江苏省扬州市安宜高中、汜水高中联考2023年高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

2023注意事项考生要认真填写考场号和座位序号。2B色字迹的签字笔作答。考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

fxsinx在

0,上为增函数，则

的值可以( ) A．0 B．2 C． D．2已知双曲线

的两条渐近线与抛物线y2

2px,(p0)的准线分别交于点

、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为，三角形AOB的面积为3，则p（．3A．1

B．2 C．2 D．3

|PM|2M(2,0)Py2

4x上运动，点F为抛物线的焦点，则|PF|1的最小值为（ ）A．3 B．2( 51) C．4 5D．4ABCDABC1111如图，在棱长为4的正方体1111

AB，BC，CC1为棱AD的中点，DP// DQ 17 PMPQ设P，Q为底面ABCD内的两个动点，满足1 平面EFG，1 ，则

的最小值为（ ）A．3 21B．3 22C．2 51 D．2 52x2已知双曲线Ca2

y2b2

1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y 3x，则C为（ ）x2y21 x2y21A．4 12 B．12 4x2y21

x2y21C．16 48

D．48 16x2 y2F F

1(ab0) F

P,Q

|QF

|,|

|,|

|,|QF|已知

1，2是椭圆

a2 b2

2的直线交椭圆于

两.若 2

2 1 11依次构成等差数列，且|PQ|1

，则椭圆C的离心率为2 3 15A．3 B．4 C．5

105D．15已知函数yloga(xc)（a，c是常数，其中a0且a1）的大致图象如图所示，下列关于a，c的表述正确的是（ ）A．a1，c1 B．a1，0c1C．0a1，c1 D．0a1，0c1已知M是函数f(x)lnx图象上的一点过M作圆x2y22y0的两条切线切点分别为B则MAMB的最小值为（ ）A．2 23B．1 C．0

5 23D．2已知过点P(1,1且与曲线yx3相切的直线的条数有（ ．A．0 B．1 C．2 D．3

fx

R

f1xf1x，当

x0,1时，

fxeax（其中e是fln28自然对数的底数，若 ，则实数a的值( )1 1A．B．3

C．3 D．311

x

表示不超过

x的最大整数(

2.5

4，

2.5，

)，已知

2 an 7 10n

，，ba，，1 1ban

10an1

nN*,n2，则

b 2019 （ ）A．2 B．5 C．7 D．8

1 Aylg2

Bx42x412．已知集合 ，集合

，则A B（ ）xx2A．

x2x2B．

x2x2C．

xx2D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．给出下列四个命题，其中正确命题的序号 （写出所有正确命题的序号sinx①因为

sinx,33

3

y＝sinx

的周期；② f x（）f2f ② f x对于定义在R上的函数 若 则函“M＞N”是log2M＞log2N”成立的充分必要条件；若实数a满足a24,则a2．给出以下式子：①tan25°+tan35° 3tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；1③1其中，结果为3的式子的序号.

fx不是偶函数；为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数．某校高二班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7614715人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二班全体同学用餐平均用时分钟.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1712分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，P＝P5，点M,N分别是AB,PC的中点．求证：MN//平面PAD ；

cosPCD

4,5

，求直线AN与平面PAD 所成角的正弦值．18（12分）x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表，得到了散点图（如图.w

w

10w，10i x2，10表中 1

ii.

ycdyabx与类型？（不必说明理由）

x2yx的回归方程根据判断结果和表中数据，建立yx的回归方程；若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？u,v

u,v

u,v

u,v

vu附：对于一组数据

1 1 ，

2 2 ，

3 3 ，…，

n n ，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计nvvuui1

i inuui

vu分别为 i1 ， .19（12分）付.600060（100（不含100元）“”“”.根据上述样本数据，将22“”与性别有关？用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取33”的人数为，求随机变量的期望和方差；某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000100元；方案二：1手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为2，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200方案更划算？附：P(K2k) 0.050 0.010 0.0010k0K2

3.841 6.635 10.828n(adbc)2(ad)(ad)x2y2

1ab0 120（12分）设椭C：a2 b2垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；

FA2，过点Fx轴（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆C交于点B（B不在x轴上，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且MAO，求直线l.21（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆顶点构成等腰直角三角形．求椭圆C的方程；

的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个假设直线l： 与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且求△OAB的面积S的范围．

，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且 ，当 时，22（10分）

fx2xa2x3.当a1

fx6的解集；

fx4恒成立，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】依次将选项中的.【详解】当0

fxsinx 时， 在 上不单调，故A不正确；当 2时，

x

cosx在

上单调递减，故B不正确；当

fxsinx 时， 在 上不单调，故C不正确；当 2时，故选：D【点睛】

x

cosx在

上单调递增，故D正确.2、C【解析】ｐy22px,(p0)ｐ

x

e2

c21b2=4试题分析：抛物线

的准线为 ２，双曲线的离心率为2，则 a2

a2 ，3 b p 3p p 33 A( , ) B( , ) S

1 3pa ，渐近线方程为y 3x，求出交点 2 233p p2332 4 ，则p 2；选C

， 2 2 ，

AOB 2考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；3、D【解析】如图所示：过点PPN垂直准线于N，交yQ，则PF1PN1PQPxyx0，则|PM|2|PF|1

x4x，利用均值不等式得到答案.PPNNy轴于QPF1PN1PQ， |PM|2 |PM P x,y |PF|1

x22y2 x224xPQ xPQx x

44x设 ，x0，则 ，4x4当 x，即x2时等号成.故选：D.【点睛】4、C【解析】1把截面EFG画完整，可得P在AC上，由DQ 17知Q在以D为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得1PMPQ的最小值．【详解】11如图，分别取C11

