初中数学50种几何模型相交线与平行线

初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）二、相交线与平行线§1.三线八角图知识链接如图，两直线被第三条直线所截，所成8个角中，有4对同位角/1和N5,N2和N6,N3

和N7,N4和N8；2对内错角N3和N5,N4和N6；2对同旁内角/3和N6,N4和N6.典例讲解：TOC\o"1-5"\h\z例1.如图，直线a、b与直线c、d相交.N1的内错角是 ,zi的同旁内角是 . /I模型秒杀：N1由直线a、c相交而成，分两种情况讨论： -4 : “①若a为截线，截c得Z1,内错角考虑?”字型：（如图1）了截d得Z2；同旁内角考虑“1”字型：（如图2）截d得Z3；亡 〃②若c为截线，截a得Z1,内错角考虑‘2"字型：（如图3）截b得Z5；同旁内角考虑‘（”字型：（如图4）截b字型：（如图4）截b得Z4.图1初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）注意：寻找同位角、内错角、同旁内角时，关键是要分解出图形中的相应的三线八角模型图，寻找相应的三线八角图的关键是要确定截线和被截线要排除直线多于3条、两条被截直线相交引起的干扰，一般以截线为分类讨论标准不容易引起混淆（分类不重不漏）.同步反馈1.如图，N4与是同位角，与是内错角，与是同旁内角.例2.如图，有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角.解：（以截线为标准）分三种情况讨论：①直线a截b和c（5例2.如图，有 对同位角， 对内错角， 对同旁内角.解：（以截线为标准）分三种情况讨论：①直线a截b和c（5个角），有1对同位角：/7和N9；1对内错角：/5和N9；1对同旁内角：/8和N9；②直线b截a和c（5个角），有1对同位角：/2和N9；1对内错角：/4和N9；1对同旁内角：/1和N9；7③直线c截a和b（完整的8个角），有4对同位角；2对内错角；2对同旁内角.由以上讨论可知：共有6对同位角，4对内错角，4对同旁内角.同步反馈2.如图，与NC是同旁内角的角有哪几个?B拓展延伸.如图，若两条平行线EF、MN与直线AB、CD相交，错角和同旁内角.初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）§2.两平行线间的拐点问题（1）知识链接1、平行线的判定：内错角相等，两直线平行；VZ1=Z2,:.a〃b.平行线的性质：两直线平行，内错角相等.:a//b,・・・N1=N2.2、如图直线AE/DF,左半边ABOCD象只“猪蹄”，从而我们有以下模型：猪蹄模型（口诀：蹄窝窝是两蹄尖尖的窝）如图1,若AB/CD,则NBOC=NB+NC.证明：过点O作EF/AB（如图2）,・・NBOF=NB（两直线平行，内错角相等）.VAB/CD,EF〃AB（E知），.•・E£〃CD（平行公理），・・NCOF=NC（两直线平行，内错角相等）.AZBOC=ZBOF+ZCOF=ZB+ZC.反过来，若NBOC=NB+NC,则AB/CD.证明：过点O作EF/AB（如图2）,・・・NBOF=NB（两直线平行，内错角相等）.AZBOC=ZBOF+ZCOF=ZB+ZCOF.XVZBOC=ZB+ZC,AZCOF=ZC.•.EE〃.CD（内错角相等，两直线平行）.••AB/CD（平行公理）.注意:蹄窝窝是两蹄尖尖的窝，即蹄窝窝NBOC=两蹄尖尖的和NB+NC.选填题可用口诀秒杀，但解答题必须一步一步进行推导，写题过程参考上述两种情况典例讲解：例1.如图，是我们生活中经常接触的小刀，刀片的外形是一个直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成N1和N2,则N1+N2=.模型识别：N1、N2组成的图形（如图3）为猪蹄模型.模型秒杀：Z1+Z2=ZBOC=9G°.同步反馈1.如图4,在平行线11、12之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A、B分别在直线11、12上，若21=65°,则N2=.同步反馈2.把一副三角板在水平桌面上如图5摆放，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则21==.

