春八年级数学下册第2章四边形27正方形练习湘教版

课时作业(二十一)[2.7正方形]一、选择题1．如图－21－1，在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，则∠CPQ的度数为()链接听课例3概括总结图－21－1A．50°B．60°C．45°D．70°2．2018·滨州以下命题，此中是真命题的为()A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形3．2017·枣庄如图－21－2，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后睁开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为()图－21－2A．．14．如图－21－3，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一同，连结BD并延伸交EG于点T，交FG于点P，则GT等于()图－21－312B．22C．2D．15．如图－21－4，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直均分线交对角线AC于点E，交BF于点M，连结BE，EF，则∠EBF的度数是()图－21－4A．45°B．50°C．60°D．没法确立6．2017·钦州一模如图－21－5，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连结EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为链接听课例3概括总结()图－21－572A.B．32C．5D．627．2018·仙桃如图－21－6，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延伸GF交DC于点E，则DE的长是链接听课例3概括总结()图－21－6A．1B．1.5C．2D．2.5二、填空题8．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD订交于点O，请你增添一个适合的条件：________，使其成为正方形(只填写一个即可)．9．如图－21－7所示，直线a经过正方形ABCD的极点A，分别过极点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F.若DE＝4，BF＝3，则EF的长为________．2图－21－710．2017·宿迁如图－21－8，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1.若点P在对角线BD上挪动，则PA＋PE的最小值是________．图－21－811．如图－21－9，在正方形ABCD中，F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于________°.图－21－912．2018·武汉以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE，则∠BEC的度数是________．三、解答题13．如图－21－10，AB是CD的垂直均分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F.(1)求证：∠CAB＝∠DAB；(2)若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形.链接听课例4概括总结图－21－10314．如图－21－11，在正方形ABCD中，E是BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段EA绕点E顺时针旋转90°获得EF，过点F作BC的垂线交BC的延伸线于点G，连结CF.图－21－11(1)求证：△ABE≌△EGF；(2)若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE的长．15．如图－21－12，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上挪动，但点A到EF的距离AH一直保持与AB的长度相等，在点E，F的挪动过程中：(1)∠EAF的大小能否有变化？请说明原因；(2)△ECF的周长能否有变化？请说明原因．4图－21－12猜想、研究如图－21－13①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B，C，G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延伸线交EF于点N，连结FM，易证：DM＝FM，DM⊥FM.(1)如图②，当点B，C，F在同一条直线上，DM的延伸线交EG于点N，其他条件不变时，尝试究线段DM与FM有如何的关系，请写出猜想，并赐予证明；(2)如图③，当点E，B，C在同一条直线上，DM的延伸线交CE的延伸线于点N，其他条件不变时，研究线段DM与FM有如何的关系，请直接写出猜想．图－21－1356详解详析讲堂达标1．[分析]C∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝DA＝BC＝CD，∠C＝90°.∵P，Q分别为BC，CD的中点，∴CP＝CQ.∵∠C＝90°，∴∠CPQ＝45°.应选C.2．[分析]D一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故A选项是假命题；对角线相互垂直的四边形不必定是菱形，故B选项是假命题；对角线相等的四边形也可能是等腰梯形，故C选项是假命题；一组邻边相等的矩形是正方形是正确的，故D选项是真命题．3．[分析]B∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，∴FB＝AB＝2.