D,

A,AA

H,I,J

GH,HI,IJ,JE

E,F,G,H,I,J

EFG111的中点EFGHIJ111的中点

AD,DC,AC

AC//EF

AC

EFG

EF

EFG

AC//，连接，易证共面，即平面为截面，连接 1 ，连接，易证共面，即平面为截面

，由中位线定理可得

， 平面

平面 ，则 平

，同理可得

AD//1

AC AD，由 1

A可得平面

ADC//1

DP//，又1 平面EFG，P在ABCDPAC．正方体中

DD1

ABCD

DDDQ从而有 1

DQ DQ2DD21Q 1 1 Q

为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD内的部分）上，MACE，，当且仅当 共线时取等号PMPQPEPQPEPDDQEDDQ 422212 51 E,P,Q,，当且仅当 共线时取等号∴所求最小值为2 51．故选【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．5、A【解析】b由题意求得c与a的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.【详解】由题意，2c＝8，则c＝4，b 3又a ，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.x2y21∴双曲线C的方程为4 12 .【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.6、Dn【解析】n2如图所示，设|2

|,|PF2

|,|PF1

|,|QF1

|依次构成等差数列{a

}，其公差为d.a(ad)(a2d)

3d)4a21 1 1 2

d aaaaa 4a aa a

d)

2d 5根据椭圆定义得

1 2 3 4

，又1 2 3，则 1 1 1

，解得 ，2 4 6 8 8 6 4 6a a,a a,a a,a a |QFa |PFa |PFa |PQ| a1 5 2 5 3 5

4 5 .所以

1 5 ，

1 5 ，

2 5 ， 5 . ( a)2 ( a)2 (2c)2 ( a)2 ( a)2 ( a)2cosFPF 5 5

5 5 5△PFF

1 2 24a6a 26a6a在 1 2和

PFQ1

中，由余弦定理得

5 5 5 5

，整理解得105ec105a 15 .故选D．7、D【解析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】0a1,logc0,logc0从题设中提供的图像可以看出 a a ，故得0c1,0a1，故选：D．【点睛】8、CMAMBMAMB1tan先画出函数图像和圆，可知

MAMB

，若设

，则

，所以1MAMBMA|2cos2sin21sin2

3，而要求

MAMAMB的最

sin

取得最大值，若设圆x2y22y0C

sin 1

，所以只要MC 取得最小值，若设M(x,lnx)，则MC|MC|2x2(lnx1)2g(x)x2(lnx1)2.MCMAMAMB1tanMC,sin 1MC记圆x2y22y0 的圆心为C ，设 ，则 ，设M(x,lnx),|MC|2x2(lnx1)2g(x)x2(lnx1)2，则1 2 g(x)2x2(ln

(x2lnx1)x x ，令h(x) x2 lnx 1，因为h(x)x2lnx1在(0,上单调递增，且h(1)0，所以当0x1时，h(x)h(1)0,g(x)0；当x1h(x)h(1)0,g(x)0g(x)在(0,1)上单调递减，在)上单调递增，所以

g(x) g(1)2min ，即MC 2,0sin 2

MAMBMA|2cos2sin2

1 30

sin22，所以2

sin2 （当

2 时等号成立故选：C【点睛】9、C【解析】设切点为

,y0

y

x0

，由于直线l经过点

，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点

x0处的切线斜率，建立关于x0的方程，从而可求方程．【详解】

k

y1 x310 0 x2x1若直线与曲线切于点

x,y0 0

x 00 ，则

x1 x1 0 0

0，x 1，∴又∵y'3x2 y'xx，∴又∵0

3x20

，∴2x2x

10

，解得x01，0 2，∴过点 与曲线 相切的直线方程为 或 00C:yx3 3xy20 3x4y1∴过点 与曲线 相切的直线方程为 或 00故选C．【点睛】意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10、B【解析】根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a.【详解】由已知可知，

f2xfxfx

，所以函数

fx

是一个以4为周期的周期函数，f2020ln2fln2f2ealn22a8所以 ，解得a3故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.11、B【解析】b求出1，

b b2，3

b b4，5

b 6，判断出n

是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】2 an710n

b＝a，b＝a

10a

(nN*，n2)解： .1 1 n n n1 ，a20a200∴1 7 1，2 7 ，b102 ，aaaaab同理可得：3

3 ；4

4 ；5

5 . 6

6 ；7

，7 …….b ＝b∴n6 n.b故n是一个以周期为6的周期数列，b ＝b ＝b则2019 63363 3 .【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．12、C【解析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【详解】AxB2x解：∵ , ,AB2x∴ ,【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②④【解析】对①,根据周期的定义判定即可.对②,根据偶函数满足的性质判定即可.对③,举出反例判定即可.对④,求解不等式a24,再判定即可.【详解】x＝

