2022-2023学年辽宁省鞍山市岫岩县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省鞍山市岫岩县八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每小题2分，满分20分）1．下列长度的各组线段可以组成三角形的是（）A．2，3，5 B．5，7，4 C．4，4，8 D．2，4，62．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a5+a5＝2a10 D．a2a3＝a53．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（）A．180° B．210° C．360° D．270°4．中华民族拥有五千多年的悠久历史，汉字是承载中华民族悠久历史的重要工具．有的汉字可以看作轴对称图形，下面四个汉字中可以看作轴对称图形的是（）A．爱 B．我 C．中 D．华5．如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C，则图中全等的三角形有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对6．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面积是（）A．9 B．6 C．4.5 D．47．如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．198．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝76°，则∠A的度数为（）A．18° B．36° C．48° D．38°9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝14，DE＝8，则△BCD的面积是（）A．18 B．36 C．48 D．2410．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形ABCD的对角线AC、BD，下列结论：①∠ABD＝∠CBD；②BD垂直平分AC；③四边形ABCD的面积＝AC•BD；④若∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，点M，N分别是AB，BC边上的动点，且∠MDN＝60°，则AM+CN＝MN，其中正确的结论是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④二、填空题（每小题3分，共18分）11．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，欲证△ABC≌△DEF，已知AC＝DF，AB＝DE，还可以添加的条件是．12．一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是．13．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝．14．已知（x2+ax）与（x2﹣3x+b）所得乘积的结果中不含x2和x3的项，则a+b＝．15．已知BD是等腰△ABC中一腰上的高，∠ABD＝50°，则顶角度数是．16．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＜0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是．三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）17．（﹣8ab3）•（﹣ab）﹣（ab2）2．18．若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．19．如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．（1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）（2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．四、解答题（每小题8分，共16分）20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）；（3）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．21．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．（1）求∠BOE的大小；（2）求证：DE＝DC．五、解答题（本题10分）22．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD．（1）求证：△BFD≌△ACD；（2）求∠ABD的度数．六、解答题（本题10分）23．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论．七、解答题（本题12分）24．如图，△ABP，△ACQ都是等边三角形，CP，BQ相交于点O，点O在△ABC的内部，连接OA．（1）求证：△ABQ≌△APC；（2）求∠AOP的度数；（3）求证：OA+OB＝OP．八、解答题（本题12分）25．平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，△ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB交y轴负半轴于点D．（1）如图1，点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），直接写出点A的坐标；（2）如图2，AE⊥AB交x轴的负半轴于点E，连接CE，CF⊥CE交AB于F．①求证：CE＝CF；②求证：点D是AF的中点；③求证：S△ACD＝S△BCE．

