2021-2022学年辽宁省沈阳四十三中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年辽宁省沈阳四十三中八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共计20分）1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．6，8，11 B．5，12，23 C．4，5，6 D．1，1，2．下列各数中，是无理数的是（）A．3.1415 B． C． D．3．下列计算，正确的是（）A． B． C． D．4．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．一次函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的方程kx﹣b＝0的解是（）A．（1，0） B．（0，﹣1） C．x＝1 D．x＝﹣16．下列语句正确的是（）A．平行于x轴的直线上所有点的横坐标都相同 B．（﹣1，1）与（1，﹣1）表示两个不同的点 C．若点P（a，b）在y轴上，则b＝0 D．若点Q（﹣2，﹣1），则Q关于x轴对称点的坐标为（2，﹣1）7．某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人）317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.58．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．29．已知一次函数y＝kx+2（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（）A． B． C． D．10．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（）A． B． C．﹣1 D．二、填空题.（每小题3分，共计18分）11．比较大小：．12．点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为．13．佳佳做作业时不小心洒落了一些墨水，把一道二元一次方程涂黑了一部分：■x﹣3y＝12，但她知道这个方程有一个解为x＝3，y＝﹣2，请你帮她把这个涂黑方程补充完整：．14．老师给出一个函数，甲、乙、丙各指出了这个函数的一个性质：甲：这个函数的图象是一条直线，且与直线y＝﹣x+5平行．乙：这个函数的图象不经过第一象限．丙：我能计算出这个函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2．请你根据他们的叙述构造满足上述性质的函数关系式：．15．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是升．16．在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P为斜边AB中点，点D为射线AC上一点，连接PD，若CD＝1，则PD＝．三、解答题（第17小题6分，第18题每小题6分，第19题8分）17．计算：．18．（1）（2）19．已知，如图，Rt△ACB，∠A＝90°，AC＝8，AB＝4．（1）求出CB边的长度．（2）若点D、E分别是AC、CB边上的点，沿直线DE将∠C折叠，使得点C与点B重合，直接写出DE的长度．四、（每小题10分，共20分）20．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点△ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（3）在y轴上有一点P，使PB1+PC的和最小，请直接写出这个最小值，并写出点P的坐标为．21．某城市为创建国家卫生城市，需要购买甲、乙两种类型的分类垃圾桶（如图所示），据调查该城市的A、B、C三个社区积极响应号召并购买，具体购买的数和总价如表所示．社区甲型垃圾桶乙型垃圾桶总价A1083320B592860Cab2820（1）运用本学期所学知识，列二元一次方程组求甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价每套分别是多少元？（2）按要求各个社区两种类型的垃圾桶都要有，则a＝．五、（本题12分）22．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时从发，设客车离甲地为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶的时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式；（2）运用（1）的结论，求当x＝5时两车之间的距离；（3）若设两车间的距离为s，请直接写出两车相遇之前s与x的函数关系式；（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油，出租车恰好进入B站加油，请直接写出A加油站到甲地的距离．五、（本题12分）23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点P是直线AB上的一点，连接PC，以PC为腰作等腰直角△PCD．（1）如图1，当点P是线段上异于A、B的任一点，求证：AP2+BP2＝2PC2．（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上时，线段AP，BP，PC满足的关系式为；（3）如图3，当P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，请直接写出∠BPC的度数．七、（本题12分）24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，点A坐标（﹣9，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+12，点D是线段BC上一动点（不与点B、点C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．（1）求点B、点C的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）若点N在射线DE上，是否存在点N使△BCN是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（4）连接AD，当AD平分∠CAB时，请直接写出直线AD的解析式．

