2023届广东省广州市大湾区高三年级上册学期1月第一次联合模拟数学试题

20231数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的市（县、区、学校、姓名、班级、座位号和准考证号填写在答题卡上，并填涂10位准考证号（考号．22B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．8540符合题目要求的．1．已知集合A{x1x4},B{x0x3}，则A B（A．{x1x4} B．{x0x3} C．{x1x3}复数z满足z(1)2i（i为虚数单位，则复数z（ ）A．1i B．1i C．1i D．1i

）D．{x0x4}221分钟内的跳绳个数如下（单位：个）：69 77 92 98 99 100 102 103 115 116 116122 123 124 127 128 129 134 140 142 143 159估计该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为（ ）A．124 B．125.5 C．127 D．127.5图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）PMhPNl2A处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬2326）在某地利用一表高为2dm的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm，则该地的纬度约为北纬（参考数据：tan340.67,tan561.49）（ ）x21x2A．2326 B．3234 C．34 D．5．函数ysinx21x2B． C． D．x24y25已知F为双曲线： 1的左焦点，P为其右支上一点，点6)，则x24y25（ ）2A．462

B．46

2C．662

D．665656条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球．若正三棱锥的底面边长为2565

，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）66 A． 2 B． 66

C．6 4

D．6 43232设数列3232

nSan n

1，且2Sn

an1

1nN n，都有abab

ab

a

3nn1成立，则满足等式b

b

an为1n 2

n1

3n2 n1

1 2 3 n n（ ）3

B．2或3 C．1或4 D．2或44520520分．9．已知圆Cx

(y2)2

25，直线l:(2m1)x(m1)y7m40，则（ ）l过定点(3,1)lC可能相离6Cy轴截得的弦长为46Cllx2y5010．函数f(x)AcosxA0,0,

2212f 12

0,f

2，则下列选项中正确的有（ ）2 12 32 23f(x23

x

12是奇函数f(x的单调递增区间为12

,2k2k3

(kZ)2k2k3f

xf

x01212 1212 随着春节的临近，小王和小张等4收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则16131358已知正数a，b满足等式a2b2(2lnblna)，则下列不等式中可能成立的有（ ）1 1ab2

a

C．ab1 D．ba12 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13fx)x2x,ax2x,

x0为奇函数，则a ．x0(xy)(xy)6的展开式中x3y4的系数为 （用数字作答．若

1，则cosxsin2sin2x 3cos2xsinx 3cosx

．33

A，By轴对称的两点，且|OA2．若存在mnR，使得mABOA与

nABOB垂直，且|(mAB(nABOB)2，则|AB|的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（10分）己知等差数列a的各项均为正数．若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为na,a,a1 2

，且aaa1 2

，中任何两个数都不在同一行．第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876求数列的通项公式；n设bnn

n1

，数列b16165

的前n项和为Tn

．求证：T ．343418（12分）如图，在△C中，角，，C的对边分别为a，，．已知(bc)cosAacosBacosC0．A；DBC延长线上一点，且CAD

4,BD3CD，求tanACB419（12分）如图，三棱柱CAB

ACC

为矩形，ABAC且ABAC2，D为BC

BC2

1 1 1 112．21 1 1 1AC∥ABD；1 1ABCAAD所成的夹角的余弦值．1 120（12分）在数字通信中，信号是由数字“0”和“”组成的序列．现连续发射信号n“0”和“11X．（1）当n6PX2)；（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量y，若其数学期望E(Y)和方差D(Y)均存布，则对任意正实D(Y)a2aP(|YE(Ya)D(Y)a2

|YE(Ya”的概率作出下限估计．为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值．21（12分）设抛物线y22x，过点P的直线B分别与抛物线相切于，B两点，且点A在x轴下方，点B在x轴上方．P的坐标为(1,2)时，求|AB|；CxBCxNABxM，且S4|AM3|BM|，若△ABCxS△ABC的最大值．S△BMNex1x22（12分）已知函数f(x)ex1xf(x的单调性；a，b是两个不相等的正数，且alnbblnaablnab2．数学参考答案题号1答案B2 3 4 5 6 7 8D C B A B C A8题号1答案B2 3 4 5 6 7 8D C B A B C A题号9 10 11 12答案AC AD BC AC455题号9 10 11 12答案AC AD BC AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．313．1 14．5 15．1 16．232四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．解答：（1）由题可得a1