参考答案一、选择题（每小题2分，满分20分）1．下列长度的各组线段可以组成三角形的是（）A．2，3，5 B．5，7，4 C．4，4，8 D．2，4，6【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：A、2+3＝5，不能组成三角形；B、4+5＞7，能组成三角形；C、4+4＝8，不能够组成三角形；D、2+4＝6，不能组成三角形．故选：B．【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．2．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a5+a5＝2a10 D．a2a3＝a5【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；B、（3a2）3＝27a6，故B不符合题意；C、a5+a5＝2a5，故C不符合题意；D、a2•a3＝a5，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（）A．180° B．210° C．360° D．270°【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．解：∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F，∴∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F＝∠2+∠D+∠3+∠F＝∠2+∠3+30°+90°＝210°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．中华民族拥有五千多年的悠久历史，汉字是承载中华民族悠久历史的重要工具．有的汉字可以看作轴对称图形，下面四个汉字中可以看作轴对称图形的是（）A．爱 B．我 C．中 D．华【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A，B，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C，则图中全等的三角形有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【分析】先用ASA可得，△ABE≌△ACD，再用AAS可得△DOB≌△EOC，由SAS得△AOB≌△AOC，△AOD≌△AOE．解：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴∠ADC＝∠AEB，AB＝AC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，在△DOB和△EOC中，，∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OC＝OB，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴∠BAO＝∠CAO，在△AOD和△AOE中，，∴△AOD≌△AOE（SAS），即全等三角形有4对，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．6．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面积是（）A．9 B．6 C．4.5 D．4【分析】中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形，中线BE又把△ABD分成面积相等的两个三角形，所以△ABE的面积是△ABC的面积的．解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴△ABD是△ABC面积的，△ABE是△ABD面积的，∴△ABE的面积＝18××＝18×＝4.5．故选：C．【点评】本题考查了三角形的面积计算，解题的关键是熟悉三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形．7．如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．19【分析】由线段垂直平分线的性质，证得AD＝BD，继而可得△BCD的周长＝BC+AC．解：根据题意得：D在AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∵△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+5＝12．故选：B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠DBC＝76°，则∠A的度数为（）A．18° B．36° C．48° D．38°【分析】利用三角形内角和定理，可求出∠BCD的度数，结合CD平分∠ACB，可求出∠ACB的度数，再在△BAC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数．解：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠DBC＝90°﹣76°＝14°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCD＝2×14°＝28°．在△BAC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，即∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACB＝180°，∴∠A+∠A+76°+28°＝180°，∴∠A＝38°．故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝14，DE＝8，则△BCD的面积是（）A．18 B．36 C．48 D．24【分析】利用双垂型模型可以证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质可得CE＝AD＝14，再利用线段的和差关系可得CD＝CE﹣DE＝14﹣8＝6，BE＝CD＝6，再利用三角形的面积公式即可求出△BCD的面积．解：∵∠ACB＝90°，AD⊥CE，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，∵AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD＝14，BE＝CD∴CD＝CE﹣DE＝14﹣8＝6，∴BE＝CD＝6，∴，故选：A．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键发现其中的双垂型模型，利用全等三角形的性质求解．10．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“等形”，连接等形ABCD的对角线AC、BD，下列结论：①∠ABD＝∠CBD；②BD垂直平分AC；③四边形ABCD的面积＝AC•BD；④若∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，点M，N分别是AB，BC边上的动点，且∠MDN＝60°，则AM+CN＝MN，其中正确的结论是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【分析】证明△ABD≌△CBD（SSS），可得∠ABD＝∠CBD，可以判断①正确；证明BD垂直平分AC，可以判断②正确；根据四边形ABCD的面积＝×AC•BD，可以判断③错误；延长BC到E，使CE＝AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN＝EN，由线段和差关系可得MN＝AM+CN，故④正确，即可求解．