参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共计20分）1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．6，8，11 B．5，12，23 C．4，5，6 D．1，1，【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．解：A．∵62+82≠112，∴以6，8，11为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵52+122≠232，∴以5，12，23为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵42+52≠62，∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵12+12＝（）2，∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．2．下列各数中，是无理数的是（）A．3.1415 B． C． D．【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，＝2是有理数；解：＝2是有理数，是无理数，故选：D．3．下列计算，正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；利用二次根式的性质对B进行判断；利用平方差公式对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．解：A、原式＝2﹣＝，所以A选项正确；B、原式＝＝5，所以B选项错误；C、原式＝4﹣5＝﹣1，所以C选项错误；D、原式＝﹣1＝2﹣1＝1，所以D选项错误．故选：A．4．在平面直角坐标系中，点（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．解：∵点的横坐标3＞0，纵坐标﹣4＜0，∴点P（3，﹣4）在第四象限．故选：D．5．一次函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的方程kx﹣b＝0的解是（）A．（1，0） B．（0，﹣1） C．x＝1 D．x＝﹣1【分析】从图象得到函数y＝kx﹣b与x轴的交点的横坐标，即能求得方程kx﹣b＝0的解．解：从图象知，函数y＝kx﹣b的图象经过点（1，0），∴关于x的方程kx﹣b＝0的解是x＝1．故选：C．6．下列语句正确的是（）A．平行于x轴的直线上所有点的横坐标都相同 B．（﹣1，1）与（1，﹣1）表示两个不同的点 C．若点P（a，b）在y轴上，则b＝0 D．若点Q（﹣2，﹣1），则Q关于x轴对称点的坐标为（2，﹣1）【分析】依据点的坐标，坐标轴上点的坐标特征，关于坐标轴对称的点的坐标特征进行判断，即可得出结论．解：A．平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都相同，故本选项错误；B．（﹣1，1）与（1，﹣1）表示两个不同的点，故本选项正确；C．若点P（a，b）在y轴上，则a＝0，故本选项错误；D．若点Q（﹣2，﹣1），则Q关于x轴对称点的坐标为（﹣2，1），故本选项错误；故选：B．7．某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人）317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，∴这组数据的中位数为＝8.5；故选：D．8．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．解：法1：，①+②×5得：16a＝32，即a＝2，把a＝2代入①得：b＝2，则a+b＝4，法2：①+②得：4a+4b＝16，则a+b＝4，故选：B．9．已知一次函数y＝kx+2（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数的性质即可得到结论．解：∵一次函数y＝kx+2（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，∴k＞0，∴此函数的图象经过一二三象限．故选：A．10．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（）A． B． C．﹣1 D．【分析】由正方形ABCD的边长为2，可得AB＝BC＝2，由勾股定理可求AC＝＝AP，进而根据OP的长得到点P坐标．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝，∵以A为圆心，AC为半径画圆交x轴负半轴于点P，∴AP＝AC＝，又∵点A（1，0），∴OP＝﹣1，∴点P（1﹣，0），故选：D．二、填空题.（每小题3分，共计18分）11．比较大小：＞．【分析】根据正数大于负数，即可解答．解：＞，故答案为：＞．12．点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为（2，0）．【分析】根据x轴上点的坐标特点解答即可．解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，∴这点的纵坐标是0，∴m+1＝0，解得，m＝﹣1，∴横坐标m+3＝2，则点P的坐标是（2，0）．13．