结构力学-6影响线及应用

1、第十章 影响线及其应用第十一章 影响线及其应用101 影响线的概念102 用静力法作单跨静定梁的影响线103 间接荷载作用下的影响线104 用机动法作单跨静定梁的影响线105 多跨静定梁的影响线106 桁架的影响线107 利用影响线求量值108 铁路和公路的标准荷载制109 最不利荷载位置1010 换算荷载1011 简支梁的绝对最大弯矩1012简支梁的包络图101 影响线的概念1. 问题的提出 工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷载的作用。例如：见图。在移动荷载作用下，结构的反力和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。返 回 为了解决

2、这个问题，需要研究荷 载移动时反力和内力的变化规律。然 而不同的反力和不同截面的内力变化 规律各不相同，即使同一截面，不同 的内力变化规律也不相同，解决这个 复杂问题的工具就是影响线。返 回2. 最不利荷载位置 某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷载位置。例如：见图。ABRAP 工程中的移动荷载通常是由很多间距不变的竖向荷载所组成，其类型是多种多样的，不可能逐一加以研究。 为此，可先只研究一种最简单的荷载，即一竖向单位集中荷载 P=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，然后据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。例如：见图。1231P=1P=1P=1P=1P=1 这样所得的图形就

3、表示了 P=1在梁上 移动时反力 RA的变化规律，这一图形就称为反力 RA的 影响线。03/41/21/4返 回3. 影响线的定义 当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下）沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。 某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。RA的影响线ABRAP1231P=1P=1P=1P=1P=103/41/21/4返 回102 用静力法作单跨静定梁的影响线1. 绘制影响线的基本方法：2. 静力法： 将荷载 P=1放在任意位置，并选定一坐标系，以横坐标 x表示荷载作用点的位置，然后根据静力平衡条件求

4、出所求量值与荷载位置 x之间的函数关系，这种关系式称为影响线方程，再根据方程作出影响线图形。静力法和机动法。返 回3. 简支梁的影响线（1）反力影响线由MB=0 有 RALP(Lx)=0得 RA=P(0 xL)当x=0, RA=1x=L, RA=0RA影响线1RA影响线RB影响线由MA=0 有RBLPx=0RB=(0 xL)当x=0, RB=0 x=L, RB=1RB影响线1yKxRARBP=1K00返 回P=1（2）弯矩影响线绘制 MC的影响线当 P=1在截面C以左移动时,取截面C以右部分为隔离体MC=RBb=(0 xa)即MC影响线的左直线。当x=0, MC=0 x=a, MC=b当 P=

5、1在截面C以右移动时,取截面C以左部分为隔离体MC=RAa=(axL)即MC影响线的右直线。当x=a, MC=x=L, MC=0ab/L左直线右直线11右直线左直线xx MC影响线 QC影响线ab/LP=1x0绘制 QC的影响线（3）剪力影响线当 P=1在AC段上移动时, 取截面 C以右部分为隔离体QC=RB (0 xa)为 QC的左直线。当 P=1在CB段上移动时,取截面 C以左部分为隔离体QC=RA(axL) (右直线)P=1RAabCRBxP=1-返 回4. 伸臂梁的影响线（1）反力影响线P=1x由平衡条件求得RA=RB=(-L1x L+L2)11 （2）跨内部分截面内力影响线MC、QC

6、影响线 当 P=1在DC段移动时，取截面C以右部分为隔离体 有MC=RBbQC=RB1 当 P=1在CE段移动时，取截面C以左部分为隔离体 有MC=RAaQC=RAab1 RA影响线 RB影响线 MC影响线 QC影响线RARBabEDABCP=1x返 回(3)伸臂部分截面内力影响线 绘制MK、QK影响线当P=1在DK 段上移动时KDEP=1x取K以左为隔离体MK=xQK=1dd1 MK影响线 QK影响线当P=1在KE 段上移动时取K以左为隔离体P=1MK=0QK=0绘制QA左影响线1 QA左影响线绘制QA右影响线11 QA右影响线0返 回103 间接荷载作用下的影响线1.间接荷载（结点荷载）

