初等代数研究-第2章-式、代数式与不等式

初等代数研究--第2章-式、代数式与不等式第一页，共40页。按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为数学式。学生学会运用符号语言表示数学思想，这是数学教育的一项重要目标，也是学生必须掌握的一项数学基本能力。2第二页，共40页。数学符号简史数学符号语言——代数式字母表示数解析式绝对不等式的证明条件不等式的求解高中课程《不等式选讲》解析不等式的有关问题3第三页，共40页。一、数学符号简史欧几里得《几何原本》就不使用数学符号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，包括使用0，也大量求解方程，但是因为计算过程依赖于算筹，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，0只是一个空格。最早使用“+”“-”表示加减的是15世纪的德国数学家。现存于德累斯顿图书馆的数学手稿（1486年）中，首见此符号。4第四页，共40页。1631年，英国数学家奥特雷德在《数学之钥》一书中使用“×”表示乘法，而1698年莱布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法，这样可以避免“×”和字母x混淆。除法的记号“÷”在1659年由瑞士人雷恩引入。等号是英国数学家雷科德于1557年在《励智石》一书首先使用。19世纪末20世纪初国际交往的扩大，终于有了比较统一的国际通用的数学符号。5第五页，共40页。中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用上拒绝和国家接轨。中国现行教材当中有关数学符号史的介绍6第六页，共40页。7第七页，共40页。8第八页，共40页。9第九页，共40页。二、数学符号语言——代数式自学，谈体会10第十页，共40页。三、字母表示数有些知识，虽然教师需要透彻理解，而学生只需要理解其大意，会用即可。字母表示数可以分为四个层次：用文字泛指某个数集中的一个数专指特定的数作为变量作为不定元参与运算11第十一页，共40页。四、解析式解析式——用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。代数式：只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。超越式：解析式中如果除了代数运算之外，还有超越运算，称之为超越式。12第十二页，共40页。（1）解析式的分类是就它们的形式来说的。如tanx·cotx虽然恒等于1，但我们仍把它看作三角式或初等超越式。

（2）解析式的分类是针对所考察的字母涉及的运算而言的。式子是关于字母x的整式,也是关于字母y的整式，同时还是关于字母x,y的整式,但它是关于字母z的分式。两点说明：13第十三页，共40页。两个解析式用等号连接起来的式子称为等式：等式可以分为两类：恒等式和条件等式。两个解析式用不等号连接起来的式子称为不等式：不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式。14第十四页，共40页。五、绝对不等式的证明常识性理解的论证用比较法证明不等式用分析法和综合法证明不等式用放缩法证明不等式构造函数证明不等式构造几何图形证明不等式反证法在不等式证明中的应用

15第十五页，共40页。六、条件不等式的求解由复杂向简单不等式的转化分类讨论用几何方法求解不等式不等式的同解变形含参数不等式的处理不等式在解决“最值”问题上的应用16第十六页，共40页。七、高中课程《不等式选讲》解析《不等式选讲》内容简介不等式的基本性质几个重要不等式一个例子17第十七页，共40页。1.《不等式选讲》内容简介《普通高中数学课程标准》中的“不等式选讲”人教A版中的“不等式选讲”18第十八页，共40页。19第十九页，共40页。20第二十页，共40页。2.不等式的基本性质21第二十一页，共40页。3.几个重要不等式算术—几何平均不等式柯西不等式排序不等式贝努利不等式琴生不等式22第二十二页，共40页。①算术——几何均值不等式23第二十三页，共40页。例：求函数的最小值。某位学生解决上述问题时用如下方法：解：因为

所以函数的最小值是24。请你判断上述解法是否正确，若有错误，请给出正确解法。24第二十四页，共40页。②柯西不等式简单形式的柯西不等式25第二十五页，共40页。26第二十六页，共40页。27第二十七页，共40页。28第二十八页，共40页。一般形式的柯西不等式29第二十九页，共40页。30第三十页，共40页。③排序不等式31第三十一页，共40页。二维形式：32第三十二页，共40页。一般形式的证明：33第三十三页，共40页。34第三十四页，共40页。④贝努利不等式一般形式：35第三十五页，共40页。特殊形式：36第三十六页，共40页。⑤琴生（Jonson）不等式37第三十七页，共40页。四.一个例子设是e自然对数的底，π是圆周率，求证eπ>πe要求：至