sinx

sinx,3解：因为当

3时, 2所以由周期函数的定义知3,故①正确；对于定义在R上的函数

fx,f 2 2 f 若 ,由偶函数的定义知函数 不是偶函,故正确；M1,N0时不满足log2M＞log2N,则“M＞N”不是“log2M＞log2N,”成立的充分不必要条件,故错误；若实数a满足a24,则﹣2a2,则所以a2成立故正确．正确命题的序号是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.14、①②③【解析】由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【详解】①∵tan60°＝tan（25°+35°）

tan25tan3531tan25tan35 ，33tan25°+tan35°3

tan25°tan35°； 3tan25tan35

3tan25°tan35°，33 ，3②2（sin35cos25+cos35cos65）＝2（sin35cos25+cos35sin25，3＝2sin60° ；331tan15tan45tan153③11tan45tan45故答案为：①②③【点睛】

tan（45°+15°）＝tan60° ；本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.15、100.【解析】分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数．详解：由题意得，三等品的长度在区间

10,15，

35,40和 内，0.01250.025050.25根据频率分布直方图可得三等品的频率为 ，∴样本中三等品的件数为4000.25100.频率组距视为频率时常犯的错误．16、7.5【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.【详解】76+147+1584107.5714154故答案为：7.5【点睛】2 370分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 317（）（）11.【解析】PDHNHAH，通过证明MN//AH，即可证得；.【详解】（1）PDHNHAH．NPCNH//1DC AM//DC,AMNPC

1DC的中点，

2 ，又 2 ，NH//AM,AMNH是平行四边形．MN//AHMNAHPAD，MN//PAD．（2）

PCD

45，PD＝3,PC2＝PD2CD2,PDDC，同理可得：PDAD，又ADPD平面ABCD 连接AC,BD，设AC BDO，则ACBD，建立空间直角坐标系Oxyz． A2 3,0,0 ,C 3,0,0DPN 3, 2 2 AN33,1,3,AD3,2,0DP22

的法向量为，

nx,y,z 则nADnDP0，则2 3x2y0,3z0，取n1, 3,0 ．sincos AN,n 2 3 2 3211 1122 3ANPAD所成角的正弦值为11．【点睛】此题考查证明线面平行，求线面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，法向量法求线面角的基本方法，根据公式准确计算.d 2018

yc

y5x2更适宜x2（3）x为2时，烧开一壶水最省煤气根据散点图是否按直线型分布作答；根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程，再得出yx的回归方程；.【详解】（1）

yc

dx2更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.10di1

w

16.2

20（2）由公式可得：

10i1

wwi

0.81，cydw20.6200.785，20所以所求回归方程为

y5

x2.5kx20kx，Sytkx5205kx5kx20kx，

20k（3）设tkx，则煤气用量

x2 x当且仅当

5kx

20kx 时取”x2.故x为2时，烧开一壶水最省煤气.【点睛】本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.9 1819（）99（）5，25（）.【解析】3根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论；33P 3

B(3, )“”的概率为

5，知服从二项分布，即

5 ，可求得其期望和方差；12001001100XX.【详解】由已知得出联列表：K2，所以

60(1081230)27.0336.63522384020 ， 99%”与性别有关；12 3P

B( 3)“”的概率为

3,20 5， 5 ，E=339,D3313185；5 5 5 255；（3）12001001100元若选方案二，设实际付款XX的取值为120108，102， 1012 1

111

1210 1P X1200

C0

= P X1080=C1

= P X1020C2

=222 4

22

2 2

222 4，EX1200110801102014 2

10951100109选择第二种优惠方案更划算【点睛】本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.x2y2

,

6

,1 201 【解析】

4 32b2

（Ⅱ）3 ec

4 4 （Ⅰ）由题意可得a

， a，a2

b2c2，解得即可求出椭圆的C的方程；（Ⅱ）由已知设直线l的方程为y=k(x-2)，(k≠0)，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得BMHH由MAO,xM1,转化为关于k的不等式，求得k.【详解】（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，2b23所以a ，

y xH.由方程组消去M，1 c1因为椭圆离心率e为2，所以a 2，a2

b2c2，3解得a2，c1，b ，3所以椭圆C

x2y21的方程为4 3 ；（Ⅱ）设直线l的斜率为ykx2

kk0，则

ykx2，设

Bx,yB B ，x2

y21 4 3

4k2

x216k2x16k2120由 得 ，8k26 8k26x解得x2，或

x4k23，由题意得

4k23，y

12k4k23，FHy 由（Ⅰ）知， ，设 H ，94k2 12k BF , FH所以

1,yH ，

4k23 4k23，因为BFHF，所以BFHF0，4k29 12ky 94k2 H 0 y 所以4k23 4k23

，解得H

12k ，所