(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(十六)空间向量运算坐标表示新人教A版选修21

课时追踪检测（十六）空间向量运算的坐标表示层级一学业水平达标1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，假如a与b为共线向量，则( )11A．x＝1，y＝1B．x＝2，y＝－21313C．x＝6，y＝－2D．x＝－6，y＝2分析：选C由于a与b共线，因此2x＝1＝3，因此x＝1，y＝－3.1－2y9622．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则OA与BO的夹角是( )π2πA．0B．πC.2D.3分析：选B∵OA·OB＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且|OA|＝33，|OB|＝63，∴cos〈OA，OB〉＝54＝1，33×63∵〈OA，OB〉∈[0，π]，∴〈OA，OB〉＝0.∴〈OA，BO〉＝π.3．在空间直角坐标系中，i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，则与i，j，k所成角都相等的单位向量为()A．(1,1,1)111B.3，3，3C.3，33，333D.3，33333，或－，－，－333333分析：选D设所求的单位向量为a＝(x，y，z)，则由与i，j，k所成角都相等获得a·i22233＝a·j＝a·k，因此x＝y＝z，且x＋y＋z＝1，因此x＝y＝z＝3或－3.4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形分析：选CAB＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3,1)，∴|AB|＝32＋42＋82＝89，1222|AC|＝5＋1＋7＝75，|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89＝|AB|2.∴△ABC为直角三角形．5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()666A．±6B.6C．－6D．±6分析：选C∵OA＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)，OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，(OA＋λOB)·OB＝λ＋λ＝2λ，|OA＋λOB|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB|＝2.2λ121∴cos120°＝2·1＋2λ2＝－2，∴λ＝6.2λ6又2·1＋2λ2<0，∴λ＝－6.6．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝29，且λ>0，则λ＝________.分析：∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，∴λ＋＝(4,1－λ，λ)．ab|λa＋b|＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.∵λ>0，∴λ＝3.答案：37．若＝(x,2,2)，＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．ab分析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，由于θ为钝角，因此cosθ＝|a·ba|||<0，又|a|>0，|b|>0，因此a·b<0，即2x＋4<0，因此x<－2，又a，b不会反b向，因此实数x的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．分析：由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．∴|b－a|＝＋t2＋t－2＋022＝2＋2＝1295－2t5t－＋.t55135∴当t＝5时，|b－a|的最小值为5.35答案：59．空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)，试求：△ABC的面积；△ABC的AB边上的高．解：(1)由于AB＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，AC＝(2,0，－8)，AB·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，且|AB|＝14，|AC|＝217，因此cos〈AB，AC〉＝－14＝－7，14×217238sin〈AB，AC〉＝27，341AB|·|AC|sin〈AB，AC〉△ABC＝|S2127＝214×217×34＝321.(2)|AB|＝14，设AB边上的高为h，1则2|AB|·h＝S△ABC＝321，∴h＝36.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，A1P＝λA1B，且PC⊥AB.求：λ的值；异面直线PC与AC1所成角的余弦值．解：(1)设正三棱柱的棱长为2，成立如下图的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(3，0,2)，C1(0，1,2)，于是AB＝(3，1,0)，CA1＝(0，－2,2)，A1B＝(3，1，－2)．由于PC⊥AB，3因此CP·AB＝0，即(CA1＋A1P)·AB＝0，也即(CA1＋λA1B)·AB＝0.CA1·AB1故λ＝－A1B·AB＝2.(2)由(1)知CP＝3，－3，1，AC1＝(0,2,2)，22cos〈CP，AC1〉＝CP·AC1－3＋22＝＝－，|CP||AC1|2×2282因此异面直线PC与AC1所成角的余弦值是8.层级二应试能力达标1．已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是( )1A.|a|a＝|b|bB．a1·b1＝a2·b2＝a3·b3C．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0D．存在非零实数k，使a＝kb分析：选D依据空间向量平行的充要条件，易知选D.2．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是()A．[0,5]B．[1,5]C．(1,5)D．(0,5)分析：选B由题意知，|AB|＝θ－3cosα2＋θ－3sinα2＋－2＝13－α－θ，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤|AB|≤5.3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()6263A.7B.76465C.7D.74分析：选D∵a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3－2y)，x2x－y＝7，33x＝7，因此－x＋4y＝5，解得173x－2y＝λ.y＝.765∴λ＝3x－2y＝7.4．已知a＝(3,2－x，x)，b＝(x,2,0)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是()A．(－∞，－4)B．(－4,0)C．(0,4)D．(4，＋∞)分析：选A∵a，b的夹角为钝角，∴a·b<0，即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x<0，∴x<－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使a＝λb，3＝λx，∴2－x＝2λ，此方程组无解，应选A.x＝0，315．若△ABC的三个极点坐标分别为A(0,0，2)，B－2，2，2，C(－1,0，2)，则角A的大小为________．分析：由题意，知AB＝－31，因此|AB|＝1，|AC|2，，0，AC＝(－1,0,0)23＝1.则cosA＝AB·AC＝2＝3，故角A的大小为30°.|AB||AC|1×12答案：30°6．已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M知足M1M2＝4MM2，则向量OM的坐标为________．分析：设M(x，y，z)，则M1M2＝(1，－7，－2)，MM2＝(3－x，－2－y，－5－z)．又∵M1M2＝4MM2，5111＝－x，x＝4，1∴－7＝－2－y，∴y＝－，－2＝－5－z，49z＝－2.1119答案：4，－4，－27．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，而且B1E1＝1B1C1，求31与1所成的角的余弦值．BECO解：不如设AB＝1，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，1z轴成立直角坐标系，则11，1，1，以AA所在直线为B(1,0，0)，E3(1,1,0)，111，1，，2CO210，1，1，CO1＝－1，－1，1，BE＝322CO1＝111510，，1·－，－，1＝6，BE·322|BE1|＝10CO1|＝63，|2.51CO16615∴cos〈BE，〉＝＝.3×2即BE与CO所成角的余弦值为15.118．已知对于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且向量a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.当|c|取最小值时，求t的值；在(1)的状况下，求b和c夹角的余弦值．解：(1)∵对于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，224∴＝(t－2)－4(t＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.又c＝a＋