初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）例2.如图，NBCD=90°,AB〃DE,试探索N1与N2的数量关系.想题：题中有我们熟悉的猪蹄模型ABCDE,NABC+N2=NBCD=90°,利用NABC=180°-N1得解.写题如下：解：过点C作CH〃AB（如图2）,・・NABC:NBCH（两直线平行，内错角相等）.「AB〃DE,CH〃AB（E知），・・・DE〃CH（平行公理），・.N2=NDCH（两直线平行，内错角相等）..\ZABC+Z2=ZBCH+ZDCH=ZBCD=90°.XVZABC=180°-Z1,A180°-N1+N2=90°.即N1-N2=90°.变式1.如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB〃DE,求NE的度数.想题：题中延长DE至F可得猪蹄模型BACEF.拓展延伸1.如图，HD〃GE,GB平分NGCF,AF平分NBAHNAFC的余角等于2NABC的补角，求NBAH的度数.想题：图中两个猪蹄模型：HABCG和HAFCG.写题如下：解：设NHAF二a,NGCB=B，：GB平分NGCF,.•・NBAH=2NHAF=2a.同理，NGCF=20.作BP〃HD(如图7)，则NABP=NBAH=2a.VHD#GE,BP#HD,ABP#GE.AZCBP=ZGCB=p.AZABC=ZABP+ZCBP=2a+p.同理，NAFC=a+20.由题设，90°-NAFC=180°-2NABC得2NABC-NAFC=90°,2(2a+B)《a+2B)=90O,解得a=30°,AZBAH=2a=60°.4EB拓展延伸2.如图，AB〃CD,E、F分别在AB、CD上，且OELOF：厂.点F、G分别在CD、OE上，使OF、OE分别平分NCFG、NAEH,/\\TOC\o"1-5"\h\z求证：FG〃EH. q•想题：由猪蹄模型AEOFC：NAEO+NCFO=90°,易得： \NAEH+NCFG=180°,NAEH+NCHE=180°,从而NCFG二NCHE.「 ，出L写题如下：解：延长EO交CD于点M(如图8)VOEXOF,AZEOF=90°.VAB#CD,AZOMF=Z1,.•・N1+N2=NOMF+N2=NEOF=90°.•.•FO,EO分别平分NCFG,NAEH,AZCFG=2Z2,NAEH=2N1..•・NCFG+NAEH=2(N1+N2)=180°.XVZCHE+ZAEH=180°,..NCFG:NCHE..'・FG〃EH.