解：①在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，故①正确；②∵AB＝BC，AD＝DC，BD垂直平分AC，故②正确；③∵BD⊥AC，∴四边形ABCD的面积＝×AC•BD，故③错误；延长BC到E，使CE＝AM，连接DE，如图所示：∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴∠DAB＝∠DCE＝90°，又∵AM＝CE，AD＝CD，∴△ADM≌△CDE（SAS），∴∠ADM＝∠CDE，DM＝DE，∵∠ADC＝120°，∵∠MDN＝60°，∴∠ADM+∠CDN＝∠ADC﹣∠MDN＝60°，∴∠CDE+∠CDN＝∠EDN＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN，∵EN＝CE+CN＝AM+CN，∴AM+CN＝MN，故④正确；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到△ABD≌△CBD．二、填空题（每小题3分，共18分）11．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，欲证△ABC≌△DEF，已知AC＝DF，AB＝DE，还可以添加的条件是∠A＝∠D（答案不唯一）．【分析】根据已知条件知AC＝DF，AB＝DE．结合全等三角形的判定定理进行解答．解：还可以添加的条件是：∠A＝∠D，在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．12．一个正多边形的每个内角的度数为144°，则这个多边形的边数是10．【分析】设这个正多边形的边数为n，根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°得到（n﹣2）×180°＝144°×n，然后解方程即可．解：设这个正多边形的边数为n，∴（n﹣2）×180°＝144°×n，∴n＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．13．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝2．【分析】作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．解：作EG⊥OA于G，∵EF∥OB，∴∠OEF＝∠COE＝15°，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∵EG＝CE＝1，∴EF＝2×1＝2．故答案为2．【点评】本题考查了角平分线的性质和含30°角的直角三角形，综合性较强，是一道好题．14．已知（x2+ax）与（x2﹣3x+b）所得乘积的结果中不含x2和x3的项，则a+b＝12．【分析】先计算两个整式的积，根据积中不含x2和x3的项得关于a、b的方程，求出a、b的值后计算a+b．解：（x2+ax）×（x2﹣3x+b）＝x4﹣3x3+bx2+ax3﹣3ax2+abx＝x4+（a﹣3）x3+（b﹣3a）x2+abx．∵积中不含x2和x3的项，∴．∴a＝3，b＝3a＝9．∴a+b＝3+9＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则，理解积中不含x2和x3的项是解决本题的关键．15．已知BD是等腰△ABC中一腰上的高，∠ABD＝50°，则顶角度数是40°或100°或140°．【分析】当∠A是锐角时，根据直角三角形两锐角互余求出∠A，再分点A是顶角顶点，点A是底角顶点以及点A是钝角的顶角顶点3种情况求解．解：∵∠ABD＝50°，BD是腰上的高，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°．①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为∠A，是40°；②如图2，点A是底角顶点时，顶角∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°；③如图3，点A是顶角顶点时，顶角∠BAC＝180°﹣40°＝140°，综上所述，等腰△ABC的顶角的度数为40°或100°或140°．故答案为：40°或100°或140°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，难点在于要分情况讨论．16．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＜0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．【分析】过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝3，由0＜a＜1可列出关于m的不等式，即可求解．解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，∵点A（0，3），∴AO＝3，∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，∴∠ABO+∠CBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴AO＝BD＝3，∵B（a，0），C（m，n），∴BD＝a﹣m，∴a﹣m＝3，∴a＝m+3，∵0＜a＜1，∴0＜m+3＜1，∴﹣3＜m＜﹣2，故答案为：﹣3＜m＜﹣2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．三、解答题（第17小题6分，第18，19小题各8分，共22分）17．（﹣8ab3）•（﹣ab）﹣（ab2）2．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．解：原式＝2a2b4﹣a2b4＝a2b4；【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．18．若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．【分析】一个多边形的内角和等于外角和的3倍多180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1260°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：180°（n﹣2）＝360°×3+180°，解得n＝9，对角线条数：．答：这个多边形的边数是9，对角线有27条．【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从n边形一个顶点可以引n﹣3条对角线．19．如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a﹣b）米、宽为2b米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．