佳佳做作业时不小心洒落了一些墨水，把一道二元一次方程涂黑了一部分：■x﹣3y＝12，但她知道这个方程有一个解为x＝3，y＝﹣2，请你帮她把这个涂黑方程补充完整：2x﹣3y＝12．【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程得到一个含有未知数■的一元一次方程，从而可以求出■的值．解：把x＝3，y＝﹣2代入■x﹣3y＝12，得3■+6＝12，解得■＝2，所以原方程为2x﹣3y＝12．14．老师给出一个函数，甲、乙、丙各指出了这个函数的一个性质：甲：这个函数的图象是一条直线，且与直线y＝﹣x+5平行．乙：这个函数的图象不经过第一象限．丙：我能计算出这个函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2．请你根据他们的叙述构造满足上述性质的函数关系式：y＝﹣x﹣2．【分析】根据两直线平行可知k＝﹣1，然后一次函数图象的性质以及三角形面积即可求得b＝﹣2，进而求得y＝﹣x﹣2．解：∵这个函数的图象是一条直线，且与直线y＝﹣x+5平行，∴设函数为y＝﹣x+b，则函数图象与坐标轴的交点为（b，0）和（0，b），∵函数的图象不经过第一象限．∴b＜0，∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴（﹣b）•（﹣b）＝2，解得b＝﹣2，∴函数关系式为y＝﹣x﹣2，故答案为：y＝﹣x﹣2．15．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是20升．【分析】根据题意得出汽车耗油量，进而得出到达乙地时邮箱剩余油量．解：由图象可得出：行驶160km，耗油（35﹣25）＝10（升），∴行驶240km，耗油×10＝15（升），∴到达乙地时邮箱剩余油量是35﹣15＝20（升）．故答案为：20．16．在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P为斜边AB中点，点D为射线AC上一点，连接PD，若CD＝1，则PD＝或5．【分析】过点P作PE⊥AC于E，分点D在AC上、点D′在AC的延长线上两种情况，根据勾股定理计算即可．解：过点P作PE⊥AC于E，则PE∥BC，∵点P为斜边AB中点，∴点E为斜边AC中点，PE＝BC＝3，∴AE＝EC＝3，当点D在AC上，CD＝1时，ED＝EC﹣CD＝2，则PD＝＝，当点D′在AC的延长线上，CD′＝1时，ED′＝EC+CD′＝4，则PD＝＝5，综上所述，PD＝或5，故答案为：或5．三、解答题（第17小题6分，第18题每小题6分，第19题8分）17．计算：．【分析】原式利用算术平方根性质，二次根式性质，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．解：原式＝﹣1﹣+2﹣＝﹣．18．（1）（2）【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．解：（1），将①代入②，得2（y+5）﹣y＝8，解得y＝﹣2，将y＝﹣2代入①，得x＝3，∴原方程组的解为；（2），①+②得4x＝4，解得x＝1，将x＝1代入①，得1+y＝﹣1，解得y＝﹣2，∴原方程组的解为．19．已知，如图，Rt△ACB，∠A＝90°，AC＝8，AB＝4．（1）求出CB边的长度．（2）若点D、E分别是AC、CB边上的点，沿直线DE将∠C折叠，使得点C与点B重合，直接写出DE的长度．【分析】（1）根据勾股定理即可求出BC的长；（2）根据折叠的性质得CD＝BD，BE＝CE＝BC＝2，DE⊥BC，然后根据勾股定理即可解决问题．解：（1）在Rt△ACB中，∠A＝90°，∵AC＝8，AB＝4．∴BC＝＝＝4；（2）根据折叠的性质知，CD＝BD，BE＝CE＝BC＝2，DE⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝AC﹣CD＝8﹣BD，由勾股定理得，AB2+AD2＝BD2，∴42+（8﹣BD）2＝BD2，解得BD＝5，在Rt△EDB中，由勾股定理得，EB2+DE2＝BD2，∴（2）2+DE2＝52，∴DE＝2．四、（每小题10分，共20分）20．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点△ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（3）在y轴上有一点P，使PB1+PC的和最小，请直接写出这个最小值3，并写出点P的坐标为（0，2）．【分析】（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可．（2）根据轴对称的性质作图即可．（3）作点C关于y轴的对称点C'，连接C'B1，与y轴交于点P，连接CP，此时PB1+PC的和最小，利用勾股定理可得这个最小值，由图可得点P坐标．解：（1）建立平面直角坐标系如图所示．（2）如图，△A1B1C1即为所求．（3）作点C关于y轴的对称点C'，连接C'B1，与y轴交于点P，连接CP，此时PB1+PC的和最小，最小值即为C'B1的值，由勾股定理得，C'B1＝＝．点P的坐标为（0，2）．故答案为：；（0，2）．21．某城市为创建国家卫生城市，需要购买甲、乙两种类型的分类垃圾桶（如图所示），据调查该城市的A、B、C三个社区积极响应号召并购买，具体购买的数和总价如表所示．社区甲型垃圾桶乙型垃圾桶总价A1083320B592860Cab2820（1）运用本学期所学知识，列二元一次方程组求甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价每套分别是多少元？（2）按要求各个社区两种类型的垃圾桶都要有，则a＝3或15．【分析】（1）设甲型垃圾桶的单价为x元，乙型垃圾桶的单价每套为y元，根据图表中的甲型、乙型垃圾桶的数量和它们的总价列出方程组即可解答；（2）根据图表中的数据列出关于a\b的二元一次方程，结合a、b的取值范围求整数解即可．