哈尔滨某大学结构力学I七

第二章变形体虚位移原理弹性力学基本概念—预备知识变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理和势能原理的应用3/8/20231哈尔滨工业大学土木学院王焕定预备知识（回顾）线弹性平面问题的平衡方程

小变形平面问题的几何方程

线应变：角应变：3/8/20232哈尔滨工业大学土木学院王焕定线弹性平面问题物理方程平面应力：平面应变：平面应力：平面应变：预备知识（回顾）3/8/20233哈尔滨工业大学土木学院王焕定平面问题应力边界条件在应力边界上：

平面问题物理量的矩阵表示应力矩阵应变矩阵体积力矩阵表面力矩阵位移矩阵已知位移矩阵弹性矩阵预备知识（回顾）3/8/20234哈尔滨工业大学土木学院王焕定

平面问题物理量的矩阵表示

取决于材料性质各相同性、线性弹性时

引入两个算子矩阵微分算子矩阵方向余弦矩阵平面应力平面应变：预备知识（回顾）3/8/20235哈尔滨工业大学土木学院王焕定基本方程矩阵表示平衡方程几何方程物理方程边界条件杆系问题的基本方程（作业）平衡方程如何建立？几何方程如何建立？内力和变形间关系如何？由微段的平衡条件建立

由微段的变形条件建立以上内容必须通过自己动手达到熟练掌握3/8/20236哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理一、变形体虚位移时外力功计算二、变形体虚位移原理表述和证明三、一些名词含义的解释四、势能驻值原理和最小势能原理3/8/20237哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的受力分析10其余类推3/8/20238哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的位移分析虚位移算子符号能写出各点的位移吗？提示：连续函数台劳级数展开3/8/20239哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的外力功计算8y方向的力所做的功等于多少？请大家自行写出内部微元体x向外力的总虚功3/8/202310哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体体虚位位移原原理和和势能能原理理变形体体虚位位移时时外力力功计计算内部微微元体体的外外力功功计算算原形刚性位移变形位移3/6/202311哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定变形体虚位移移原理和势能能原理变形体虚位移移时外力功计计算边界微元体的的外力功计算算设A点虚位移为3/6/202312哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定变形体虚位移移原理和势能能原理变形体虚位移移时外力功计计算边界微元体的的外力功计算算不管是否平衡衡均一样3/6/202313哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定变形体虚位移原理理和势能原理变形体虚位移时外外力功计算变形体的外力总虚虚功计算3/6/202314哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定变形体虚位移原理理和势能原理变形体虚位移时外外力功计算矩阵表示变形体的的外力总虚功1817483/6/202315哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定变形体虚位移原理理和势能原理虚位移原理的表述述与证明虚位移原理的表述述受给定外力作用，变形连续体处于平衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移（具有任意、独立性），外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也即恒满足如下虚功方程26能说出虚位移原理和虚功原理的表述有何区别吗？3/6/202316哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定变形体虚位移原理理和势能原理虚位移原理的表述述与证明虚位移原理的必要要性证明必要性需证明变形形体平衡，虚功方方程成立。153/6/202317哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定变形体虚位移原理理和势能原理虚位移原理的表述述与证明虚位移原理的必要要性证明必要性需证明变形形体平衡，虚功方方程成立。15=0格林公式3/6/202318哈尔滨工业大学学土木学院王王焕定变形体虚位移原原理和势能原理理虚位移原理的表表述与证明虚位移原理的充充分性证明充分性需证明虚虚功方程恒成立立，变形体必平平衡。设变形体不平衡，每瞬时均考虑惯性力则动平衡。也即此时，“体积力”为：因为“平衡”，，由必要性可得：：3/6/202319哈尔滨工业大学学土木学院王王焕定变形体虚位移原原理和势能原理理虚位移原理的表表述与证明虚位移原理的充充分性证明充分性需证明虚虚功方程恒成立立，变形体必平平衡。