初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）§3.两平行线间的拐点问题（2）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"知识链接 71、平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行； 〃•・・/1+N2=180°,:.a〃b. 十 平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补.Va//b,.・.N1+N2=180°. ~2、如图直线AE/DF,右半边EBOCF就象“子弹头”， 再从而我们有以下模型： J -7^ 子弹头模型（右边EBOCF为子弹头模型，嵌进猪蹄ABOCD）L 。F如图1,若BE/CF,贝。NEBO+NBOC+NOCF=360o.证明：过点O作GH/BE（如图2）,.\ZEBO+ZBOH=18G°（两直线平行，同旁内角互补）.VBE/CF,GH〃BE（E知），...GH/CF（平行公理），AZHOC+ZOCF=18G°（两直线平行，同旁内角互补）..\ZEBO+ZBOH+ZHOC+ZOCF=36G°.即NEBO+NBOC+NOCF=36G°.反过来，若NEBO+NBOC+NOCF=36O°，则AB/CD.证明：过点O作GH/BE（如图2）,.\ZEBO+ZBOH=18G°（两直线平行，同旁内角互补）.又VNEBO+NBOC+NOCF=36G°,即NEBO+NBOH+NHOC+NOCF=36G°,.•.NHOC+NOCF=18G°,・・・GH〃CF（同旁内角互补，两直线平行）..BE/CF（平行公理）.典例讲解： 匚 TOC\o"1-5"\h\z例1.如图，a〃b,N1=1G5°,N2=14G°,则N3= .模型识别：N1、N2与N3的邻补角构成子弹头模型. /模型秒杀：N1+N2+18G°-Z3=36G°. 32AAZ3=Z1+Z2-18G°=1G5°+14G°-18G°=65°. / 7 c o同步反馈1.一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于卜/ 仃点A,CD平行于地面AE,若NBCD=15G°,则NABC二.例2.如图，AB〃DE,N1=3G°,例2.如图，AB〃DE,N1=3G°,则N2+N3=.模型识别1：考虑图中有猪蹄模型ABCDE.模型秒杀1：Z2=Z1+ZCDE=Z1+18G°-Z3,AZ2+Z3=3G°+18G°=21G°.模型识别2：考虑图中有子弹头模型GBCDF.模型秒杀2：ZGBC+Z2+Z3=36G°,A18G°-Z1+Z2+Z3=36G°,AZ2+Z3=18Go+Z1=21G°.初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）同步反馈2.,如图，AD〃CE,NB=100O,则N2-N1=. 且例3.如图初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）同步反馈2.,如图，AD〃CE,NB=100O,则N2-N1=. 且例3.如图3,NABE+NCDE+NBED=360°,BF、DF分别平分NABE和NCDE.求证：2NBFD+NBED=360°.想题：由NABE+NCDE+NBED=360°可知ABEDC为子弹头模型,可得AB〃CD,从而ABFDC为猪蹄模型：NBFD=NABF+NCDF.又由两角分BF、DF,易得2NBFD+NBED=360°.写题如下：解：（2）设NABF二a,NCDF邛.•「BF平分NABE,...NABE=2NABF=2a.同理NCDE=20.作GE〃AB(如图4),则NABE+NBEG=180°.XVZABE+ZCDE+ZBED=360°,AZCDE+ZDEG=180°.AGE#CD.^FH〃AB〃CD,则NBFH=NABF二a,NDFH二NCDF=B..\ZBFD=ZBFH+ZDFH=a+p.又•「NBED=360°-ZABE-ZCDE=360°-2a-20...2ZBFD+ZBED=360°.同步反馈3.如图，在五边形ABCDE中，x的值为.模型识别：VZB+ZC=120°+60°=180°,.AB〃CD,从而有子弹头模型CDEAB.模型秒杀：ZD+ZE+ZA=360°.想题：由2弹头模型ABDEG：ZABD+ZBDE+ZDEG+ZEGH ,iB=180x(2+1)°=540°..180°-Z1+145°+180°-85°+180°-Z2=540°.写题如下：HD解：分别过D、E两点作DP〃EQ〃AC〃HF.HD初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）§4.两平行线间的拐点问题（3）锯齿模型（锯齿模型（口诀：左角和=右角和）平行线间的拐点数01234左二右ZB=ZCZB+ZD=ZEZB+ZF=ZE+ZCZB+ZF+ZD=ZE+ZGZB+ZF+ZH=ZE+ZG+ZC注意：1、两平行线间0个拐点即，”字型（内错角）：,•,AB〃CD,，NC=NB.两平行线间1个拐点即“猪蹄模型”：过拐点E向右作平行线得“2”字型可证.两平行线间2个拐点：过拐点F向左作平行线得1个“猪蹄模型”和1个””字型可证.两平行线间3个拐点：过拐点F向左作平行线得2个“猪蹄模型”可证.两平行线间4个拐点：过拐点F、H分别向左作平行线得2个“猪蹄模型”和一个”"字型可证.ZF=90°,贝UNA+NC;E.BAEFCD就不是锯齿模型,2、锯齿模型必须是左右左右间隔地拉锯，需与（含）多弹头（角连续往一个方向走）模型区分开来.如图AB〃CD,NE=120°,可以分别反向延长BA、DC,得2弹头模型秒杀：180°-ZA+ZE+ZF+180°-ZC=180(2+1)°=540°,AZA+ZC=ZE+ZF-180°=120°+90°-180°=30ZF=90°,贝UNA+NC;E.BAEFCD就不是锯齿模型,典例讲解：TOC\o"1-5"\h\z例1.如图，AB〃EF,NC=90°,z则x、y、z的数量关系是 .模型识别：NABCDEF为锯齿模型.模型秒杀：/利用口诀“左角和二右角和"秒杀： NB+ND=NC+NE,即x+y=90°+z..\x+y-z=90°. 一XE F同步反馈1.如图，直线AB〃CD,NEFA=NM=30°, FNG=90°,NCNP=50°,则NGHM二. B模型识别：NBFGHMND为锯齿模型. 一-模型秒杀：/利用口诀“左角和二右角和"秒杀： yLj；ZBFG+ZGHM+ZMND=ZG+ZM.C/ND