7、桥梁结构的纵横梁桥面系统中的主梁受力简图如图所示。主梁横梁（结点）纵梁 计算主梁时通常假定纵梁简支在横梁上，横梁简支在主梁上。荷载直接作用在纵梁上，再通过横梁传到主梁，即主梁承受结点荷载。这种荷载称为间接荷载或结点荷载。 P返 回2. 间接荷载影响线的绘制方法以绘制MC影响线为例P=1 （1）首先，将P=1移动到各结点处。P=1 其MC与直接荷载作用 在主梁上完全相同。MC影响线yDyE （2）其次，当P=1在DE间移动时， 主梁在D、E处分别受到结点荷载及的作用。xd 设直 接荷载作用下MC影响线在D、 E处的竖标为 yD、yE ， 在上述两结点荷载作用下MC值为y=（直线方程）x=0, y

8、=yDx=d, y=yEyP=1P=1CDABEP=1返 回3. 结 论绘制间接荷载作用下影响线的一般方法：（1）首先作出直接荷载作用下所求量值的影响线。 （2）然后取各结点处的竖标，并将其顶点在每一纵梁范围内连成直线。例题P=1RB影响线MK影响线aQK影响线（练习）a10K返 回104 用机动法作单跨静定梁的影响线 静力法和机动法是作影响线的两种基本方法。1.机动法的依据 虚位移原理：虚位移原理 即刚体体系在力系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和等于零。返 回2. 机动法简介以简支梁为例。 作反力RA的影响线，为求反力RA，去掉与其相应的联系即A处的

9、支座，以正向反力代替。RA 此时，原结构变成了有一个自由度的几何可变体系，给此体系微小虚位移。A虚功方程为RAA+PP=0PRA=BA令A=1RA=P此时，虚位移图P便代表了RA的影响线。P=1AB1返 回3 .机动法 由前面分析可知，欲作某一反力或内力X的影响线， 只需将与X相应的联系去掉，并使所得体系沿X的正向发 生单位位移，则由此得到的荷载作用点的竖向位移图即 代表 X 的影响线。这种作影响线的方法便称为机动法。 机动法的优点在于不必经过具体计算就能迅速绘出影响线的轮廓。 例：用机动法绘MC影响线ABCabMCMCABCP=1A1P令 +=1= aaMC(+)+PP=0解：)()1返 回

10、105 多跨静定梁的影响线 1. 多跨静定梁影响线绘制步骤 首先分清多跨静定梁的基本部分和附属部分及其传力关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，多跨静定梁的影响线即可绘出。 2. 举例说明 首先分析几何组成并绘层叠图。KaL当P=1在CE段上移动时MK影响线与CE段单独作为一伸臂梁相同。MK影响线当P=1在AC段上移动时MK=0当P=1在EF段上移动时RF此时CE梁相当于在结点E处受到VE的作用VE=故MK影响线在EF段为直线。a绘制MK的影响线绘制QB左的影响线按上述步骤绘出QB左影响线如图。0VEP=1101QB左影响线P=1xE返 回3. 结论 由上可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作

11、法如下： （1）当P=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线与相应单跨静定梁相同。 （2）当P=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动时，量值影响线的竖标为零。 （3）当P=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为直线。 此外，用机动法绘制多跨静定梁的影响线也是很方便 的（课后自行练习）。返 回MC影响线83000MK影响线QC左影响线0QC右影响线1111.500习题 1010返 回106 桁架的影响线 1. 单跨静定桁架，其支座反力的计算与单跨静定梁相同，故二者反力影响线相同。 2. 用静力法作桁架内力影响线，其计算方法与桁架内力的计算方法相同，同样分为结点法

12、和截面法，不同的是作用的是 P=1的移动荷载，只需求出P=1在不同位置时内力的影响线方程。 下面以简支桁架为例，说明桁架内力影响线的绘制方法。返 回3. 作桁架的影响线解：绘S12影响线 用力矩法，作- 截面。当P=1在A1间移动时P=1P=1AB取右部为隔离体，由M5=0 有RARBRB5dS12h=0S12=RBS12影响线当P=1在2B间移动时取左部为隔离体，P=1P=1由M5=0 有RA3dS12h=0S12=RA当P=1在节间（1-2）内移动时，S12的影响线为一直线。返 回107 利用影响线求量值 前面讨论了影响线的绘制方法。从本节开始研究影响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值