解：（1）设甲型垃圾桶的单价每套为x元，乙型垃圾桶的单价每套为y元，根据题意，得解得答：甲型垃圾桶的单价每套为140元，乙型垃圾桶的单价每套为240元；（2）由题意，得140a+240b＝2820整理得，7a+12b＝141因为a、b都是整数，所以，或答：a的值为3或15．故答案为3或15．五、（本题12分）22．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时从发，设客车离甲地为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶的时间为x（h），y1，y2与x的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式；（2）运用（1）的结论，求当x＝5时两车之间的距离；（3）若设两车间的距离为s，请直接写出两车相遇之前s与x的函数关系式；（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油，出租车恰好进入B站加油，请直接写出A加油站到甲地的距离．【分析】（1）可根据待定系数法来确定函数关系式；（2）可依照（1）得出的关系式，得出结果；（3）求出两车相遇时所需时间，即可得出结论；（4）根据（3）中得出的函数关系式，根据自变量的取值范围分别计算出A加油站到甲地的距离．解：（1）由题意得：y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（2）当x＝5时y1＝300，y2＝100，∴y1﹣y2＝200，答：当x＝5时两车之间的距离为200千米；（3）当两车相遇时耗时为x，y1＝y2，即60x＝﹣100x+600，解得x＝，故两车相遇之前s与x的函数关系式为：s＝y2﹣y1＝﹣160x+600（0≤x≤）；（4）由题意得：S＝200，①当0≤x≤时，﹣160x+600＝200，∴x＝，∴y1＝60x＝150．②当＜x≤6时160x﹣600＝200，∴x＝5，∴y1＝300，③当6＜x≤10时，60x≥360不合题意．即：A加油站到甲地距离为150km或300km．五、（本题12分）23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点P是直线AB上的一点，连接PC，以PC为腰作等腰直角△PCD．（1）如图1，当点P是线段上异于A、B的任一点，求证：AP2+BP2＝2PC2．（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上时，线段AP，BP，PC满足的关系式为PA2+PB2＝2PC2；（3）如图3，当P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，请直接写出∠BPC的度数．【分析】（1）证明△ACD≌△BCP（SAS），推出AD＝PB，∠CAD＝∠B＝45°，可得结论；（2）结论：PA2+PB2＝2PC2．同法可证△ACP≌△BCD，推出AP＝BD，∠A＝∠CBD＝45°，可得结论；（3）根据旋转的性质得到CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，则△CPD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，由PB＝1，PD＝2，DB＝3，易得PB2+PD2＝BD2，根据勾股定理的逆定理得到△PBD为直角三角形，即可得到∠BPC的度数．【解答】（1）证明：∵△ACB，△DCP都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CP，∠ACB＝∠DCP＝90°，∴∠ACD＝∠BCP，∠CAB＝∠B＝45°，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝PB，∠CAD＝∠B＝45°，∴∠DAP＝90°，∴AP2+AD2＝PD2，∵PD＝PC，∴AP2+PB2＝2PC2；（2）解：结论：PA2+PB2＝2PC2．理由：如图2中，同法可证△ACP≌△BCD，∴AP＝BD，∠A＝∠CBD＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBP＝90°，∴BD2+PB2＝PD2，∵PD＝PC，∴PA2+PB2＝2PC2；故答案为：PA2+PB2＝2PC2；（3）解：如图3中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，连接DP，∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，∴△ACP≌△BCD，∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，∴△CPD为等腰直角三角形，∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，在△PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3，而12+（2）2＝32，∴PB2+PD2＝BD2，∴△PBD为直角三角形，∴∠DPB＝90°，∴∠BPC＝45°+90°＝135°．七、（本题12分）24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，点A坐标（﹣9，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+12，点D是线段BC上一动点（不与点B、点C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．（1）求点B、点C的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）若点N在射线DE上，是否存在点N使△BCN是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（4）连接AD，当AD平分∠CAB时，请直接写出直线AD的解析式．【分析】（1）令x＝0，求出C（0，12），令y＝0，