3,a2

7,a3

11故a34(n1)4nNn16165nn

n1

且a 4n1，n164n(4n4164n(4n415)1n(n2)n1n1n211n1n22 ．2 1n11n11n2∴T1111111 1n11n11n22n 3 2 4 3 5 n 21n11n24 24 31n11n24 24 解：（1）由条件及正弦定理可得(sinBsinC)cosAsinAcosBsinAcosC0即sinBcosAcosBsinAsinCcosAcosCsinA0故sin(BA)sin(CA)0则有sin(BA)sin(AC)BA(,),CA(,)BAAC，或(B)(AC)（舍去，或(B)(AC)（舍去．BC2AABC3所以A 3（2）设ACB，在和△ACD中，由正弦定理可得BDsinBDsin3 4ADsin3CDsin4ADsin()CDCD)sin4BDsin3sin3 4sin(sin()sin33sinsin43 4333312sin23cos1sin23∴tan963解：（1）ABABO，连接OD1 1∵ABCAB

为三棱柱1 1 1∴ABBA11

OAB1

的中点又∵DB

的中点1 1∴AC∥OD1ODABDACABD1 1 1∴AC∥平面ABD．1 1（2）解法1：∵CAAB CAAA1

AB AAA1CAABBA11∵AB1

面ABBA11∴CAAB1CB2AC21(2 2)22CB2AC21(2 2)2221∵AB2,AB1

2,BB2212∴AB2AB2BB2,即ABAB1 1 1以A为坐标原点，AB,AB,AC分别为x，y，z建立空间直角坐标系，1A(0,0,0),A(2,2,0),B(2,0,0),B(0,2,0),C(2,2,2),D(1,2,1)1 1 1 ∴AA1

(2,2,0),AD(1,0,1)1∵ABAB1

,ABAC,AB1

ACAABABCABC的一个法向量为

(1,0,0)1

2x2y0设平面AAD的法向量为n

(x,y,z)，则 1 2 即1 2 AD

0 xz0x1,y1,z1n2

1 2(1,1,1)ABCAAD所成夹角为，|1101|11010(1)|1 11(1)21333n∴sn1

n n233∴平面ABC与平面AAD331 1解法2：设点E为BC的中点，点F为AC的中点，连接DE交BC于点Q，连接AE,AQ,EF，1设点P为AQ的中点，连接EP,FP．EBCDB

的中点∴1

EQ

12BB121

1 12，点Q为BC的中点21∵ACCA11

为矩形，∴ACAA1ACABAB1

A，∴AC平面ABBA11∴ACAB1∴在△ACB1

中，ACAB1

,AC2,BC2212

AB21∴△ABCAC

2,BC221 1 122而点Q为BC的中点，∴AQBC且AQ21 1∵点P为AQ的中点，点F为AC的中点CFP1∴FPAQ

CQ BC1214121422Rt△ABCABAC2EBC的中点2∴AE22∴在AEEQAQ262∴EPAQ且EP62

，且点P为AQ的中点ABCAAD所成的夹角1 1126222∴在中，EF AB1,FP ,126222EP2FP2EF2EP2FP2EF22EPFP3320．解：（1）XB6,1，2 2 PX2)PX0)PX1)PX2)12 12

115

12 4C0

C2

；6

622

62 1216466415641132（2）XB1216466415641132

，所以E(X)0.5n,D(X)0.25n，1212Xn若0.4Xn

0.6，则0.4nX0.6n，即0.1nX0.5n0.1n，即|X0.5n|0.1n．0.25n(0.1n)2由切比雪夫不等式P(|X0.1n)0.25n(0.1n)20.25n(0.1n)2要使得至少有98%的把握使发射信号“10.40.25n(0.1n)2解得n1250，所以估计信号发射次数n的最小值为1250．

0.98，21．解：（1）Ax,y2x2x

,Bx,y，2 2∵y2

2x，∴y

，∴y

，∴k 1y11y1y1∴l :yyPA 1

xx1y1y1又∵P(1,2)1y∴l :2y1y

1xy11xPA 11y1 1xy1

1 1 2 1∴1 2

1

2 y21

2x6166同理可得y 2 ．62∴yy1

2 6,xx1 2

2y1

y4 ，6302630xxx2yy21 2 1 2（2）令Cx,y3 3

(4 6)2(2 6)2(4 6)2(2 6)21 2

0．

2 ．S△ABCS1ABBCsinS△ABCS1ABBCsinABC1BMBNsinABC22ABBMBCBN

1 AMBMCNBN AMBMCNBN△BMNy1y1y1y

1

yy1yyy1y3y11

y3y222 y3y222 yy

y

y

y2yy2

1 32 1 1y2 y22 2

2 2

1 1 2y22y1yy1y1294y1y 2 y1yy1y1294y1y

222 222|AM||BM|34y1y∵4|AM3|AM||BM|34y1y234y1y∴ 34y1y9494y1y12S△ABCS∴当 y1y12S△ABCS2

取得最大值．ex1x22．解：（1）证明：（1）f(x) 的定义域为(,0)ex1x(x1)ex1x2fx) f(x(x1)ex1x2当x变化时f(x),f(x)的关系如下表：xxfxfx,0-0\0,1-10+f(x在(,0),(0,1)上单调递减；在上单调递增．（2）证明：要证ablnab2(alnbblna2根据alnbbln