∵把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后睁开，折痕为MN，1BM＝2BC＝1.在Rt△BMF中，FM＝FB2－BM2＝22－12＝3.应选B.4．[分析]B△BCD与△GCE都是等腰直角三角形，由此能够推出△GTD也是等腰直角三角形，GD＝4，由勾股定理可知GT＝22.5．[分析]A如图，过点E作EG⊥BC，EH⊥CD，垂足分别为G，H，易证明△BEG≌△FEH(HL)，得∠BEG＝∠FEH，因此∠BEF＝∠GEH＝90°，因此∠EBF＝45°.应选A.6．[分析]C∵四边形ABCD是正方形，AC为正方形ABCD的对角线，∴∠EAF＝45°.又∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF＝45°，∴EF＝AF＝3.∵△EFC的周长为12，∴FC12－3－EC＝9－EC.在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋FC2，∴EC2＝9＋(9－EC)2，解得EC＝5.应选C.7．C8．[答案]答案不独一，如AC⊥BD或AB＝BC[分析]依据对角线相互垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形;增添条件．9．[答案]7[分析]可证△ABF≌△DAE，则有EF＝AF＋AE＝DE＋BF＝4＋3＝7.10．[答案]10[分析]连结PC.依据正方形的对称性知PA＝PC，因此当点C，P，E在同一条直线时，PA7＋PE＝PC＋PE＝CE最小，再依据勾股定理求得CE＝BC2＋BE2＝32＋12＝10.11．[答案]65[分析]∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°.在△ABE与△ADE中，AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴∠AEB＝∠AED.∵∠CBF＝20°，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝70°，∴∠AED＝∠AEB＝180°－45°－70°＝65°.12．[答案]30°或150°[分析]分两种状况：(1)如图①，等边三角形ADE在正方形ABCD的内部．∠CDE＝∠CDA－∠ADE＝90°－60°＝30°.∵CD＝DE，∴∠DCE＝75°，∴∠ECB＝90°－75°＝15°，同理能够获得∠EBC＝90°－75°＝15°，∴∠BEC＝150°.(2)如图②，等边三角形ADE在正方形ABCD的外面．∠CDE＝∠CDA＋∠ADE＝90°＋60°＝150°.∵CD＝DE，∴∠CED＝15°.同理∠AEB＝15°，∴∠BEC＝∠AED－∠CED－∠AEB＝60°－15°－15°＝30°.13．证明：(1)∵AB是CD的垂直均分线，AC＝AD，AB⊥CD，∴∠CAB＝∠DAB(等腰三角形的三线合一)．(2)∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，∴四边形AEMF是矩形．又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形．14．解：(1)证明：∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠GEF＝90°.又∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠GEF＝∠BAE.∵FG⊥BC，∴∠EGF＝90°＝∠ABE.8∠ABE＝∠EGF，在△ABE与△EGF中，∠BAE＝∠GEF，AE＝EF，∴△ABE≌△EGF(AAS)．(2)∵△ABE≌△EGF，AB＝2，AB＝EG＝2，S△ABE＝S△EGF.S△ABE＝2S△ECF，∴S△EGF＝2S△ECF，EC＝CG＝1.∵四边形ABCD是正方形，BC＝AB＝2，∴BE＝2－1＝1.15．解：(1)∠EAF的大小没有变化．原因：依据题意，知AB＝AH，∠B＝90°.又∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90°＝∠B.在Rt△BAE和Rt△HAE中，∵AE＝AE，AB＝AH，∴Rt△BAE≌Rt△HAE，1∴∠BAE＝∠HAE＝∠BAH.2同理可证Rt△HAF≌Rt△DAF，1∴∠HAF＝∠DAF＝∠HAD，21111∴∠EAF＝∠HAE＋∠HAF＝∠BAH＋∠HAD＝(∠BAH＋∠HAD)＝∠BAD.2222又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF的大小没有变化．(2)△ECF的周长没有变化．原因：C△ECF＝EF＋EC＋FC，由(1)得BE＝EH，HF＝DF.又∵BC＝DC，EF＝EH＋HF，EC＝BC－BE，FC＝DC－DF，C△ECF＝BE＋DF＋BC－BE＋DC－DF＝BC＋DC＝2BC，∴△ECF的周长没有变化．修养提高[分析](1)连结DF，NF，由四边形ABCD和四边形CGEF是正方形，获得AD∥BC，CF∥9GE，于是获得AD∥GE，求得∠DAM＝∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM＝NM，AD＝EN，推出△DCF≌△NEF，证出△DFN是等腰直角三角形，即可获得结论；(2)连结DF，NF，由四边形ABCD是正方形，获得AD∥BC，由点E，B，C在同一条直线上，获得AD∥CN，求得∠ADM＝∠ENM，证得△MAD≌△MEN，得出DM＝NM，AD＝EN，推出△DCF≌△NEF，证出△DFN是等腰直角三角形，于是获得结论．解：(1)DM＝FM，DM⊥FM.证明：如图，连结DF，NF.∵四边形ABCD和四边形CGEF是正方形，AD∥BC，CF∥GE.∵点B，C，F在同一条直线上，∴AD∥GE，∴∠DAM＝∠NEM.M是AE的中点，∴AM＝E