高数上D映射与函数

高数上D映射与函数第一页，共二十六页，2022年，8月28日1.分析基础:函数,极限,连续

2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分第二页，共二十六页，2022年，8月28日如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节华罗庚第三页，共二十六页，2022年，8月28日第一章分析基础函数极限连续函数与极限第四页，共二十六页，2022年，8月28日

第一章二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数第五页，共二十六页，2022年，8月28日元素a

属于集合M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.简称集简称元第六页，共二十六页，2022年，8月28日表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间第七页，共二十六页，2022年，8月28日无限区间点的

邻域其中,a

称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域左

邻域:右

邻域:第八页，共二十六页，2022年，8月28日是B的子集

,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2

.则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有第九页，共二十六页，2022年，8月28日定义3

.

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或第十页，共二十六页，2022年，8月28日二、映射某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.第十一页，共二十六页，2022年，8月28日引例2.引例3.(点集)(点集)向y

轴投影第十二页，共二十六页，2022年，8月28日定义4.设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称

f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.第十三页，共二十六页，2022年，8月28日对映射若,则称f

为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.第十四页，共二十六页，2022年，8月28日定义域三、函数1.函数的概念定义5.设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为称为值域函数图形:自变量因变量第十五页，共二十六页，2022年，8月28日(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值

定义域

对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；第十六页，共二十六页，2022年，8月28日例4.

已知函数解:及写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域值域第十七页，共二十六页，2022年，8月28日2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:

还可定义有上界、有下界、无界.(2)单调性为有界函数.在I

上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当称为I

上的称为I

上的单调增函数;单调减函数.(见P11)第十八页，共二十六页，2022年，8月28日(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数第十九页，共二十六页，2022年，8月28日又如,奇函数说明:

给定则偶函数奇函数第二十页，共二十六页，2022年，8月28日(4)周期性且则称为周期函数

,若称

l

为周期(一般指最小正周期

).周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄利克雷函数x

为有理数x为无理数第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在一新映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.,其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:使其中第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:但可定义复合函数时,虽不能在自然域R下构成复合函数,可定义复合函数当改第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,

默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.第二十五页，共二十六页，2022年，8月28日4.初