13、。1. 集中荷载 某量值的影响线已经绘出，有若干个集中荷载作用 在已知位置。P1P2Pny1y2yn据叠加原理S=P1y1+P2y2+Pnyn=Piyi (61) 若集中力作用在影响线某一直线范围内，则有S影响线S影响线y1y2ynox1x2S=P1y1+P2y2+Pnyn0=(P1x1+P2x2+Pnxn)tg=tgPixi据合力矩定理Pixi=R故有S=Rtg=R(62)R返 回2. 分布荷载qxabS影响线 将分布荷载沿长度分成许多无穷小的微段，dxy 每一微段dx上的荷载为 qxdx，S=当为均布荷载（q=常数）（63）S=(64）qS影响线式中表示影响线在均布荷载范围内面积的代数和。

14、abqxdx 则ab区段内分布荷载产生的影响量返 回108 公路标准荷载制 公路上行驶的汽车、拖拉机等类型繁多，载运情况复杂，设计结构时不可能 对每种情况都进行计算，而是以一种统一的标准荷载来进行设计。这种标准荷载是经过统计分析制定出来的，它既概括了当前各类车辆的情况，又适当考虑了将来的发展。 我国公路桥涵设计使用的标准荷载，分为计算荷载和验算荷载两种。 计算荷载以汽车车队表示，有汽车10级、汽车15级、汽车20级和汽车超20级四个等级（见书上图6-22）。验算荷载有履带50、挂车80、挂车100和挂车120等四种。返 回109 最不利荷载位置 最不利荷载位置： 使某一量值发生最大（或最小）值

15、的荷载位置，即为最不利荷载位置。 在移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置的变化而变化，设计时必须求出各种量值的最大值（或最小值）。为此，要首先确定最不利荷载位置。下面分几种情况讨论。1. 一个集中荷载最不利荷载位置可直观判断。S影响线PSmaxPSmin返 回2. 可以任意布置的均布荷载（如人群、货物等）由式S=q可知S影响线SmaxSmin 3. 行列荷载 ： 行列荷载的最不利荷载位置难于直观判定。 但据最不 利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求 量值S最大，因而荷载由该位置不论向左或向右移动到 邻近位置时，S值均将减小。因此，下面从讨论荷载移 动时S的增量入手解决这个问题

16、。 一系列间距不变的移动集中荷载返 回设某量值S的影响线如图所示xyS影响线12 现有一组集中荷载处于图示位置，R1R2Rny1y2yn 所产生的影响量S1为S1=R1y1+R2y2+Rnyn当整个荷载组向右移动x时，xy1xxy2ynn相应的量值为S2S2=R1(y1+y1)+R2(y2+ y2)+Rn(yn+yn)故S的增量S=S2S1=R1y1+R2y2+Rnyn=R1x tg1+R2x tg2 +Rnx tgn=xRi tgi则=Ri tgi返 回=Ri tgi 当S有极大值时，载荷自该位置左移或右移x后S将减小，即S0。由于左移时x0,右移时x0,故S有极大值时荷载左移，Ri tgi

17、0荷载右移，Ri tgi0(105）同理，S有极小值时荷载左移，Ri tgi0荷载右移，Ri tgi0(10 5）总之，荷载向左、右移动微小距离后，Ri tgi变号，S才可能有极值。返 回 那末，在什么情况下Ri tgi才可能变号？式中 tgi是各段影响线的斜率，它是常数，并不随荷载移动而变号。故引起变号就是各段上的合力Ri的数值发生变化，显然只有当某一集中荷载恰好作用在影响线的某一个顶点处时，才有可能。我们把能使Ri tgi变号的集中荷载称为临界荷载，此时的荷载位置称为临界荷载位置。式（105）、（105）称为临界荷载位置判别式。 确定临界位置一般采用试算法。在一般情况下，临界位置可能不止一

18、个，这就需将与各临界位置相应的S极值均求出，从中选出最大（最小） 值，相应的荷载位置就是最不利荷载位置。返 回 为了减小试算次数，可事先大致估计最不利荷载位置，对于常用的三角形影响线，abh 临界位置判别式可进一步简化，设临界荷载 Pcr处于三角形影响线的顶点，RaPcrRb 临界位置判别式为：荷载左移(Ra+Pcr)tgRbtg0荷载右移Ratg(Pcr+Rb)tg0将tg=和tg=代入，得（66）这就是三角形影响线判别临界位置的公式，可以形象理解为：把 Pcr归到顶点哪一边，哪一边的平均荷载就大。 返 回 对于均布荷载跨过三角形影响线顶点的情况，abhRaRb可由的条件来确定临界位置。此时

