2022年江苏省南通市如东县中考数学一模试卷（解析版）

2022年江苏省南通市如东县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．02．据国家统计局数据，2021年中国国内生产总值约1144000亿元．将1144000用科学记数法表示为（）A．0.1144×107 B．1.144×107 C．0.1144×106 D．1.144×1063．下列计算正确的是（）A．﹣＝6 B．+2＝2 C．÷＝2 D．×＝34．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）A．调查某班学生的身高情况 B．调查某批汽车的抗撞击能力 C．调查亚运会100米游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量5．如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．长方体 B．球体 C．圆柱 D．圆锥6．若一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），点B（0，﹣3），则该函数图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．若菱形ABCD的对角线AC＝8，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为（）A．16 B．16 C．32 D．648．若关于x的不等式组的最大整数解是2，则实数a的取值范围是（）A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．2≤a＜3 D．2＜a≤39．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，沿折线AB﹣BC运动到点C停止，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E的运动路程为xcm，DF＝ycm，则y与x对应关系的图象大致是（）A． B． C． D．10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y＝（k＞3）分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第14～18小题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．分解因式：4x2﹣9＝．12．一个正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是．13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．14．《九章算术》中有一道题，原文是“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人共同买鸡，根据题意，则可列方程为．15．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，若这栋楼的楼高BC＝100m，则热气球A与该楼的水平距离为m（结果保留根号）．16．若实数m，n满足m2+n2+m2n2+8mn+9＝0，则（m﹣n）2的值为．17．平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m+2），点Q（n，0），点M（1，1），则PQ+QM最小值为．18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，得△DCE，点D，点E分别与点A，点B对应，边CE，DE与边AB相交，交点分别为点F，点G，若，则的值为．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：2x（x﹣y）+（x﹣2y）2；（2）解方程：＝．20．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB有什么关系？为什么？21．在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：9.6ㅤㅤ8.8ㅤㅤ8.8ㅤㅤ8.9ㅤㅤ8.6ㅤㅤ8.7对打分数据有以下两种处理方式：方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计；平均分中位数方差8.9a0.107方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计；平均分中位数方差b8.8c（1）a＝，b＝，c＝；（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由．22．有一个质地均匀的正四面体（其四个面是四个全等的正三角形），四个面上分别写有1，2，3，4这四个整数．（1）抛掷这个正四面体一次，向下一面的数字是2的概率为；（2）抛掷这个正四面体两次，求向下一面的数字两次相同的概率．23．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．24．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．（1）设该商品每件定价为x元，每星期可卖出y件，分别求出当x＞50和x＜50时，y与x的函数关系式；（2）若该商品的进价为每件30元，如何定价才能使得每星期的利润最大？请说明理由．25．已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如图1，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，设∠BAE＝α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）在（1）的条件下，延长CF交AD于点G，求△AFG的面积；（3）如图2，点E是边AB上的一个动点，将△BEC沿CE折叠，点B落在点F处，连接AF，DF，当△ADF是等腰三角形时，求tan∠BCE的值．