大学高数第一章函数和极限

大学高数第一章函数和极限第一页，共77页。第1章函数和极限1.1函数函数的概念2第二页，共77页。关于函数定义的几点说明1、函数相同的条件两个函数相同的条件是定义域和对应规则均相同。2、函数定义域的规定函数的定义域必须满足实际意义，在不考虑函数的实际意义时，函数的定义域是使函数表达式有意义的一切实数。3、函数的表示方法函数最常用的表示方法为公式法，图像法、表格法3第三页，共77页。函数的常用表示方法例1-1：在出生1-6个月期间内，正常婴儿的体重近似满足以下关系式：例1-2：监护仪记录了某患者一段时间内体温

的变化曲线，如图1-1，对于这段时间的任意时刻

都能读出患者的体温

的值。1、公式法2、图像法4第四页，共77页。例1-3：表格1-1统计记录了某地区某年1-12月中当地流行性出血热的发病率。3、表格法5第五页，共77页。1.1.2函数的几种特性1.单值性与多值性对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数，否则称为多值函数。

单值函数实例多值函数实例6第六页，共77页。2、函数的单调性7第七页，共77页。3.函数的奇偶性8第八页，共77页。4.函数的周期性9第九页，共77页。5.函数的有界性10第十页，共77页。复合函数类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数。11第十一页，共77页。12第十二页，共77页。邻域的概念13第十三页，共77页。1.1.4初等函数1、基本初等函数（basicelementaryfunction）课后作业:复习基本初等函数的性质、定义域、图像等特征14第十四页，共77页。常函数基本性质解析式:定义域:实数集R15第十五页，共77页。幂函数基本性质解析式:定义域:必须视常数的取值而定，若为分数时，通常还要根据其分母的奇偶来决定函数的定义域。图像特征:所有幂函数必经过点(1,1)16第十六页，共77页。幂函数图像17第十七页，共77页。幂函数图像18第十八页，共77页。指数函数基本性质解析式:基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数图像必经过点(0,1)19第十九页，共77页。对数函数基本性质解析式:基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像必经过点(0,1)20第二十页，共77页。正弦、余弦函数基本性质解析式:基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正周期T为21第二十一页，共77页。正切、余切函数基本性质解析式:基本性质:正切函数定义域为,余切函数定义域为，二者周期T均为，值域均为(-∞,+∞)

,互为倒数。22第二十二页，共77页。正切、余切函数基本图像正切函数图像片段余切函数图像片段23第二十三页，共77页。2、初等函数例如：是初等函数。定义1.3

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。24第二十四页，共77页。说明：分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数。如以下函数都是分段函数：

1.1.5分段函数定义1.4

在自变量的不同变化范围中，对应规律用不同式子来表示的函数，称为分段函数。25第二十五页，共77页。1.2极限（重点.难点）极限的概念26第二十六页，共77页。27第二十七页，共77页。实例28第二十八页，共77页。29第二十九页，共77页。30第三十页，共77页。31第三十一页，共77页。也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在xy32第三十二页，共77页。33第三十三页，共77页。1.2.2极限的四则运算注意：定理省略了具体的极限过程，包括和

且适用于有限个函数的情形。34第三十四页，共77页。35第三十五页，共77页。例求解：36第三十六页，共77页。例

求

37第三十七页，共77页。38第三十八页，共77页。

（为常数）可作为常用公式直接使用39第三十九页，共77页。40第四十页，共77页。

（为常数）可作为常用公式直接使用41第四十一页，共77页。42第四十二页，共77页。1.2.3两个重要极限1.型:2.型:或43第四十三页，共77页。两个重要极限应用44第四十四页，共77页。45第四十五页，共77页。46第四十六页，共77页。47第四十七页，共77页。48第四十八页，共77页。49第四十九页，共77页。1.2.4无穷小量与无穷大量定义1.7以零为极限的变量称为无穷小量。1、一个变量是不是无穷小量，要看其极限过程。2、无穷小量实质是其绝对值无限小的量，而不是其本身值的无限小。50第五十页，共77页。定义1.8函数在自变量的某个变化过程中，其绝对值无限增大的量称为无穷大。51第五十一页，共77页。关于无穷小、无穷大的几点说明1、无论是无穷小还是无穷大，都与自变量的变化过程密切相关，同一个函数，自变量的变化过程不同，函数的变化趋势也不一样。如：52第五十二页，共77页。53第五十三页，共77页。关于无穷小的相关定理54第五十四页，共77页。55第五十五页，共77页。3、无穷小的比较与阶56第五十六页，共77页。57第五十七页，共77页。补充:等价无穷小的重要应用58第五十八页，共77页。59第五十九页，共77页。60第六十页，共77页。1.3函数的连续性一、

函数连续的概念函数的连续实例函数的间断实例函数连续几何特征:函数图像在某点或区间上不间断。61第六十一页，共77页。二、函数连续性的定义1、函数增量的概念图1函数增量表达式62第六十二页，共77页。2、关于函数连续性的两个定义63第六十三页，共77页。64第六十四页，共77页。函数在点连续的充要条件是在该点既左连续也右连续。65第六十五页，共77页。函数连续的等价判定条件66第六十六页，共77页。67第六十七页，共77页。68第六十八页，共77页。函数在区间上的连续69第六十九页，共77页。