因为虚功方程恒成立立，由此可得：：因为虚位移的任意性和独立性，由此可得：这表明在虚功方程恒成立时变形体必无加速度3/6/202320哈尔滨工业大学学土木学院王王焕定变形体虚位移原原理和势能原理理虚位移原理的表表述与证明虚位移原理的几几点说明1）适用于一切可可变形物体（可可变性固体、流流体等）。2）虚功原理和虚虚位移原理是不不同的。前者只只是必要性命题，而而后者则是充分分必要的命题。。3）王光远院士与与我曾经证明，，当不是取微元元体进行研究时，不不能证明变形体体平衡。4）我们还曾经证证明，当虚位移移不具有完全任任意和独立性时，也也不能证明变形形体平衡。3/6/202321哈尔滨工业大学学土木学院王王焕定变形体虚位移原原理和势能原理理虚位移原理的表表述与证明虚位移原理的几几点说明5）只需将面积分分改成体积分，，线积分改成面面积分，即可得到三三维问题的虚功功方程。6）利用虚位移原原理做近似分析析时，是应用原原理的充分性，认为为是用必要性时时错误的。7）像虚功原理证证明中一样，外外力总虚功可分分解成荷载与切割面面内力的总虚功功的和。此时格格林公式实质是切切割面内力总虚虚功为零。8）格林公式也可可理解成是变形形体虚功原理的的变形。请大家自行考虑虑如何从虚功方方程出发，用平衡和边界条条件推得格林公公式。——作业3/6/202322哈尔滨工业大学学土木学院王王焕定变形体虚位移原原理和势能原理理一些名词含义的的解释1）任何满足几何何方程和位移边边界条件的位移移，称作可能位移，，记作[d]k。2）由可能位移通通过几何方程求求得的应变，称称作可能应变，记作作[]k。3）由可能应变通通过物理方程求求得的应力，称称作可能应力，记作作[]k。4）可能应力在可可能应变时所作作的功，也即所所储存的应变能，称称作可能应变能能，记作Uk。3/6/202323哈尔滨工业大学学土木学院王王焕定变形体虚位移原原理和势能原理理一些名词含义的的解释5）从可能位移退退回到初始（也也称自然）状态态时，外力所作的功，，称作外力势能能，记作Pf。6）可能应变能和和外力势能的总总和，称作对应应可能位移[d]k的总势能，简称称总势能，记作作k。7）可能位移和真真实位移的偏差差，称作位移的的变分，记作[d]。由此可得应变、、应力的变分。。8）可能位移总势势能和真实总势势能的偏差，其其中与位移变分成线线性关系的部分分，称作势能的的一阶变分，记作作。位移变分二次式式部分称作势能的二阶阶变分，记作2。余类推。3/6/202324哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定变形体体虚位位移原原理和和势能能原理理势能驻驻值原原理和和最小小势能能原理理势能驻驻值原原理的的表述述：某一变变形可可能状状态为为真实实位移状状态的的充分分必要要条件件是，，相应应于此此位移移状态态的变形形体势势能取取驻值值。也也即势势能对对位移移的一一阶变变分恒等等于零零。为了证证明上上述原原理，，先证证明如如下的的格林公公式：：式中满足平衡条件，和间满足几何方程，还满足位移边界条件。3/6/202325哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定变形体体虚位位移原原理和和势能能原理理势能驻驻值原原理和和最小小势能能原理理格林公公式的证明明：格林公公式证证毕3/6/202326哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定变形体体虚位位移原原理和和势能能原理理势能驻驻值原原理和和最小小势能能原理理势能驻驻值原原理的证明明：变形体体的总总势能能可表表为：：式中势势能的的一阶阶变分分为：：将位移移的一一阶变变分理理解为为虚位移移，则由由变形形体虚虚位移原原理的的虚功功方程程可证证势能能一阶阶变分分为零零，能能保证证平衡衡。因因此，，势能能原理理结论论正确确。163/6/202327哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定变形体体虚位位移原原理和和势能能原理理势能驻驻值原原理和和最小小势能能原理理最小势势能原原理：：线性、、弹性性变形形体的的总势势能可可表为为：由此可可证明明，对对于一一切位位移变变分，，势能能的二二阶变变分恒大大于等等于零零（仅仅在位位移变变分为为零时时才等等于零零）。。因此此势能能取最最小值值。从势能能原理理证明明可见见，它它和虚虚位移移原理理等价价。都都等价于于平衡衡条件件.3/6/202328哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定虚位移移原理理和势势能原原理的的应用用里兹法法里兹法法基本本思路路:选取满满足位位移边边界条条件的的函数数作为为“基基函数数”，，将一个个无限限自由由度的的位移移设为为若干干基函函数的的线性性组合，，从而把把无限限自由由度化化为有有限个个自由由度问问题。。以所设设位移移作为为可能能位移移，令体系系的总总势能能一阶变分分恒等等于零零使系系统近近似平平衡，，从而求求得组组合系数。。代回所所设位位移场场，可可进一一步确确定任任意点点的位移，，利用用几何何、物物理方方程，，还可可求得得应变变和应应力等。。上述近近似方方法即即为里兹法。