26．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．0【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．故选：A．【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．2．据国家统计局数据，2021年中国国内生产总值约1144000亿元．将1144000用科学记数法表示为（）A．0.1144×107 B．1.144×107 C．0.1144×106 D．1.144×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：1144000＝1.144×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．3．下列计算正确的是（）A．﹣＝6 B．+2＝2 C．÷＝2 D．×＝3【分析】利用二次根式的相应的法则对各项进行运算即可．解：A、，故A不符合题意；B、与2不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）A．调查某班学生的身高情况 B．调查某批汽车的抗撞击能力 C．调查亚运会100米游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量【分析】根据全面调查与抽样调查的特点判断即可．解：A、调查某班学生的身高情况适合采用全面调查，故此选项不符合题意；B、调查某批汽车的抗撞击能力适宜采用抽样调查，故此选项符合题意；C、调查亚运会100米游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况适合采用全面调查，故此选项不符合题意；D、调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量适合采用全面调查，故此选项不符合题意；故选B．【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．5．如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．长方体 B．球体 C．圆柱 D．圆锥【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个立体图形的名称是圆柱．故选：C．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．6．若一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），点B（0，﹣3），则该函数图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】描点、连线，画出函数图象，观察函数图象可得出该函数图象不经过第二象限．解：描点、连线，画出函数图象，如图所示.∴该函数图象不经过第二象限．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象，依照题意，画出函数图象是解题的关键．7．若菱形ABCD的对角线AC＝8，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为（）A．16 B．16 C．32 D．64【分析】由菱形的性质可得OC的长，∠OBC＝30°，利用三角函数可得OB的长，从而可得BD的长，利用菱形的面积公式可得答案．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，∠ABC＝60°，∴BO＝OD，AO＝CO＝AC＝4，∠OBC＝30°，∴OB＝，∴BD＝8，∴菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝8×8＝32．故选：C．【点评】此题考查的是菱形的性质，解直角三角形等知识，正确画出图形是解决此题的关键．8．若关于x的不等式组的最大整数解是2，则实数a的取值范围是（）A．1≤a＜2 B．1＜a≤2 C．2≤a＜3 D．2＜a≤3【分析】首先解每个不等式，根据最大整数解为2，得出表达式的解集为2＜a+1≤3，进一步求解即可得出答案．解：由3x﹣3≤6得：x≤3，解不等式x﹣a＜1，得：x＜a+1，∵关于x的不等式组的最大整数解是2，∴2＜a+1≤3，∴1＜a≤2，故选：B．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力，根据不等式组最大整数解得出关于a的不等式组是解题的关键．9．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，沿折线AB﹣BC运动到点C停止，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E的运动路程为xcm，DF＝ycm，则y与x对应关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】分别求出点E在AB、BC段运动时函数的表达式，即可求解．解：①当点E在AB上运动时，y＝DF＝AE＝x，即：y＝x（0≤x≤4），为正比例函数；②当点E在BC上运动时，如下图，则BE＝x﹣AB＝x﹣4，EC＝BC﹣BE＝4﹣（x﹣4）＝8﹣x，DF＝y，FC＝4﹣y，∵∠B＝∠C＝∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∠AEB+∠EAB＝90°，∴∠FEC＝∠EAB，∴△ABE∽△ECF，即：，即，整理得：y＝x2﹣3x+12＝（4＜x≤8），为二次函数，∵＞0，∴抛物线开口向上，当x＝6时，y有最小值3，当x＝8时，y的最大值为4；故选：C．