19、有Ritgi=得（67）即左、右两边的平均荷载相等。直角三角形影响线上面诸式不适用。返 回 4 .例题：求图示简支梁在汽车10级荷载作用下 截面C的最大弯矩。ABC40m15m25m解：作Mc影响线15938 首先考虑车队右行将重车后轮置于顶点。1003070kN5070306m4541542375625788225075按式（66)计算有故，这是临界位置其他行驶位置不必考虑。 其次再考虑车队调头向左行驶。将重车后轮置于影响线顶点。有故这又是一临界位置，其它情况也不必考虑。 根据上述两 种临界位置，可 分别算出相应的 MC值。经比较得 右行时MC值大， 故：MCmax=703.75+ 306.

20、25+100 9.38+507.88+ 702.25+30 0.75=1962kNm返 回1010 换算荷载 在移动荷载作用下，求结构上某一量值的最大（最小）值，一般先通过试算确定最不利荷载位置，然后求出相应的量值，计算较为麻烦。在实际工作中，为了简化计算，可利用编制好的换算荷载表。换算荷载表：是指这样一种均布荷载K，它产生的某一量值，与所给移动荷载产生的该量值的最大值Smax相等，即K=Smax由此式可求出任何移动荷载的等效荷载。返 回例题：ABC40m15m25m15938 据题103的弯矩MCmax，求汽车10级的换算荷载。K=MC影响线MCmax=19622140 9.38=10.5k

21、Nm返 回 换算荷载的数值与移动荷载及影响线的形状有关。但对竖标成固定比例的各影响线，其换算荷载相等。y1y2=ny1证明如下 设有两影响线的竖标按同一比例变化，即 y2=ny1从而可知2=n1于是有K2= 长度相同、顶点位置也相同，但最大竖标不同的各三角形影响线是成固定比例的，故用同一换算荷载。换算荷载表（部分）见下页。12返 回汽车10级的换算荷载（kN/m每列车） 跨径或荷载 长 度（m） 影 响 线 顶 点 位 置 （标准荷载）端 部1/8 处1/4 处3/8 处跨 中 120002000200020002000 210001000100010001000 3 667 667 667

22、667 667 4 500 500 500 500 500 6 389 373 352 333 333 8 313 304 292 275 250 10 260 254 247 236 220 13 215 204 199 193 194 16 189 180 169 173 170 20 171 160 158 161 152 25 149 142 141 143 137 30 133 127 126 127 123 35 125 115 114 114 111返 回 例104 利用换算荷载表计算在汽车10级荷载作用下图示简支梁截面C的最大（小）剪力和弯矩。ABC20m15m5m解：1. 作

23、QC、MC影响线153.75MC影响线110.250.75QC影响线2. 计算MCmaxL=20m5/20=1/4由表查得K=158MC影响线面积=1/237520 =375于是MCmax=K =158375=5905kNm3. 计算QCmax取正号三角形计算，从表中查的L=4m K=50.0L=5m K=？L=6m K=38.9K=44.5QCmax=K=44.51/250.25=27.8kN4 .计算QCmin（略作为课后习题） 由直线内插法求得返 回关于内插法的说明abcK1K2Kh1h2hK=K2 +h1 + h2h2 ( K1+K2)=h1 + h2K1h2+K2h1返 回1011简支梁的绝对最大弯矩1. 绝对最大弯矩： 梁的各截面最大弯矩中的最大者，称为绝对最大弯矩。2. 确定绝对最大弯矩的一般方法须解决：（1）绝对最大弯矩发生的截面；（2）该截面发生最大弯矩的荷载位置。 应逐个截面计算最大弯矩，然后加以比较。即使取 有限个截面计算也是较繁琐的。 当梁上作用的荷载是集中荷载时，问题可以简化。 在集中荷载作用下，弯矩图的顶点总是在集中荷载作用 处，可以断定绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载作 用点处截面上。 余下的问题只是确定它发生在哪一个荷载作用点处 及该点位置。返 回3 . 集中