（1）求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示）（2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．【分析】（1）利用长方形面积公式直接计算即可；（2）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解．解：（1）∵（3a+2b）×（2a+b）＝（6a2+7ab+2b2）平方米，∴长方形地块的面积为（6a2+7ab+2b2）平方米；（2）∵绿化部分的面积为6a2+7ab+2b2﹣（4ab﹣2b2）＝（6a2+3ab+4b2）平方米；∴当a＝3，b＝1时，6a2+3ab+4b2＝6×3×1+3×1×3+4×1×1＝31（平方米），∴绿化部分的面积为31平方米．【点评】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则．四、解答题（每小题8分，共16分）20．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）；（3）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．【分析】（1）根据轴对称性质即可在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标；（3）根据两点之间，线段最短即可在y轴上画出点P，使PB+PC最小．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）A1（3，2）；B1（4，﹣3）；C1（1，﹣1）；（3）如图所示，P点即为所求．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．21．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．（1）求∠BOE的大小；（2）求证：DE＝DC．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，根据角平分线的定义得到∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形外角的性质得到∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC平分线，∴∠BAE＝BAC＝40°，∠ABF＝ABC＝15°，∴∠BOE＝∠ABF+∠BAE＝40°+15°＝55°；（2）证明：∵∠AEC＝∠ABC+∠BAE＝30°+40°＝70°，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∵AD⊥CE，∴DE＝DC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．五、解答题（本题10分）22．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD．（1）求证：△BFD≌△ACD；（2）求∠ABD的度数．【分析】（1）由AD为△ABC的高，得∠BDF＝∠ADC＝90°，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△BFD≌Rt△ACD；（2）由Rt△BFD≌Rt△ACD，得BD＝AD，而∠ADB＝90°，所以∠ABD＝∠BAD＝45°．【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，在Rt△BFD和Rt△ACD中，，∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．（2）解：∵Rt△BFD≌Rt△ACD，∴BD＝AD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝×（180°﹣90°）＝45°，∴∠ABD的度数是45°．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．六、解答题（本题10分）23．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论．【分析】（1）首先得出AC＝AB，再利用SAS，得出△ACD≌△ABE即可；（2）利用△ACD≌△ABE，得出∠1＝∠3，再由∠BAC＝90°，可得∠3+∠2＝90°，结合FG⊥CD可得出∠3＝∠CMF，∠GEM＝∠GME，继而可得出结论．【解答】（1）证明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝45°，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），（2）△EGM为等腰三角形；理由：∵△ADC≌△AEB，∴∠1＝∠3，∵∠BAC＝90°，∴∠3+∠2＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠4+∠3＝90°∵FG⊥CD，∴∠CMF+∠4＝90°，∴∠3＝∠CMF，∴∠GEM＝∠GME，∴EG＝MG，△EGM为等腰三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．七、解答题（本题12分）24．如图，△ABP，△ACQ都是等边三角形，CP，BQ相交于点O，点O在△ABC的内部，连接OA．（1）求证：△ABQ≌△APC；（2）求∠AOP的度数；（3）求证：OA+OB＝OP．【分析】（1）由“SAS”可证△ABQ≌△APC；（2）结合（1）△ABQ≌△APC；可得∠APC＝∠ABQ，由三角形内角和可求∠POB＝60°，由三角形面积公式可求AE＝AF，再根据角平分线的性质即可解决问题；（3）由“HL”可证Rt△AEO≌Rt△AFO，可得∠AOE＝∠AOF，OE＝OF，再由“AAS”可证△AEP≌△AFB，可得PE＝BF，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABP和△ACQ是等边三角形，∴AB＝AP，AQ＝AC，∠PAB＝∠QAC＝60°，∴∠PAC＝∠BAQ，在△ABQ和△APC中，，∴△ABQ≌△APC（SAS）；（2）解：∵△ABQ≌△APC，∴∠APC＝∠ABQ，∵∠APO+∠BPO+∠ABP＝180°﹣∠BAP＝120°，∴∠ABO+∠BPO+∠ABP＝120°，∴∠POB＝60°，∴∠POQ＝120°如图1，过点A作AE⊥PC于E，AF⊥BQ于F，∵△PAC≌△BAQ，∴BQ＝PC，S△ABQ＝S△APC，∴×BQ•AF＝×PC•AE，∴AE＝AF，∴点A到PC、BQ的距离相等，∴AO平分∠POQ，∴∠AOP＝POQ＝60°；（3）证明：在Rt△AEO和Rt△AFO中，，∴Rt△AEO≌Rt△AFO（HL），∴∠AOE＝∠AOF，OE＝OF，∵∠AOE＝∠AOF＝60°，∴∠OAF＝30°，∴AO＝2OF，在△AEP和△AFB中，，∴△AEP≌△AFB（AAS），∴PE＝BF，∴OP＝PE+EO＝BF+EO＝OB+