【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、正比例函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y＝（k＞3）分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为（）A． B． C． D．【分析】过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，先由点A和点B的坐标得到AF，BH，FH的长，然后求得△AOF，△BOH，梯形ABHF的面积，进而结合△AOB的面积列出方程求得x1和x2之间的关系，然后由AC∥BD∥x轴得到点C和点D的坐标，进而得到AC和BD的长，最后得到结果．解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，∵A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，∴AF＝，BH＝，FH＝x2﹣x1，S△AOF＝，S△BOH＝，∴S梯形ABHF＝FH•（AF+BH）＝，∵S△AOB＝S△AOF+S梯形ABHF﹣S△BOH＝+﹣＝＝，∴x12﹣x22＝x1x2，即，令t＝，则t﹣＝，t＞1，解得：t＝2或t＝﹣（舍），∴＝2，∵AC∥BD∥x轴，点C，点D在双曲线y＝（k＞3）图象上，∴点C（，），点D（，），∴AC＝﹣x1，BD＝﹣x2，∴＝，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．二、填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第14～18小题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．分解因式：4x2﹣9＝（2x﹣3）（2x+3）．【分析】先整理成平方差公式的形式．再利用平方差公式进行分解因式．解：4x2﹣9＝（2x﹣3）（2x+3）．故答案为：（2x﹣3）（2x+3）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．12．一个正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是8．【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可．解：360÷45＝8（条），故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是2．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．故答案为：2．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．14．《九章算术》中有一道题，原文是“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有x人共同买鸡，根据题意，则可列方程为9x﹣11＝6x+16．【分析】利用鸡的价钱不变，结合“如果每人出9文钱，多出11文钱；如果每人出6文钱，还差16文钱”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．解：依题意得：9x﹣11＝6x+16．故答案为：9x﹣11＝6x+16．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．15．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，若这栋楼的楼高BC＝100m，则热气球A与该楼的水平距离为m（结果保留根号）．【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，设AD＝xm，然后利用三角函数求解即可求得答案．解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，设AD＝xm，在Rt△ABD中，BD＝AD•tan30°＝x（m），在Rt△ACD中，CD＝AD•tan60°＝x（m），∵x+x＝100，解得x＝25．∴热气球A与该楼的水平距离为25m．故答案为：25．【点评】本题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．16．若实数m，n满足m2+n2+m2n2+8mn+9＝0，则（m﹣n）2的值为12．【分析】先将m2+n2+m2n2+8mn+9＝0变形为（m+n）2+（mn+3）2＝0，推出m+n＝0，mn+3＝0，然后将（m﹣n）2变形为（m+n）2﹣4mn，最后求值即可．解：∵m2+n2+m2n2+8mn+9＝0，∴m2+n2+2mn+m2n2+6mn+9＝0，∴（m+n）2+（mn+3）2＝0，∴m+n＝0，mn+3＝0，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝12，故（m﹣n）2的值为12，故答案为：12．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．17．平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m+2），点Q（n，0），点M（1，1），则PQ+QM最小值为2．【分析】根据点P（m，m+2）可知，点P在一次函数y＝x+2的图像上移动，作M关于x轴的对称点M'，过点M作MP⊥AB于点P，交x轴于点Q，连接AM'，BM'，QM'，利用“垂线段最短“原理，可知此时PQ+QM最小，最小值为PM的长度，利用等腰三角形的性质求解PM'即可得出答案．解：如图所示，由题意可知，点P（m，m+2）在一次函数y＝．x+2的图像上移动，一次函数分别交x轴、y轴于点B，A，作M关于x轴的对称点M，过点M作MP⊥AB于点P，交x轴于点Q，连接AM'，BM'，QM'，∴PQ+QM＝PQ+QM'≥MP，即PQ+OM得最小值为PM的长．