高考数学二轮复习第2部分专题1三角函数和解三角形解密高考1三角函数问题重在“变”-变角变式教案文

/04/4/解密高考①三角函数问题重在“变”——变角、变式————[思维导图]————————[技法指津]————1．常用的变角技巧(1)已知角与特殊角的变换；(2)已知角与目标角的变换；(3)角与其倍角的变换；(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·eq\f(α＋β,2)，eq\f(α＋β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)).2．常用的变式技巧主要从函数名、次数、系数方面入手，常见的有：(1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；(2)涉及sinx±cosx、sinx·cosx的问题，常做换元处理，如令t＝sinx±cosx∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，将原问题转化为关于t的函数来处理；(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．,母题示例：2019年全国卷Ⅲ，本小题满分12分△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.本题考查：本题主要考查正弦定理、诱导公式、三角恒等变换、三角形的面积公式，考查学生的数学运算、转化与化归等能力，考查学生的逻辑推理及数学运算等核心素养.[审题指导·发掘条件](1)看到asineq\f(A＋C,2)＝bsinA，想到正弦定理，要求B，需求B的某一个三角函数值，可考虑将asineq\f(A＋C,2)＝bsinA转化为与B的三角函数相关的等式求解．(2)看到求△ABC面积的范围，想到利用面积公式去求△ABC的面积，结合第(1)问，选择S＝eq\f(1,2)acsinB，注意到条件c＝1，想到eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，△ABC为锐角三角形可建不等式．[规范解答·评分标准](1)根据题意asineq\f(A＋C,2)＝bsinA，得sinAsineq\f(A＋C,2)＝sinBsinA因为0＜A＜π，故sinA＞0，消去sinA得sineq\f(A＋C,2)＝sinB,0＜B＜π，0＜eq\f(A＋C,2)＜π，故eq\f(A＋C,2)＝B或者eq\f(A＋C,2)＋B＝π，而根据题意A＋B＋C＝π，eq\f(A＋C,2)＋B＝π不成立，所以eq\f(A＋C,2)＝B，又因为A＋B＋C＝π，代入得3B＝π，所以B＝eq\f(π,3).·······················6分(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)知B＝eq\f(π,3)，A＋B＋C＝π得到A＋C＝eq\f(2,3)π，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜C＜\f(π,2)，,0＜\f(2π,3)－C＜\f(π,2)))，解得eq\f(π,6)＜C＜eq\f(π,2).··············8分又应用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，c＝1，由三角形面积公式有：S△ABC＝eq\f(1,2)ac·sinB＝eq\f(1,2)c2eq\f(a,c)·sinB＝eq\f(1,2)c2eq\f(sinA,sinC)·sinB＝eq\f(\r(3),4)·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－C)),sinC)＝eq\f(\r(3),4)·eq\f(sin\f(2π,3)cosC－cos\f(2π,3)sinC,sinC)＝eq\f(\r(3),4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)\f(1,tanC)－cos\f(2π,3)))＝eq\f(3,8)eq\f(1,tanC)＋eq\f(\r(3),8).·············10分又因eq\f(π,6)＜C＜eq\f(π,2)，tanC＞eq\f(\r(3),3)，故eq\f(\r(3),8)＜eq\f(3,8)eq\f(1,tanC)＋eq\f(\r(3),8)＜eq\f(\r(3),2)，故eq\f(\r(3),8)＜S△ABC＜eq\f(\r(3),2).故S△ABC的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2))).········12分[构建模板·两种思路]1．利用正、余弦定理求解问题的思路为“角化边”“边化角”2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．母题突破1：2019年昆明模拟在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acosA－bcosC＝ccosB.(1)求角A；(2)若a＝eq\r(3)，△ABC的面积为eq\f(3\r(3),4)，求△ABC的周长．[解](1)∵2acosA－bcosC＝ccosB，∴2sinAcosA－sinBcosC＝sinCcosB.∴2sinAcosA＝sinA，∵sinA≠0，∴cosA＝eq\f(1,2).∴A＝eq\f(π,3)(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3\r(3),4).∴bc＝3.∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，∴(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝6＋6＝12，∴b＋c＝2eq\r(3)∴△ABC的周长为a＋b＋c＝3eq\r(3).母题突破2：2019年泉州模拟已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(\r(3)c,acosB)＝tanA＋tanB.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC的面积的最大值．[解](1)在△ABC中，∵eq\f(\r(3)c,acosB)＝tanA＋tanB，∴eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)＝eq\f(sinA,cosA)＋eq\f(sinB,cosB)，即eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)＝eq\f(sinAcosB＋sinBcosA,cosAcosB)，∴eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(1,cosA)，则tanA＝eq\r(3)，又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,3).(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－b