初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）例2.(1)如图1,已知/3=25°,/3£0=80°,解：^EF#AB,AZ2=ZB=25°.AZ1=ZBED-Z2=80°-25°=55°.XVZD=55AZ1=ZD.••・AB〃CD.ZD=55°,探究AB与CD有怎样的位置关系.A BA B⑵如图2,已知AB〃EF,试猜想NB、NFZD=55°,探究AB与CD有怎样的位置关系.A BA B•「AB〃EF,CG〃AB,・♦.EF〃CG.AZ1=ZF.AZBCF=Z1+Z2=ZB+ZF.NBCF之间的数量关系，并加以证明.⑶如图3,已知AB〃CD,试探究/NBCF之间的数量关系，并加以证明.⑶如图3,已知AB〃CD,试探究/1、/2、解：过N3顶点E作EF〃AB,设N2、N4顶点「一】 勺】4分别为G、H,则由⑵可得： 32 f （1：？王Z2=Z1+ZFEG,Z4=Z5+ZFEH. 」 三一4’又•••/FEG+NFEH=N3. 力;C工「（AZ2+Z4=Z1+Z3+Z5.拓展延伸.如图，AB〃EF,NC=60°,求N1、N2、N3之间的数量关系.DDI)HF图4已想题：由分别延长BA至G,FE至H（如图4）,可得锯齿模型拓展延伸.如图，AB〃EF,NC=60°,求N1、N2、N3之间的数量关系.DDI)HF图4已解：分别过C、D两点作CP〃DQ〃AB〃EF..•.N1+NACP=180°,即NACP=180°-N1.①ZPCD=ZCDQ=Z3-ZQDE.② J।N2+NQDE=180°,即NQDE=180°-N2.③把③代入②：NPCD=N3+N2-180°.④'①+④：NACP+NPCD=N3+N2-N1.即N3+N2-N1=60°.同步反馈2.如图，a〃b,N3=N4,N1=30°,求N2.当点P在区域当点P在区域②时（如图2）

当点P在区域③时（如图3）

当点P在区域④时（如图4）初中数学50种几何模型（七年级下学期部分）§5.两平行线间的拐点问题（4）知识链接1、①三角形内角和定理：三角形内角和等于180°.ZBAC+ZB+ZC=180°.又•・•NBAC+NDAC=180°,・•・NDAC=NB+NC.这是我们八年级TOC\o"1-5"\h\z上学期要学的“小旗模型”：旗脚=两旗尖的和.即： 口 /②推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；NDAC=NB+NC.2、如图，一颗断子弹头打进了瘸猪蹄从而我们有以下模型：痛猪蹄①与断子弹头②，合称 E、 工、斜拉模型（口诀：斜拉角=大折角-小折角）：皿〃8,则①NE=ND-NB； 注②NE=NB-ND. ①、 \ ②注意：1、斜拉角/E=\ZD-ZB, 5 宜 ） \ 2、选填题可用口诀秒杀，但解答题必须一步一步进行推导，写题过程可结合小旗模型与平行线的性质或判定完成.典例讲解：例1.如图，F、E分别是矩形ABCD的边AB、CD上的点，①②③④是射线FE与边AB隔开的四个区域（不含边界且③④均在AB下方）.p为四个区域中的点，请直接写出NPEB、NPFC、NEPF的数量关系. <F3图1E笈图2月想题：当点P在区域①时（如图1）,CFPEB为猪蹄模型；CFPEB为子弹头模型；CFPEB为斜拉模型（瘸猪蹄）；CFPEB为斜拉模型（断子弹头）.解：当点P在区域①时，NEPF=NPEB+NPFC；当点P在区域②时，NEPF+NPEB+NPFC=360°；当点P在区域③时，NEPF:NPFC-NPEB；当点P在区域④