∵M（1，1），∴M'（1，﹣1），∵A（0，2），B（﹣2，0），∴M'A＝M'B＝，∴AP＝BP，∴P（﹣1，﹣1），∴M'P＝＝2，即PQ+QM得最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查了最值问题，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质以及根据两点坐标求点之间的距离，思考问题时参照“将军饮马“模型，根据“垂线段最短“原理，将问题转化为求垂线段的长度是解决本题的关键．18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，得△DCE，点D，点E分别与点A，点B对应，边CE，DE与边AB相交，交点分别为点F，点G，若，则的值为．【分析】利用勾股定理，求出HB，HF，CF的长度，进而求得EF的长度，利用相似三角形的性质得到比值即可．解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H，在Rt△ABC中，sinB＝＝，∴设AC＝3k，则AB＝5k，∴BC＝＝4k，∵AB•CH＝AC•BC＝2S△ABC，∴CH＝＝k，∵＝，∴BF＝＝2k，在Rt△HBC中，∵BH＝＝，∴HF＝BH﹣BF＝＝，在Rt△HFC中，CF＝＝＝k，∵△DCE由△ACB旋转得到，∴∠E＝∠B，CE＝BC＝4k，∴EF＝CE﹣CF＝，∵∠GFE＝∠BFC，∴△EFG∽△BFC，∴，即＝．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，熟练找到对应边、相似比．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：2x（x﹣y）+（x﹣2y）2；（2）解方程：＝．【分析】（1）原式利用单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）原式＝2x2﹣2xy+x2﹣4xy+4y2＝3x2﹣6xy+4y2；（2）方程两边同时乘以x（x﹣1）得：4x﹣4＝3x，解得：x＝4，检验：当x＝4时，x（x﹣1）≠0，所以原分式方程的解为x＝4．【点评】此题考查了解分式方程，单项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式、运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．20．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB有什么关系？为什么？【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．解：∵OA＝3OD，OB＝3CO，∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝，∴AB＝3CD．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．21．在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：9.6ㅤㅤ8.8ㅤㅤ8.8ㅤㅤ8.9ㅤㅤ8.6ㅤㅤ8.7对打分数据有以下两种处理方式：方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计；平均分中位数方差8.9a0.107方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计；平均分中位数方差b8.8c（1）a＝8.8，b＝8.8，c＝0.005；（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由．【分析】（1）依据中位数、平均数、方差的定义即可求解；（2）去掉一个最高分和一个最低分统计平均分的方法更合理，这样可以减少极端值对数据的影响．解：（1）方式一：不去掉任何数据，这组数据的中位数为：a＝＝8.8；方式二：去掉一个最高分和一个最低分，平均数为b＝×（8.8+8.8+8.9+8.7）＝8.8，方差为：c＝×[（8.8﹣8.8）2+（8.8﹣8.8）2+（8.9﹣8.8）2+（8.7﹣8.8）2]＝0.005，故答案为：8.8，8.8，0.005；（3）方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计更合理，理由：这样可以减少极端值对数据的影响．【点评】本题主要考查了平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．22．有一个质地均匀的正四面体（其四个面是四个全等的正三角形），四个面上分别写有1，2，3，4这四个整数．（1）抛掷这个正四面体一次，向下一面的数字是2的概率为；（2）抛掷这个正四面体两次，求向下一面的数字两次相同的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与向下一面的数字两次相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）抛掷这个正四面体一次，向下一面的数字是2的概率为；故答案为：；（2）画树状图如下：由树状图可知，抛掷这个正四面体两次，共有16种等可能的结果，其中向下一面的数字两次相同的结果共有4种，∴P（向下一面的数字两次相同）＝＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A＝30°，根据圆周角定理求出∠DOB，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案；（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据正弦的定义求出DF，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．