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/04/4/解密高考①三角函数问题重在“变”——变角、变式————[思维导图]————————[技法指津]————1.常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换;(2)已知角与目标角的变换;(3)角与其倍角的变换;(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如:α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·eq\f(α+β,2),eq\f(α+β,2)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)))-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-β)).2.常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手,常见的有:(1)讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论;(2)涉及sinx±cosx、sinx·cosx的问题,常做换元处理,如令t=sinx±cosx∈[-eq\r(2),eq\r(2)],将原问题转化为关于t的函数来处理;(3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.,母题示例:2019年全国卷Ⅲ,本小题满分12分△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asineq\f(A+C,2)=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.本题考查:本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角恒等变换、三角形的面积公式,考查学生的数学运算、转化与化归等能力,考查学生的逻辑推理及数学运算等核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到asineq\f(A+C,2)=bsinA,想到正弦定理,要求B,需求B的某一个三角函数值,可考虑将asineq\f(A+C,2)=bsinA转化为与B的三角函数相关的等式求解.(2)看到求△ABC面积的范围,想到利用面积公式去求△ABC的面积,结合第(1)问,选择S=eq\f(1,2)acsinB,注意到条件c=1,想到eq\f(a,sinA)=eq\f(c,sinC),△ABC为锐角三角形可建不等式.[规范解答·评分标准](1)根据题意asineq\f(A+C,2)=bsinA,得sinAsineq\f(A+C,2)=sinBsinA因为0<A<π,故sinA>0,消去sinA得sineq\f(A+C,2)=sinB,0<B<π,0<eq\f(A+C,2)<π,故eq\f(A+C,2)=B或者eq\f(A+C,2)+B=π,而根据题意A+B+C=π,eq\f(A+C,2)+B=π不成立,所以eq\f(A+C,2)=B,又因为A+B+C=π,代入得3B=π,所以B=eq\f(π,3).·······················6分(2)因为△ABC是锐角三角形,由(1)知B=eq\f(π,3),A+B+C=π得到A+C=eq\f(2,3)π,故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<C<\f(π,2),,0<\f(2π,3)-C<\f(π,2))),解得eq\f(π,6)<C<eq\f(π,2).··············8分又应用正弦定理eq\f(a,sinA)=eq\f(c,sinC),c=1,由三角形面积公式有:S△ABC=eq\f(1,2)ac·sinB=eq\f(1,2)c2eq\f(a,c)·sinB=eq\f(1,2)c2eq\f(sinA,sinC)·sinB=eq\f(\r(3),4)·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)-C)),sinC)=eq\f(\r(3),4)·eq\f(sin\f(2π,3)cosC-cos\f(2π,3)sinC,sinC)=eq\f(\r(3),4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)\f(1,tanC)-cos\f(2π,3)))=eq\f(3,8)eq\f(1,tanC)+eq\f(\r(3),8).·············10分又因eq\f(π,6)<C<eq\f(π,2),tanC>eq\f(\r(3),3),故eq\f(\r(3),8)<eq\f(3,8)eq\f(1,tanC)+eq\f(\r(3),8)<eq\f(\r(3),2),故eq\f(\r(3),8)<S△ABC<eq\f(\r(3),2).故S△ABC的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),8),\f(\r(3),2))).········12分[构建模板·两种思路]1.利用正、余弦定理求解问题的思路为“角化边”“边化角”2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀:“幂降一次,角翻倍;幂升一次,角减半”.母题突破1:2019年昆明模拟在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2acosA-bcosC=ccosB.(1)求角A;(2)若a=eq\r(3),△ABC的面积为eq\f(3\r(3),4),求△ABC的周长.[解](1)∵2acosA-bcosC=ccosB,∴2sinAcosA-sinBcosC=sinCcosB.∴2sinAcosA=sinA,∵sinA≠0,∴cosA=eq\f(1,2).∴A=eq\f(π,3)(2)S=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(3\r(3),4).∴bc=3.∵a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+c2=6,∴(b+c)2=b2+c2+2bc=6+6=12,∴b+c=2eq\r(3)∴△ABC的周长为a+b+c=3eq\r(3).母题突破2:2019年泉州模拟已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且eq\f(\r(3)c,acosB)=tanA+tanB.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC的面积的最大值.[解](1)在△ABC中,∵eq\f(\r(3)c,acosB)=tanA+tanB,∴eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)=eq\f(sinA,cosA)+eq\f(sinB,cosB),即eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)=eq\f(sinAcosB+sinBcosA,cosAcosB),∴eq\f(\r(3),sinA)=eq\f(1,cosA),则tanA=eq\r(3),又0<A<π,∴A=eq\f(π,3).(2)a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-b
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