3/6/202329哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定虚位移原理和势能能原理的应用里兹法里兹法的解题步骤骤:1）选取满足位移边界界条件的函数作为为“基函数”2）设近似位移场为为基函数的线性组组合3）将所设位移场代代入势能表达式，，从而将势能表为组合系数的函函数4）令势能一阶变分分（对组合系数偏偏导）为零，建立求组合系数的的线性代数方程组组，并求所需量3/6/202330哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定虚位移原理和势能能原理的应用里兹法例一：试求求图示悬臂梁挠曲曲线并计算B点挠度1）选取满足位移边界界条件（A点挠度转角为零））的函数作为“基函函数”2）对于所选的挠曲曲线，其虚位移、、虚曲率，可能位位移对应的弯矩等等如下所示：3/6/202331哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定虚位移原理和势能能原理的应用里兹法例一：试求求图示悬臂梁挠曲曲线并计算B点挠度3）外力的总虚功为为：4）总虚变形功为：：3/6/202332哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定虚位移原理和势能能原理的应用里兹法例一：试求求图示悬臂梁挠曲曲线并计算B点挠度5）当v仅取一项时，由虚虚功方程可得：当v仅取二项时，由虚虚功方程可得：当v取三项时，由虚功功方程可得：3/6/202333哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定虚位移原理和势能能原理的应用里兹法例一：试求求图示悬臂梁挠曲曲线并计算B点挠度5）当v仅取一项时，弯矩矩为：当v仅取二项时，弯矩矩为：当v取三项时，弯矩为为：里兹法位移精度高高于内力精度当试函数组合包含含真解时，结果为精确解，否否则为近似解3/6/202334哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定虚位移原理和势能能原理的应用里兹法例二：试求图示桁架结点位移并计算各杆内力(各杆EA相同)设D点水平位移为u，竖向位移为v。在此位移下，体系系的应变能U为：体系的外力势能为为：体系的总势能为：：3/6/202335哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定虚位移原理和势能能原理的应用根据势能原理，真真实位移应使总势势能最小，因此由由势能对位移的偏偏导数为零可得由此可解得3/6/202336哈尔滨工业大学土土木学院王焕焕定虚位移原理和势能能原理的应用由位移可求得各杆杆变形（伸长）如如下：由此可解得各杆的的轴力为：从这个例子你能得得到什麽结论？（可参考龙书14章）3/6/202337哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定虚位移原原理和势势能原理理的应用用例三：用原理推导等直杆AB杆端位移和杆端力关系取试函数数如下：：3/6/202338哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定虚位移原原理和势势能原理理的应用用例三：用原理推导等直杆AB杆端位移和杆端力关系杆内任意意一点的的挠度v可用结点点位移作作参数，，用试函函数的组组合来得得到，从从试函数数示意图图可见，，此时位位移边界界条件自自动满足足由此位移移引起的的杆件应应变能U为：3/6/202339哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定虚位移原原理和势势能原理理的应用用由此位移移引起的的杆件外外力势能能可用下下式求得得由势能原原理，总总势能对对位移的的偏导数数等于零零（这都都是数学学推演，，请大家家自己看看龙先生生的教程程）可得得将应变能能和外力力势能相相加，可可得杆件件总势能能为：式中[k]、{R}见下一页页。3/6/202340哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定虚位移原原理和势势能原理理的应用用

由势能原理所推得的“刚度方程”式中刚度度矩阵为为3/6/202341哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定虚位移原理和和势能原理的的应用

由势能原理所推得的“刚度方程”式中等效荷载载矩阵为希望大家自行行推导上述结果果不难验证，此此结果和由叠加加得到的转角位位移方程一样。。杆端力矩阵等效结点力矩阵3/6/202342哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定势能原理在平平面问题中的的应用设可能位移为为试用势能原理求图示平面应力问题的位移。显然此位移自自动满足位移移边界条件。。当只取一项项时由此可得应变变能为3/6/202343哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定势能原理在平平面问题中的的应用由此可得应变能为应力边界的位移为由此可得外力势能为3/6/202344哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定势能原理在