解：（1）连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∵∠ODE＝∠ABC＝90°，∴∠DEB＝360°﹣∠DOB﹣∠ODE﹣∠ABC＝120°；（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，∵AB＝6，∴OA＝OD＝AB＝3，∵∠DOB＝60°，∴∠AOD＝120°，∵Rt△OFD中，sin∠DOF＝，∴DF＝OD•sin∠DOF＝3×＝，∴S阴影＝S扇形DOA﹣S△OAD＝﹣×3×＝3π﹣．【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．24．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．（1）设该商品每件定价为x元，每星期可卖出y件，分别求出当x＞50和x＜50时，y与x的函数关系式；（2）若该商品的进价为每件30元，如何定价才能使得每星期的利润最大？请说明理由．【分析】（1）若x＞50，则商品涨价，若x＜50，则商品降价，由此题干所给条件可列出对应函数关系式；（2）设该商品每件定价为x元，每星期的利润为W元；根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．解：（1）当x＞50时，y＝200﹣5（x﹣50）＝﹣5x+450；当x＜50时，y＝200+25（50﹣x）＝﹣25x+1450；（2）设该商品每件定价为x元，每星期的利润为W元．当x＞50时，W＝（x﹣30）（﹣5x+450）＝﹣5x2+600x﹣13500（50＜x≤90）；∴当x＝60时，W最大＝30×150＝4500；当x＜50时，W＝（x﹣30）（﹣25x+1450）＝﹣25x2+2200x﹣43500（30≤x＜50）；∴当x＝44时，W最大＝14×350＝4900；当x＝50时，W＝（50﹣30）×200＝4000；∵4900＞4500＞4000，∴该商品每件定价为44元时，每星期的利润最大．【点评】此题考查二次函数的实际运用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．25．已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如图1，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，设∠BAE＝α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）在（1）的条件下，延长CF交AD于点G，求△AFG的面积；（3）如图2，点E是边AB上的一个动点，将△BEC沿CE折叠，点B落在点F处，连接AF，DF，当△ADF是等腰三角形时，求tan∠BCE的值．【分析】（1）根据矩形的性质得∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α．由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF＝∠BEF，BE＝EF，由点E为BC的中点得BE＝EC＝EC＝EF．可得∠BCF＝∠EFC．根据三角形外角的性质即可求解；（2）证明四边形AECG是平行四边形．得AG＝EC＝4．由∠BCF＝∠AEB得tan∠BCF＝tan∠AEB＝．即tan∠NCF＝．设NC＝2x，FN＝3x，则MF＝6﹣3x，EN＝4﹣2x．在Rt△FEN中，利用勾股定理求出x．可得MF的值，即可求解；（3）分三种情况讨论，①AD＝FD，②AF＝FD，③AF＝AD，由等腰三角形的性质可求解．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°．∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣α．∵△AFE由△ABE折叠得到，∴∠AEB＝∠AEF＝∠BEF，BE＝EF．∵点E为BC的中点，∴BE＝EC＝4．∴EC＝EF．∴∠BCF＝∠EFC．又∵∠BEF＝∠BCF+∠EFC．∴∠BCF＝∠BEF．∴∠BCF＝∠AEB＝90°﹣α；（2）如图，过点F作FM⊥AD，垂足为M，MF的延长线∠BC于点N，则FN⊥BC．∵∠BCF＝∠AEB，∴AE∥GC，又∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴四边形AECG是平行四边形．∴AG＝EC＝4．∵∠BCF＝∠AEB，∴tan∠BCF＝tan∠AEB＝．在Rt△FNC中，tan∠NCF＝．设NC＝2x，FN＝3x，则MF＝6﹣3x，EN＝4﹣2x．在Rt△FEN中，EN2+FN2＝EF2，∴（3x）2+（4﹣2x）2＝42，∴x1＝0（舍去），x2＝．∴MF＝6﹣3x＝．∴S△AGF＝；（3）①若AD＝FD，如图2，过点F作FH⊥CD，垂足为H，HF的延长线交AB于点G．矩形ABCD中，AD＝BC＝8，∴AD＝FD＝8，又∵BC＝FC＝8，∴DF＝CF＝8．∴CH＝CD＝3．在Rt△FCH中，由勾股定理可得FH＝．∴GF＝GH﹣FH＝8﹣．∵将△BEC沿CE折叠，点B落在点F处，∴∠EFC＝90°，BC＝CF，BE＝EF，∴∠GFE+∠CFH＝90°，∵FH⊥CD，AB∥CD，∴∠HCF+∠CFH＝90°，∠EGF＝∠FHC＝90°，∴∠GFE＝∠HCF，∴△EGF∽FHC，∴．∴tan∠BCE＝；②若AF＝FD，如图，过点F作FM⊥AD，垂足为M，过点F作FN⊥CD，交CD的延长线于点N．∵AF＝FD，FM⊥AD，∴MD＝AD＝4．∴FN＝MD＝4．∴Rt△FCN中，sin∠FCN＝．∴∠FCN＝30°．∴∠BCE＝∠ECF＝30°．∴tan∠BCE＝；③若AF＝AD，∵点E是边AB上的一个动点，∴AF≤6，∴AF≠AD．∴AF＝AD不合题意，舍去．综上，tan∠BCE的值为或．【点评】本题是四边形综合题，考查了去矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．26．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．（1）函数y＝x+