数；（2）求；（3）令，试证明：79．已知正项数列满足，.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）设数列的前项和为，证明：当时，.80．已知数列满足．（1）求数列的通项；（2）设，若，求证：．81．已知数列和满足，且对任意的，，.（1）求，及数列的通项公式；（2）记，，求证：，.82．已知数列的前n项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．83．正项数列的前项和为，满足对每个，成等差数列，且成等比数列.（1）求的值；（2）求的通项公式；（3）求证：84．数列，，（1）是否存在常数，，使得数列是等比数列，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由.（2）设，，证明：当时，.85．已知数列满足.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明；（Ⅲ）证明：.86．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，，．（1）求、的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．87．已知数列满足，且.（1）证明：；（2）证明：.88．已知数列、满足，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：；（Ⅲ）设数列的前项和为，求证：当时，．89．已知数列满足，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若，记数列的前项和为，证明：．90．在数列中，已知，其中.（1）求的值，并证明：；（2）证明：；（3）设，求证：.91．已知数列满足：，，前项和为的数列满足：，，又.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.92．已知数列，.(1)记，证明:是等比数列；(2)当是奇数时，证明:；(3)证明:.93．已知数列满足,,,.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的通项公式;(3)证明:.94．已知数列的首项，其前和为，且满足.（1）用表示的值；（2）求数列的通项公式；（3）当时，证明：对任意，都有.95．已知数列，的前项和分别为，，且，，．（1）求，的通项公式；（2）